3. 已知$x-\frac {1}{x}= \sqrt {6}$,则$x^{2}+\frac {1}{x^{2}}= $______。

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4. 当$x= \sqrt {5}-1$时,代数式$x^{2}+2x+3$的值是______。

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5. 观察下列各式：$\sqrt {1+\frac {1}{3}}= 2\sqrt {\frac {1}{3}}$,$\sqrt {2+\frac {1}{4}}= 3\sqrt {\frac {1}{4}}$,$\sqrt {3+\frac {1}{5}}= 4\sqrt {\frac {1}{5}}$,…。请你将发现的规律用含正整数$n$的式子表示出来：______。

$\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（$n$为正整数）

1. 计算：
(1)$3\sqrt {12}-2\sqrt {48}+\sqrt {8}$；
(2)$(2-\sqrt {3})^{2021}(2+\sqrt {3})^{2022}-|-\sqrt {3}|-(-\sqrt {2})^{0}$。

【解析】：1. （1）先将各项根式化简：
因为$\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}$，所以$3\sqrt{12}=3\times2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$；
因为$\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}$，所以$2\sqrt{48}=2\times4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$；
因为$\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}$。
则$3\sqrt {12}-2\sqrt {48}+\sqrt {8}=6\sqrt{3}-8\sqrt{3}+2\sqrt{2}=-2\sqrt{3}+2\sqrt{2}$。
（2）根据积的乘方公式$(ab)^n=a^n\times b^n$，对$(2 - \sqrt{3})^{2021}(2 + \sqrt{3})^{2022}$进行变形可得：
$(2 - \sqrt{3})^{2021}(2 + \sqrt{3})^{2021}(2 + \sqrt{3})=[(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})]^{2021}(2 + \sqrt{3})$。
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^2 - b^2$，则$(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4 - 3 = 1$，所以$[(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})]^{2021}(2 + \sqrt{3})=1^{2021}\times(2+\sqrt{3})=2+\sqrt{3}$。
又因为$\vert-\sqrt{3}\vert=\sqrt{3}$，$(-\sqrt{2})^0 = 1$（$a^0 = 1(a\neq0)$），所以$(2-\sqrt {3})^{2021}(2+\sqrt {3})^{2022}-\vert-\sqrt {3}\vert-(-\sqrt {2})^{0}=2+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1 = 1$。
【答案】：1.（1）$-2\sqrt{3}+2\sqrt{2}$ （2）$1$

2. 已知$a+b= -2$,$ab= \frac {1}{2}$,求$\sqrt {\frac {b}{a}}+\sqrt {\frac {a}{b}}$的值。

【解析】：
因为$a + b = - 2\lt0$，$ab=\frac{1}{2}\gt0$，所以$a\lt0$，$b\lt0$。
则$\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{ab}{a^{2}}}+\sqrt{\frac{ab}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{ab}}{\vert a\vert}+\frac{\sqrt{ab}}{\vert b\vert}$。
因为$a\lt0$，$b\lt0$，所以$\vert a\vert=-a$，$\vert b\vert=-b$，那么$\frac{\sqrt{ab}}{\vert a\vert}+\frac{\sqrt{ab}}{\vert b\vert}=-\frac{\sqrt{ab}}{a}-\frac{\sqrt{ab}}{b}=-\sqrt{ab}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$。
又因为$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b + a}{ab}$，已知$a + b = - 2$，$ab=\frac{1}{2}$，所以$\frac{b + a}{ab}=\frac{-2}{\frac{1}{2}}=-4$。
则$-\sqrt{ab}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=-\sqrt{\frac{1}{2}}\times(-4)=4\times\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
【答案】：$2\sqrt{2}$

3. 某小区有一块长为$\sqrt {243}m$、宽为$\sqrt {128}m$的空地,现要在该空地上种植草坪进行绿化,解答下面的问题：
(1)求该空地的周长；
(2)若种植草坪的造价为12元$/m^{2}$,求绿化该空地所需的总费用。

【解析】：
1. 首先求空地的周长：
已知长方形周长公式$C = 2(a + b)$（其中$a$为长，$b$为宽），空地长$a=\sqrt{243}m$，宽$b = \sqrt{128}m$。
先化简$\sqrt{243}=\sqrt{81\times3}=9\sqrt{3}$，$\sqrt{128}=\sqrt{64\times2}=8\sqrt{2}$。
则周长$C = 2(\sqrt{243}+\sqrt{128})=2(9\sqrt{3}+8\sqrt{2})=(18\sqrt{3}+16\sqrt{2})m$。
2. 然后求绿化该空地所需的总费用：
先根据长方形面积公式$S = ab$求空地面积，$S=\sqrt{243}\times\sqrt{128}$。
因为$\sqrt{243}\times\sqrt{128}=\sqrt{243\times128}=\sqrt{81\times3\times64\times2}$。
根据$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$，则$\sqrt{81\times3\times64\times2}=\sqrt{81}\times\sqrt{64}\times\sqrt{3\times2}=9\times8\times\sqrt{6}=72\sqrt{6}m^{2}$。
已知种植草坪的造价为$12$元$/m^{2}$，那么总费用$=12\times S = 12\times72\sqrt{6}=864\sqrt{6}$元。
【答案】：(1)$(18\sqrt{3}+16\sqrt{2})m$；(2)$864\sqrt{6}$元