5. 平行于 $ x $ 轴的直线与抛物线 $ y = a(x - 2)^2 $ 的一个交点坐标为 $ (-1, 2) $,则另一个交点坐标为()

A.$ (1, 2) $
B.$ (1, -2) $
C.$ (5, 2) $
D.$ (-1, 4) $

C

6. 抛物线 $ y = (x - 1)^2 + 2 $ 的顶点坐标是()

A.$ (-1, 2) $
B.$ (-1, -2) $
C.$ (1, -2) $
D.$ (1, 2) $

D

7. 将抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 + 1 $ 向左平移 2 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度,得到的抛物线的解析式为()

A.$ y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + 4 $
B.$ y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 2 $
C.$ y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 + 4 $
D.$ y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 2 $

D

8. 对于抛物线 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + 3 $,有下列结论：① 抛物线的开口向下；② 对称轴为直线 $ x = 1 $；③ 顶点坐标为 $ (-1, 3) $；④ $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。其中正确结论的个数为()

A.1
B.2
C.3
D.4

C

9. 将二次函数 $ y = 2x^2 - 1 $ 的图象沿 $ y $ 轴向上平移 2 个单位长度,则所得图象对应的函数解析式为。

$y = 2x^2 + 1$

10. 如果二次函数 $ y = a(x + 3)^2 $ 有最大值,那么 $ a $0；当 $ x = $时,函数取得最大值,最大值是。

＜ -3 0

11. 抛物线 $ y = (2x + 1)^2 + 1 $ 的顶点坐标是。

$(-\frac{1}{2}, 1)$

12. 已知抛物线 $ y = a(x - h)^2 $,当 $ x = 2 $ 时,有最大值,此抛物线过点 $ (1, -3) $,求抛物线的解析式,并指出当 $ x $ 为何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
抛物线的解析式为，当 $ x $ 为时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

解：$ \because $ 当 $ x = 2 $ 时，有最大值，$ \therefore h = 2 $. $ \because $ 此抛物线过点 $ (1, -3) $，$ \therefore -3 = a × (1 - 2)^2 $. 解得 $ a = -3 $. $ \therefore $ 此抛物线的解析式为 $ y = -3(x - 2)^2 $. 当 $ x ＞ 2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.

13. 将抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $ 先向左平移 2 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度,得到二次函数 $ y = -2(x + 3)^2 + 1 $ 的图象。
(1) 确定 $ a $,$ h $,$ k $ 的值；$ a= $，$ h= $，$ k= $
(2) 指出二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；开口方向，对称轴是，顶点坐标为
(3) 说明二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的增减性和最大(小)值。当 $ x ＜ -1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而；当 $ x ＞ -1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而。当 $ x = -1 $ 时，$ y $ 有最值，$ y $ 的最值是。

解：(1) $ \because $ 将抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $ 先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为 $ y = a(x - h + 2)^2 + k + 3 $，$ \therefore a = -2 $，$ -h + 2 = 3 $，$ k + 3 = 1 $. $ \therefore h = -1 $，$ k = -2 $. (2) $ \because $ 二次函数的解析式为 $ y = a(x - h)^2 + k = -2(x + 1)^2 - 2 $，$ \therefore $ 图象的开口方向向下，对称轴是 $ x = -1 $，顶点坐标为 $ (-1, -2) $. (3) $ \because $ 图象的开口方向向下，对称轴是 $ x = -1 $，$ \therefore $ 当 $ x ＜ -1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x ＞ -1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小. 当 $ x = -1 $ 时，$ y $ 有最大值，$ y $ 的最大值是 $ -2 $.