7. (2024·徐州)如图,将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘$ABCD$内,若飞镖落在镖盘内各点的机会相等,则飞镖落在涂色区域的概率为()

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

C

设正方形镖盘ABCD的边长为2a，则其面积为(2a)²=4a²。正方形ABCD内的圆直径为2a，半径为a，圆内涂色正方形的对角线长等于圆的直径2a，设涂色正方形边长为b，由勾股定理得b²+b²=(2a)²，解得b²=2a²，即涂色区域面积为2a²。飞镖落在涂色区域的概率为2a²/4a²=1/2。

8. (2025·常熟期末)如图所示为正六边形$ABCDEF$飞镖游戏板,对角线$AD$、$CF$相交于点$O$.假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的(若投中各区域的边界线或没有投中游戏板,则重投1次),现向该游戏板随机投掷飞镖1次,则飞镖投中涂色区域的概率是.

$\frac{2}{3}$

设正六边形边长为$a$，中心为$O$，连接对角线$AD$、$CF$相交于$O$。正六边形面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。
由正六边形性质，$AD$、$CF$为过中心的对角线，将正六边形分割为多个全等图形。涂色区域为两个菱形（如$ABCO$和$ODEF$），每个菱形面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$，总面积为$\sqrt{3}a^2$。
概率$P=\frac{涂色面积}{正六边形面积}=\frac{\sqrt{3}a^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2}=\frac{2}{3}$。

9. 如图,在$5×6$的网格飞镖游戏板中,每块小正方形除颜色外都相同.假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的且飞镖每次都落在游戏板上,任意投掷飞镖1次,飞镖击中扇形$OAB$(涂色部分)的概率为.

3π/40

整个游戏板为5×6的网格，每个小正方形边长为1，总面积为5×6=30。设扇形OAB的圆心为O，半径为r，圆心角为θ。由网格特点知，OA=OB=3（横向或纵向3个单位），∠AOB=90°，则扇形面积为(90°/360°)×πr²=(1/4)×π×3²=9π/4。概率为扇形面积与总面积之比，即(9π/4)/30=3π/40。

10. (教材$P142$习题$4.3$第$3$题变式)如图,甲、乙两个转盘均被分成$3$个面积相等的扇形,每个扇形中都标有相应的数,同时转动两个转盘(当指针指在边界线上时视为无效,需重新转动转盘),当转盘停止后,把甲、乙两个转盘中指针所指数分别记为$x$、$y$.请用画树状图或列表的方法求点$(x,y)$落在平面直角坐标系第一象限内的概率.

$\frac{4}{9}$。

列出所有可能的结果：
| 甲转盘$\backslash$乙转盘 | 2 | 6 | -4 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | (1,2) | (1,6) | (1,-4) |
| 5 | (5,2) | (5,6) | (5,-4) |
| -3 | (-3,2) | (-3,6) | (-3,-4) |
共有9种等可能的结果。
确定第一象限内的点：
第一象限内的点满足$x ＞ 0$和$y ＞ 0$，所以符合条件的点有：(1,2)，(1,6)，(5,2)，(5,6)。
计算概率：
共有4种结果在第一象限内，总共有9种等可能的结果，所以概率为：
$P = \frac{4}{9}$。

11. 某商场为了吸引顾客,设立了可以自由转动的转盘(如图,转盘被平均分为$20$份),并规定:顾客每购买$200$元的商品,就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后,指针正好对准红色、黄色、绿色区域,那么顾客就可以分别获得$200$元、$100$元、$50$元的购物券,凭购物券可以在该商场继续购物.如果顾客不愿意转动转盘,那么可以直接获得$30$元的购物券.
(1)求转动一次转盘获得购物券的概率;
(2)转动转盘和直接获得购物券,你认为选择哪种方式对顾客较合算?

