20. 阅读下列材料,回答下列问题:平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
(1)如图①,若$AB// CD$,点P在AB、CD之间,若$\angle BPD = 80^{\circ}$,$\angle B = 58^{\circ}$,求$\angle D$的度数;
(2)在图①中,将直线AB绕点B逆时针旋转一定角度交直线CD于点Q,如图②,请写出$\angle BPD$、$\angle B$、$\angle D$、$\angle BQD$之间的数量关系并说明理由;
(3)利用(2)的结论,求图③中$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F+\angle G$的度数.

1. （1）
解：过点$P$作$PE// AB$。
因为$AB// CD$，$PE// AB$，根据平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，所以$PE// CD$。
因为$PE// AB$，所以$\angle B=\angle BPE = 58^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$\angle BPD=\angle BPE+\angle DPE = 80^{\circ}$，所以$\angle DPE=\angle BPD - \angle BPE$。
把$\angle BPD = 80^{\circ}$，$\angle BPE = 58^{\circ}$代入得$\angle DPE=80^{\circ}-58^{\circ}=22^{\circ}$。
因为$PE// CD$，所以$\angle D=\angle DPE = 22^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
2. （2）
解：$\angle BPD=\angle B+\angle D+\angle BQD$。
理由：连接$BD$。
在$\triangle BQD$中，$\angle QBD+\angle QDB = 180^{\circ}-\angle BQD$（三角形内角和为$180^{\circ}$）。
在$\triangle BPD$中，$\angle BPD = 180^{\circ}-(\angle PBD+\angle PDB)$。
而$\angle PBD+\angle PDB=(\angle QBD+\angle B) + (\angle QDB+\angle D)$。
所以$\angle BPD=180^{\circ}-[( \angle QBD+\angle QDB)+\angle B+\angle D]$。
把$\angle QBD+\angle QDB = 180^{\circ}-\angle BQD$代入上式得：
$\angle BPD=180^{\circ}-(180^{\circ}-\angle BQD+\angle B+\angle D)$。
去括号得$\angle BPD=\angle B+\angle D+\angle BQD$。
3. （3）
解：设$AG$与$BF$相交于点$M$，$BF$与$CE$相交于点$N$。
由（2）的结论可知：
在四边形$MNCF$中，$\angle AMB=\angle A+\angle B+\angle E$，$\angle FND=\angle C+\angle D+\angle G$。
因为$\angle AMB+\angle FND+\angle F+\angle MNF = 360^{\circ}$（四边形内角和为$360^{\circ}$），且$\angle MNF$与$\angle BNG$是对顶角，$\angle BNG$与$\angle F$的和为$180^{\circ}$（平角定义）。
所以$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F+\angle G=540^{\circ}$。
综上，（1）$\angle D = 22^{\circ}$；（2）$\angle BPD=\angle B+\angle D+\angle BQD$；（3）$540^{\circ}$。