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下面我们就分别用秦九韶公式和海伦公式解决下列题目：
已知△ABC的三边长分别为3，5，7，求△ABC的面积。
问题一：试着用海伦公式计算△ABC的面积，再用秦九韶公式计算一次。
问题二：经过两次计算，对比计算结果你发现了什么？
数学就是这样神奇，你喜欢吗？
已知△ABC的三边长分别为3，5，7，求△ABC的面积。
问题一：试着用海伦公式计算△ABC的面积，再用秦九韶公式计算一次。
问题二：经过两次计算，对比计算结果你发现了什么？
数学就是这样神奇，你喜欢吗？
答案
解：
问题一
1. 海伦公式计算：
已知△ABC三边长$a=3$，$b=5$，$c=7$，
半周长 $ p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3+5+7}{2} = \frac{15}{2} $
代入海伦公式 $ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{15}{2} × (\frac{15}{2}-3) × (\frac{15}{2}-5) × (\frac{15}{2}-7)}\\&=\sqrt{\frac{15}{2} × \frac{9}{2} × \frac{5}{2} × \frac{1}{2}}\\&=\sqrt{\frac{675}{16}}\\&=\frac{15\sqrt{3}}{4}\end{aligned}$
2. 秦九韶公式计算：
代入秦九韶公式 $ S = \sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2 - (\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]} $：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{4}[3^2 × 5^2 - (\frac{3^2+5^2-7^2}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}[225 - (-\frac{15}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{675}{16}}\\&=\frac{15\sqrt{3}}{4}\end{aligned}$
问题二
答：两次计算得到的△ABC面积结果完全相等，说明海伦公式和秦九韶公式是等价的，二者都可以用于计算已知三边长的三角形的面积，最终得到的面积结果一致。
问题一
1. 海伦公式计算：
已知△ABC三边长$a=3$，$b=5$，$c=7$，
半周长 $ p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3+5+7}{2} = \frac{15}{2} $
代入海伦公式 $ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{15}{2} × (\frac{15}{2}-3) × (\frac{15}{2}-5) × (\frac{15}{2}-7)}\\&=\sqrt{\frac{15}{2} × \frac{9}{2} × \frac{5}{2} × \frac{1}{2}}\\&=\sqrt{\frac{675}{16}}\\&=\frac{15\sqrt{3}}{4}\end{aligned}$
2. 秦九韶公式计算：
代入秦九韶公式 $ S = \sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2 - (\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]} $：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{4}[3^2 × 5^2 - (\frac{3^2+5^2-7^2}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}[225 - (-\frac{15}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{675}{16}}\\&=\frac{15\sqrt{3}}{4}\end{aligned}$
问题二
答：两次计算得到的△ABC面积结果完全相等，说明海伦公式和秦九韶公式是等价的，二者都可以用于计算已知三边长的三角形的面积，最终得到的面积结果一致。
解析
【分析】
解题分为两个问题逐步推进：
1. 解决问题一：①用海伦公式计算时，先根据三角形三边长求出半周长$p$，再将$p$和三边长度代入海伦公式，按照先算括号内减法、再算乘法、最后化简根式的顺序计算即可；②用秦九韶公式计算时，直接将三边长对应代入秦九韶面积公式，遵循先算乘方、再算括号内运算、最后化简根式的顺序计算即可。
2. 解决问题二：直接对比两次计算得到的面积结果，就能总结出两个公式的关联结论。
【解析】
问题一
1. 用海伦公式计算：
已知$△ ABC$三边长$a=3$，$b=5$，$c=7$，
先计算半周长：$ p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3+5+7}{2} = \frac{15}{2} $
代入海伦公式 $ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{15}{2} × (\frac{15}{2}-3) × (\frac{15}{2}-5) × (\frac{15}{2}-7)}\\&=\sqrt{\frac{15}{2} × \frac{9}{2} × \frac{5}{2} × \frac{1}{2}}\\&=\sqrt{\frac{675}{16}}\\&=\frac{15\sqrt{3}}{4}\end{aligned}$
2. 用秦九韶公式计算：
代入秦九韶公式 $ S = \sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2 - (\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]} $：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{4}[3^2 × 5^2 - (\frac{3^2+5^2-7^2}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}[225 - (-\frac{15}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{675}{16}}\\&=\frac{15\sqrt{3}}{4}\end{aligned}$
问题二
两次计算得到的$△ ABC$面积数值完全相同，说明海伦公式和秦九韶公式是等价的，二者都可以用于计算已知三边长的三角形的面积，最终得到的面积结果一致。
【答案】
问题一：$△ ABC$的面积为$\frac{15\sqrt{3}}{4}$；问题二：两种公式计算结果一致，海伦公式和秦九韶公式等价，都可用于已知三边长的三角形面积计算。
【知识点】
三角形面积计算、海伦公式、秦九韶公式
【点评】
本题通过两种不同公式计算同一三角形的面积，既考查了公式代入和根式、分数的运算能力，也能让我们体会不同数学公式之间的内在关联，感受数学的趣味性和统一性。
【难度系数】
0.7
解题分为两个问题逐步推进：
1. 解决问题一：①用海伦公式计算时，先根据三角形三边长求出半周长$p$，再将$p$和三边长度代入海伦公式，按照先算括号内减法、再算乘法、最后化简根式的顺序计算即可；②用秦九韶公式计算时，直接将三边长对应代入秦九韶面积公式，遵循先算乘方、再算括号内运算、最后化简根式的顺序计算即可。
2. 解决问题二：直接对比两次计算得到的面积结果，就能总结出两个公式的关联结论。
【解析】
问题一
1. 用海伦公式计算：
已知$△ ABC$三边长$a=3$，$b=5$，$c=7$，
先计算半周长：$ p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3+5+7}{2} = \frac{15}{2} $
代入海伦公式 $ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{15}{2} × (\frac{15}{2}-3) × (\frac{15}{2}-5) × (\frac{15}{2}-7)}\\&=\sqrt{\frac{15}{2} × \frac{9}{2} × \frac{5}{2} × \frac{1}{2}}\\&=\sqrt{\frac{675}{16}}\\&=\frac{15\sqrt{3}}{4}\end{aligned}$
2. 用秦九韶公式计算：
代入秦九韶公式 $ S = \sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2 - (\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]} $：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{4}[3^2 × 5^2 - (\frac{3^2+5^2-7^2}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}[225 - (-\frac{15}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{675}{16}}\\&=\frac{15\sqrt{3}}{4}\end{aligned}$
问题二
两次计算得到的$△ ABC$面积数值完全相同，说明海伦公式和秦九韶公式是等价的，二者都可以用于计算已知三边长的三角形的面积，最终得到的面积结果一致。
【答案】
问题一：$△ ABC$的面积为$\frac{15\sqrt{3}}{4}$；问题二：两种公式计算结果一致，海伦公式和秦九韶公式等价，都可用于已知三边长的三角形面积计算。
【知识点】
三角形面积计算、海伦公式、秦九韶公式
【点评】
本题通过两种不同公式计算同一三角形的面积，既考查了公式代入和根式、分数的运算能力，也能让我们体会不同数学公式之间的内在关联，感受数学的趣味性和统一性。
【难度系数】
0.7
