10. (2024·南充)如图,在矩形 ABCD 中,E 为 AD 边上一点,$∠ABE= 30^{\circ }$,将$△ABE$沿 BE 折叠得$△FBE$,连接 CF,DF.若 CF 平分$∠BCD,AB= 2$,则 DF 的长为 _ .

$\sqrt{2}$

11. 丁丁和小颖在如图所示的四边形场地上沿边缘骑自行车进行场地追逐赛(两人只要有一人回到自己的出发点,比赛就结束).丁丁从 A 地出发,沿 A—B—C—D—A 的路径匀速骑行,速度为 8 m/s;小颖从 B 地出发,沿 B—C—D—A—B 的路径匀速骑行,速度为 6 m/s.已知$∠ABC= 90^{\circ },AB= 40m,BC= 80m,CD= 90m$.设骑行时间为 t s,假定他们同时出发且每转一个弯需要额外耗时 2 s.
(1)当$t= $ _ s 时,两人第一次到 B 地的距离相等.
(2)丁丁能否在小颖到达 D 地前追上她? 若能,求出此时 t 的值;若不能,请说明理由.

(1) $\frac{20}{7}$
(2)能，此时 $t = 30s$. 理由：当小颖到 $C$ 地时，所用时间为 $80÷6=\frac{40}{3}(s)$，此时，丁丁也骑了 $\frac{40}{3}s$，而丁丁到 $B$ 地时用了 $40÷8 = 5(s)$，剩余 $\frac{40}{3}-5 - 2=\frac{19}{3}(s)$，$\frac{19}{3}×8=\frac{152}{3}＜80$，所以丁丁不可能在 $BC$ 边上追上小颖. 当小颖到达 $D$ 地时，所用时间为 $(80 + 90)÷6 + 2=\frac{85}{3}+2=\frac{91}{3}(s)$，丁丁在 $AB$ 边上用时 $40÷8 = 5(s)$，丁丁在 $BC$ 边上用时 $80÷8 = 10(s)$，刚好到 $C$ 地时，一共用时 $5 + 2+10 = 17(s)$，丁丁在 $CD$ 边上用时 $90÷8 = 11.25(s)$，所以，丁丁到达 $D$ 地时共用时 $17 + 2+11.25=30.25＜\frac{91}{3}$，∴丁丁能在到达 $D$ 地前追上小颖. 根据题意得 $8(t - 2×2)=6(t - 2)+40$，解得 $t = 30$.

12. (2024·黑龙江)为了增强学生的体质,某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动,需购买甲、乙两种品牌毽子.已知购买甲种品牌毽子 10 个和乙种品牌毽子 5 个共需 200 元;购买甲种品牌毽子 15 个和乙种品牌毽子 10 个共需 325 元.
(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元?
(2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费 1000 元,甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的 5 倍,且不超过乙种品牌毽子数量的 16 倍,则有几种购买方案?
(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是 5 元,每售出一个乙种品牌毽子利润是 4 元,在(2)的条件下,学校如何购买毽子商家获得的利润最大? 最大利润是多少元?

(1)设购买一个甲种品牌毽子需 $a$ 元，购买一个乙种品牌毽子需 $b$ 元.
由题意得 $\begin{cases}10a + 5b = 200,\\15a + 10b = 325,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a = 15,\\b = 10.\end{cases}$
答：购买一个甲种品牌毽子需 15 元，购买一个乙种品牌毽子需 10 元.
(2)设购买甲种品牌毽子 $x$ 个，则购买乙种品牌毽子 $\frac{1000 - 15x}{10}=(100-\frac{3}{2}x)$ 个.
由题意得 $\begin{cases}x\geqslant5(100-\frac{3}{2}x),\\x\leqslant16(100-\frac{3}{2}x),\end{cases}$
解得 $58\frac{14}{17}\leqslant x\leqslant64$.
∵ $x$ 和 $100-\frac{3}{2}x$ 均为正整数，
∴ $x = 60,62,64$，
$100-\frac{3}{2}x = 10,7,4$，
∴共有 3 种购买方案.
(3)设商家获得的总利润为 $y$ 元.
$y = 5x + 4(100-\frac{3}{2}x)=-x + 400$.
∵ $k=-1＜0$，
∴ $y$ 随 $x$ 的增大而减小，
∴当 $x = 60$ 时，$y_{最大}=340$.
答：学校购买甲种品牌毽子 60 个，乙种品牌毽子 10 个，商家获得的利润最大，最大利润是 340 元.