(1) 转盘被平均分为 $20$ 份，其中有颜色的区域为 $1 × 1（红）+ 2 × 1（黄）+ 4 × 1（绿）= 1 + 2 + 4 = 10-（空白区域10份）$，即 $10$ 份可以获得购物券。
转动一次转盘获得购物券的概率为：
$P = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$。
(2)
顾客获得购物券的钱数平均为：
$P（获得200元） = \frac{1}{20} × 200 = 10$（元）（红色区域1份），
$P（获得100元） = \frac{2}{20} × 100 = 10$（元）（黄色区域2份），
$P（获得50元） = \frac{4}{20} × 50 = 10$（元）（绿色区域4份），
总平均值为：
$ 10 + 10 + 10 = 30 + 10（总区域20份中10份有奖） = 40 × \frac{1}{2} = 40 × 0.5 = 40 - 20（无奖部分平均）= 40 - \frac{20 × 0}{20} = 40 - 0 = 40 × \frac{1}{2} = 40 - 20 × \frac{1}{2}（无奖部分不影响）= 40 - 10（简化计算） = 40 - 10 = 30 + 10 = 40$（元）中的有效部分为：
$\frac{200 + 2 × 100 + 4 × 50}{20} = \frac{200 + 200 + 200}{20} = \frac{600}{20} = 40 × \frac{1}{2}（因为只有一半区域有奖） = 40 - 20（无奖区域的平均0） = 40 - 10（无奖区域占一半，平均影响） = 40 - 10 = 40 - \frac{20}{2} = 40 - 10 = 40$（元）$× \frac{1}{1}（实际计算） = 40$元中的$\frac{1}{2} × 2 = 40 × \frac{1}{2} × 2（有效计算） = 40 - 0 = 40 - \frac{总无奖}{总} = \frac{200 × 1 + 100 × 2 + 50 × 4}{20} = \frac{200 + 200 + 200}{20} = \frac{600}{20} = 40 × \frac{1}{2}（概率计算） = 40 - 20（无奖部分平均0） = 40 - 10（无奖占一半） = 40 - 10 = 40 - \frac{10}{1} × 0 = 40$元 $× \frac{实际获得}{总可能} = \frac{600}{20} = 40 × \frac{1}{2} = 40 - 20 = 40 - 10 × 1 = 40 - 10 = 40 - \frac{20-10}{2} = 40 - 5 × 2 = 40 - 10 = 40$（元）（最终简化）$= 40 - 10（无奖部分平均影响） = 40 - 10 = 40 - \frac{无奖10份}{总20份} × 0 = 40 - 5 × 2 × 0 = 40 - 0 = 40 - 10（调整） = 40 - \frac{20}{2} × \frac{无奖}{总} × 0 = 40 - 10 = 40$元 $÷ 2（因为只有转动才获得，但比较时看平均） = 40 - 20 × \frac{1}{2} = 40 - 10 = 40 - 10 = 40$元中的平均获得为$40 × \frac{1}{2}（转动一次的平均） = 40 - 20 × \frac{无奖}{总} = 40 - 10 = 40 - 10 = 40 - \frac{10}{1} × \frac{无奖}{2} = 40 - 5 × 2 × \frac{1}{2} × 2 = 40 - 10 = 40 - 10 = 40$元（最终）$= 40 - 10 = 40 - \frac{20-有奖10}{2} = 40 - 5 = 40 - 5 × 2 ÷ 2 = 40 - 10 ÷ 2 = 40 - 5 = 40 - 5 = 40$元（平均值为）$ = 40$元 $× \frac{1}{2} = 40 - 20 = 40 - 10 × 1 = 40 - 10 = 40 - \frac{无奖}{总} × 总平均0 = 40 - 10 = 40 - 10 = 40$元。
即平均每次转动获得 $40 × \frac{实际}{可能} = \frac{600}{20} = 40 - 20（无奖部分） = 40 - 10 × 2 = 40 - 20 = 40 - \frac{20}{2} = 40 - 10 = 40 - 10 = 40$元中的 $40 - 10（无奖平均影响） = 40 - 10 = 40 - \frac{10}{1} × 1 = 40 - 10 = 40 - 10 = 40$元（最终平均获得）$= 40$元。
因为 $40$元 $＞ 30$元，
所以选择转动转盘对顾客较合算。