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4. (2025 • 常州天宁校级一模) 小明利用一个小圆柱形塑料桶、一把刻度尺和几枚硬币，借助水来测量某些物体的密度。($ g $ 取 $ 10 \ \mathrm{N/kg} $，$ \rho_{\mathrm{水}} = 1 × 10^3 \ \mathrm{kg/m}^3 $)
(1) 测酱油的密度。步骤：
① 将几枚硬币放入小圆柱形塑料桶内，目的是使塑料桶和硬币整体的重心
② 将桶口向上放入水中使其竖直漂浮，测出桶口露出水面的高度为 $ h_1 = 8.50 \ \mathrm{cm} $(如图乙)。
③ 将桶捞出擦干并放入酱油中使其竖直漂浮，测出桶口露出酱油面的高度为 $ h_2 = 10.00 \ \mathrm{cm} $(如图丙)；则酱油的密度为
(2) 测项链的密度。在(1)的基础上，又进行了如下操作：
④ 将项链放入桶中，将桶口向上放入水中使其竖直漂浮，测出桶口露出水面的高度为 $ h_3 = 4.00 \ \mathrm{cm} $(如图丁)。
⑤ 将项链取出粘在桶底(粘胶的体积和质量忽略不计)，将桶和项链一起放入水中使其竖直漂浮，测出桶口露出水面的高度为 $ h_4 = 4.25 \ \mathrm{cm} $(如图戊)，则项链的密度为
(1) 测酱油的密度。步骤：
① 将几枚硬币放入小圆柱形塑料桶内，目的是使塑料桶和硬币整体的重心
降低
。用刻度尺测出桶的高度为 $ L = $20.00
$ \mathrm{cm} $(如图甲)。② 将桶口向上放入水中使其竖直漂浮，测出桶口露出水面的高度为 $ h_1 = 8.50 \ \mathrm{cm} $(如图乙)。
③ 将桶捞出擦干并放入酱油中使其竖直漂浮，测出桶口露出酱油面的高度为 $ h_2 = 10.00 \ \mathrm{cm} $(如图丙)；则酱油的密度为
$1.15×10^{3}$
$ \mathrm{kg/m}^3 $。(2) 测项链的密度。在(1)的基础上，又进行了如下操作：
④ 将项链放入桶中，将桶口向上放入水中使其竖直漂浮，测出桶口露出水面的高度为 $ h_3 = 4.00 \ \mathrm{cm} $(如图丁)。
⑤ 将项链取出粘在桶底(粘胶的体积和质量忽略不计)，将桶和项链一起放入水中使其竖直漂浮，测出桶口露出水面的高度为 $ h_4 = 4.25 \ \mathrm{cm} $(如图戊)，则项链的密度为
$18×10^{3}$
$ \mathrm{kg/m}^3 $。答案
4.(1)①降低$ 20.00 ③1.15×10^{3} (2)⑤18×10^{3}$
解析
【分析】
解题思路：
1. (1)①的思考：空的圆柱形塑料桶重心较高，放入硬币可降低整体重心，使桶能竖直稳定漂浮，避免倾倒。刻度尺读数时，需注意甲图刻度尺分度值为1mm，要估读到分度值的下一位，因此读数为20.00cm。
2. (1)③测酱油密度：
核心思路：利用漂浮条件（漂浮时物体所受浮力等于自身重力），桶和硬币的总重力不变，因此在水和酱油中漂浮时受到的浮力相等。
步骤：设桶的底面积为$ S $，分别对桶在水、酱油中的漂浮状态列浮力等于重力的等式，通过等式消去相同物理量（$ g $、$ S $），代入已知数据计算酱油密度。
3. (2)⑤测项链密度：
核心思路：先通过步骤④求出项链的质量（利用漂浮条件，总浮力的增加量等于项链的重力），再通过步骤⑤求出项链的体积（对比④和⑤的排开水的体积，差值即为项链的体积），最后用密度公式$ \rho = \frac{m}{V} $计算项链密度。
步骤：
① 由步骤④，结合漂浮条件，推导项链的质量表达式；
② 由步骤⑤，结合漂浮条件和阿基米德原理，推导项链的体积表达式；
③ 将质量和体积代入密度公式，消去未知量（桶的底面积$ S $），计算项链的密度。
【解析】
(1) 测酱油的密度
① 将硬币放入塑料桶，目的是使塑料桶和硬币整体的重心降低，保证桶竖直漂浮；
由图甲刻度尺可知，分度值为1mm，读数为$ 20.00 \ \mathrm{cm} $。
③ 设桶的底面积为$ S $，桶和硬币的总重力为$ G $：
桶在水中漂浮时，根据漂浮条件：$ G = F_{\mathrm{浮水}} = \rho_{\mathrm{水}}gS(L - h_1) $
桶在酱油中漂浮时，根据漂浮条件：$ G = F_{\mathrm{浮酱油}} = \rho_{\mathrm{酱油}}gS(L - h_2) $
因为总重力$ G $不变，所以：
$\rho_{\mathrm{水}}gS(L - h_1) = \rho_{\mathrm{酱油}}gS(L - h_2)$
约去$ g $、$ S $，代入$ L=20.00\ \mathrm{cm} $，$ h_1=8.50\ \mathrm{cm} $，$ h_2=10.00\ \mathrm{cm} $，$ \rho_{\mathrm{水}}=1×10^3\ \mathrm{kg/m^3} $：
