登录
13. 一张矩形纸 OABC 平放在平面直角坐标系内,O 为原点,点 A 在 x 轴的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,$OA= 5,OC= 4$.如图,将纸片沿 CE 折叠,点 B 落在 x 轴上的点 D 处,求点 E 的坐标.
答案
根据题意得点 $D$ 的坐标为 $(3,0)$. 设 $AE = x$，则 $BE = DE = 4 - x$. ∵ $AD^{2}+AE^{2}=DE^{2}$，∴ $2^{2}+x^{2}=(4 - x)^{2}$，解得 $x=\frac{3}{2}$，∴点 $E$ 的坐标为 $(5,\frac{3}{2})$.
14. (2023·乐山)如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,点 D 为 AB 边上任意一点(不与点 A,B 重合),过点 D 作$DE// BC,DF// AC$,分别交 AC,BC 于点 E,F,连接 EF.
(1)求证:四边形 ECFD 是矩形;
(2)若$CF= 2,CE= 4$,求点 C 到 EF 的距离.
(1)求证:四边形 ECFD 是矩形;
(2)若$CF= 2,CE= 4$,求点 C 到 EF 的距离.
答案
(1)证明：∵ $DE// BC$，$DF// AC$，
∴四边形 $ECFD$ 为平行四边形.
∵ $\angle C = 90^{\circ}$，
∴四边形 $ECFD$ 是矩形.
(2)∵ $\angle C = 90^{\circ}$，$CF = 2$，$CE = 4$，
∴ $EF=\sqrt{CF^{2}+CE^{2}} = 2\sqrt{5}$.
设点 $C$ 到 $EF$ 的距离为 $h$，
∵ $S_{\triangle CEF}=\frac{1}{2}CE\cdot CF=\frac{1}{2}EF\cdot h$，
∴ $2×4 = 2\sqrt{5}h$，
∴ $h=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
答：点 $C$ 到 $EF$ 的距离为 $\frac{4\sqrt{5}}{5}$.
∴四边形 $ECFD$ 为平行四边形.
∵ $\angle C = 90^{\circ}$，
∴四边形 $ECFD$ 是矩形.
(2)∵ $\angle C = 90^{\circ}$，$CF = 2$，$CE = 4$，
∴ $EF=\sqrt{CF^{2}+CE^{2}} = 2\sqrt{5}$.
设点 $C$ 到 $EF$ 的距离为 $h$，
∵ $S_{\triangle CEF}=\frac{1}{2}CE\cdot CF=\frac{1}{2}EF\cdot h$，
∴ $2×4 = 2\sqrt{5}h$，
∴ $h=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
答：点 $C$ 到 $EF$ 的距离为 $\frac{4\sqrt{5}}{5}$.
