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11. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } + 2 m x + m ^ { 2 } + m = 0 $ 的两个实数根的平方和为 12,则 $ m $ 的值为 ______
-2
.答案
$-2$
12. 关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - 2 ( k + 1 ) x + k ^ { 2 } + 1 = 0 $ 的两实数根为 $ x _ { 1 } $ 与 $ x _ { 2 } $ . 若 $ x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } = 26 $,求实数 $ k $ 的值.
2
答案
解：$\because$方程$x^{2}-2(k+1)x+k^{2}+1=0$的两实数根为$x_{1}$与$x_{2}$，$\therefore [-2(k+1)]^{2}-4(k^{2}+1)\geqslant 0$。解得$k\geqslant 0$。由根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=2(k+1)$，$x_{1}x_{2}=k^{2}+1$。$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=26$，$\therefore [2(k+1)]^{2}-2(k^{2}+1)=26$。$\therefore k^{2}+4k-12=0$。解得$k=-6$或$k=2$。$\because k\geqslant 0$，$\therefore k=-6$舍去。故$k=2$。
13. 设 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $ 是方程 $ 2 x ^ { 2 } + 4 x - 3 = 0 $ 的两根,利用根与系数的关系求下列各式的值：
(1)$ ( x _ { 1 } + 1 ) ( x _ { 2 } + 1 ) $；
(2)$ \frac { 1 } { x _ { 1 } } + \frac { 1 } { x _ { 2 } } $；
(3)$ \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } + \frac { x _ { 1 } } { x _ { 2 } } $；
(4)$ x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 1 } x _ { 2 } + 2 x _ { 1 } $ .
(1)$ ( x _ { 1 } + 1 ) ( x _ { 2 } + 1 ) $；
(2)$ \frac { 1 } { x _ { 1 } } + \frac { 1 } { x _ { 2 } } $；
(3)$ \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } + \frac { x _ { 1 } } { x _ { 2 } } $；
(4)$ x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 1 } x _ { 2 } + 2 x _ { 1 } $ .
答案
解：$\because x_{1}$，$x_{2}$是一元二次方程$2x^{2}+4x-3=0$的两根，$\therefore x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=-\frac{3}{2}$。
(1)$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1=-\frac{3}{2}-2+1=-\frac{5}{2}$。
(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{-2}{-\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}$。
(3)$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(-2)^{2}-2×(-\frac{3}{2})}{-\frac{3}{2}}=\frac{4+3}{-\frac{3}{2}}=7×(-\frac{2}{3})=-\frac{14}{3}$。
(4)$x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+2x_{1}=x_{1}(x_{1}+x_{2}+2)=x_{1}(-2+2)=x_{1}\cdot0=0$。
(1)$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1=-\frac{3}{2}-2+1=-\frac{5}{2}$。
(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{-2}{-\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}$。
(3)$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(-2)^{2}-2×(-\frac{3}{2})}{-\frac{3}{2}}=\frac{4+3}{-\frac{3}{2}}=7×(-\frac{2}{3})=-\frac{14}{3}$。
(4)$x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+2x_{1}=x_{1}(x_{1}+x_{2}+2)=x_{1}(-2+2)=x_{1}\cdot0=0$。
14. 关于 $ x $ 的方程 $ 2 x ^ { 2 } + k x - 4 = 10 $ 的一个根是 -2,求方程的另一个根及 $ k $ 的值.
答案
解：整理方程，得$2x^{2}+kx-14=0$。设方程的另一个根为$x_{1}$，由根与系数的关系，得$-2\cdot x_{1}=\frac{-14}{2}=-7$，$-2+x_{1}=\frac{-k}{2}$。所以$x_{1}=\frac{7}{2}$，$k=-3$。
15. 已知一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $,根据根与系数的关系直接写出下面问题的答案.
(1)当方程有一个根为 0 时,写出 $ c $ 的值；
(2)当方程的两根互为相反数时,写出 $ b $ 的值.
(1)当方程有一个根为 0 时,写出 $ c $ 的值；
(2)当方程的两根互为相反数时,写出 $ b $ 的值.
答案
解：(1)把$x=0$代入$ax^{2}+bx+c=0$，得$c=0$。
(2)由方程的两根互为相反数，得$-\frac{b}{a}=0$。所以$b=0$。
(2)由方程的两根互为相反数，得$-\frac{b}{a}=0$。所以$b=0$。
16. 已知 $ m , n $ 是方程 $ x ^ { 2 } + 2 x - 5 = 0 $ 的两个实数根,求 $ m ^ { 2 } - m n + 3 m + n $ 的值.
答案
解：$\because m$，$n$是方程$x^{2}+2x-5=0$的两个实数根，$\therefore m^{2}+2m-5=0$，$m+n=-2$，$mn=-5$。$\therefore m^{2}+2m=5$。$\therefore m^{2}-mn+3m+n=m^{2}+2m-mn+m+n=8$。
17. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } + 2 ( m + 2 ) x + m ^ { 2 } - 5 = 0 $ 有两个实数根,并且这两个根的平方和比这两个根的积大 16,求 $ m $ 的值.
答案
解：设方程的两个实数根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，由根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=-2(m+2)$，$x_{1}\cdot x_{2}=m^{2}-5$。由题意，得$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=16$。$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=16$。$\therefore [-2(m+2)]^{2}-3(m^{2}-5)=16$。$\therefore m_{1}=-1$，$m_{2}=-15$。$\because$方程有实数根，$\therefore [2(m+2)]^{2}-4(m^{2}-5)\geqslant 0$。$\therefore m\geqslant -\frac{9}{4}$。$\therefore m=-1$。
