18. 如图,直线CD与直线AB相交于点C.
(1)按要求画图.
①过点P画$PQ// CD$,交AB于点Q;
②过点P画$PR\perp CD$,垂足为点R.
(2)在(1)所画的图形中,按要求回答下列问题.
①点P到直线CD的距离是线段______的长;
②写出$\angle PQB与\angle DCA$的数量关系,并说明理由.

1. （1）
① 用直尺和三角板，将三角板的一条直角边与$CD$重合，另一条直角边靠紧直尺，然后平移三角板，使与$CD$重合的直角边过点$P$，沿着这条直角边画直线$PQ$，交$AB$于点$Q$，则$PQ// CD$。
② 用三角板的一条直角边与$CD$重合，另一条直角边过点$P$，沿着过点$P$的直角边画直线$PR$，交$CD$于点$R$，则$PR\perp CD$。
2. （2）
①
根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离。
因为$PR\perp CD$，垂足为$R$，所以点$P$到直线$CD$的距离是线段$PR$的长。
②
解：$\angle PQB=\angle DCA$。
理由：因为$PQ// CD$（已画），根据两直线平行，同位角相等。
直线$AB$与$CD$相交于点$C$，$PQ// CD$，$\angle PQB$与$\angle DCA$是同位角，所以$\angle PQB = \angle DCA$（两直线平行，同位角相等）。
综上，答案依次为：①$PR$；②$\angle PQB=\angle DCA$，理由是两直线平行，同位角相等。

19. 如图①,点E在AB上,点F在CD上,点M在直线AB、CD之间,且$\angle BEM+\angle DFM= \angle EMF$.

(1)求证:$AB// CD$;
(2)如图②,点M、N在AB、CD之间,且位于EF的异侧,连结MN,若$2\angle M = 3\angle N$,则$\angle AEM$、$\angle NFD$、$\angle N$三个角之间存在何种数量关系,并说明理由;
(3)如图③,连结EF,$\angle EMF = 90^{\circ}$;$\angle EFM= \alpha$,且FM平分$\angle EFD$. 若$\angle NFD= \frac{1}{3}\angle MFD$,FN与$\angle BEM$的三等分线交于N,则$\angle N= $______(用含$\alpha$的代数式表示).

1. （1）证明$AB// CD$：
过点$M$作$MN// AB$，则$\angle BEM=\angle EMN$（两直线平行，内错角相等）。
因为$\angle BEM + \angle DFM=\angle EMF$，且$\angle EMF=\angle EMN+\angle NMF$，所以$\angle DFM=\angle NMF$。
根据内错角相等，两直线平行，可得$MN// CD$。
又因为$MN// AB$，$MN// CD$，所以$AB// CD$（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）。
2. （2）求$\angle AEM$、$\angle NFD$、$\angle N$的数量关系：
过点$M$作$MP// AB$，过点$N$作$NQ// AB$。
因为$AB// CD$，所以$MP// AB// CD$，$NQ// AB// CD$。
则$\angle AEM=\angle EMP$，$\angle DFM=\angle FMP$，$\angle BEM = 180^{\circ}-\angle AEM$，$\angle DFN=\angle FNQ$，$\angle BEN=\angle ENQ$。
由（1）知$\angle BEM+\angle DFM=\angle EMF$，即$180^{\circ}-\angle AEM+\angle DFM=\angle EMF$。
又因为$\angle ENF=\angle ENQ+\angle FNQ=\angle BEM+\angle DFN$。
设$\angle AEM = x$，$\angle NFD = y$，$\angle N = z$，则$\angle BEM = 180 - x$，$\angle DFM=\angle EMF-(180 - x)$，$\angle N=\angle BEM+\angle NFD$（由$AB// CD$，过$M$、$N$作平行线可推导），即$z=(180 - x)+y$，整理得$\angle AEM+\angle N=\angle NFD + 180^{\circ}$。
3. （3）求$\angle N$：
因为$\angle EMF = 90^{\circ}$，$\angle EFM=\alpha$，所以$\angle BEM=\angle DFM = 90^{\circ}-\alpha$（由（1）$AB// CD$，过$M$作平行线可得）。
因为$FM$平分$\angle EFD$，所以$\angle EFD = 2\angle DFM=2(90^{\circ}-\alpha)=180^{\circ}-2\alpha$。
又因为$\angle NFD=\frac{1}{3}\angle MFD$，$\angle MFD=\angle DFM = 90^{\circ}-\alpha$，所以$\angle NFD=\frac{1}{3}(90^{\circ}-\alpha)=30^{\circ}-\frac{1}{3}\alpha$。
因为$FN$与$\angle BEM$的三等分线交于$N$，$\angle BEM = 90^{\circ}-\alpha$。
分两种情况：
当$\angle BEN=\frac{1}{3}\angle BEM$时，$\angle BEN = 30^{\circ}-\frac{1}{3}\alpha$。
由（2）的方法（过$N$作平行线），$\angle N=\angle BEN+\angle NFD=(30^{\circ}-\frac{1}{3}\alpha)+(30^{\circ}-\frac{1}{3}\alpha)=60^{\circ}-\frac{2}{3}\alpha$。
当$\angle BEN=\frac{2}{3}\angle BEM$时，$\angle BEN = 60^{\circ}-\frac{2}{3}\alpha$。
则$\angle N=\angle BEN+\angle NFD=(60^{\circ}-\frac{2}{3}\alpha)+(30^{\circ}-\frac{1}{3}\alpha)=90^{\circ}-\alpha$。
故答案为$60^{\circ}-\frac{2}{3}\alpha$或$90^{\circ}-\alpha$。