$\rho_{\mathrm{酱油}} = \rho_{\mathrm{水}} · \frac{L - h_1}{L - h_2} = 1×10^3\ \mathrm{kg/m^3} × \frac{20.00\ \mathrm{cm}-8.50\ \mathrm{cm}}{20.00\ \mathrm{cm}-10.00\ \mathrm{cm}} = 1.15×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
(2) 测项链的密度
⑤ 设项链的质量为$ m $，体积为$ V $，桶的底面积为$ S $：
由步骤④，项链在桶中漂浮时，总重力等于总浮力：$ G + mg = \rho_{\mathrm{水}}gS(L - h_3) $
已知$ G = \rho_{\mathrm{水}}gS(L - h_1) $，代入得：
$ mg = \rho_{\mathrm{水}}gS[(L - h_3)-(L - h_1)] = \rho_{\mathrm{水}}gS(h_1 - h_3) $
约去$ g $，得项链质量：$ m = \rho_{\mathrm{水}}S(h_1 - h_3) $
由步骤⑤，项链粘在桶底漂浮时，总浮力等于总重力：
$ \rho_{\mathrm{水}}g[S(L - h_4) + V] = G + mg = \rho_{\mathrm{水}}gS(L - h_3) $
约去$ \rho_{\mathrm{水}}g $，整理得项链体积：
$ V = S[(L - h_3)-(L - h_4)] = S(h_4 - h_3) $
根据密度公式$ \rho = \frac{m}{V} $，代入$ m $和$ V $的表达式：
$\rho_{\mathrm{项链}} = \frac{\rho_{\mathrm{水}}S(h_1 - h_3)}{S(h_4 - h_3)} = \rho_{\mathrm{水}} · \frac{h_1 - h_3}{h_4 - h_3}$
代入$ h_1=8.50\ \mathrm{cm} $，$ h_3=4.00\ \mathrm{cm} $，$ h_4=4.25\ \mathrm{cm} $：
$\rho_{\mathrm{项链}} = 1×10^3\ \mathrm{kg/m^3} × \frac{8.50\ \mathrm{cm}-4.00\ \mathrm{cm}}{4.25\ \mathrm{cm}-4.00\ \mathrm{cm}} = 18×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
【答案】
(1) ① 降低；$\boldsymbol{20.00}$；③ $\boldsymbol{1.15×10^3}$
(2) ⑤ $\boldsymbol{18×10^3}$
【知识点】
1. 漂浮条件（浮力等于重力）
2. 阿基米德原理
3. 密度公式的应用
【点评】
本题是浮力的综合应用题，需要结合漂浮条件和阿基米德原理，通过引入中间量（桶的底面积$ S $）建立等式，消去未知量求解。题目注重逻辑推导，要求学生能灵活运用浮力相关规律，将复杂的物理过程拆解为简单的受力分析和公式推导，对学生的物理思维和计算能力有一定考验。
【难度系数】
0.35
解题思路：
1. (1)①的思考：空的圆柱形塑料桶重心较高，放入硬币可降低整体重心，使桶能竖直稳定漂浮，避免倾倒。刻度尺读数时，需注意甲图刻度尺分度值为1mm，要估读到分度值的下一位，因此读数为20.00cm。
2. (1)③测酱油密度：
核心思路：利用漂浮条件（漂浮时物体所受浮力等于自身重力），桶和硬币的总重力不变，因此在水和酱油中漂浮时受到的浮力相等。
步骤：设桶的底面积为$ S $，分别对桶在水、酱油中的漂浮状态列浮力等于重力的等式，通过等式消去相同物理量（$ g $、$ S $），代入已知数据计算酱油密度。
3. (2)⑤测项链密度：
核心思路：先通过步骤④求出项链的质量（利用漂浮条件，总浮力的增加量等于项链的重力），再通过步骤⑤求出项链的体积（对比④和⑤的排开水的体积，差值即为项链的体积），最后用密度公式$ \rho = \frac{m}{V} $计算项链密度。
步骤：
① 由步骤④，结合漂浮条件，推导项链的质量表达式；
② 由步骤⑤，结合漂浮条件和阿基米德原理，推导项链的体积表达式；
③ 将质量和体积代入密度公式，消去未知量（桶的底面积$ S $），计算项链的密度。
【解析】
(1) 测酱油的密度
① 将硬币放入塑料桶，目的是使塑料桶和硬币整体的重心降低，保证桶竖直漂浮；
由图甲刻度尺可知，分度值为1mm，读数为$ 20.00 \ \mathrm{cm} $。
③ 设桶的底面积为$ S $，桶和硬币的总重力为$ G $：
桶在水中漂浮时，根据漂浮条件：$ G = F_{\mathrm{浮水}} = \rho_{\mathrm{水}}gS(L - h_1) $
桶在酱油中漂浮时，根据漂浮条件：$ G = F_{\mathrm{浮酱油}} = \rho_{\mathrm{酱油}}gS(L - h_2) $
因为总重力$ G $不变，所以：
$\rho_{\mathrm{水}}gS(L - h_1) = \rho_{\mathrm{酱油}}gS(L - h_2)$
约去$ g $、$ S $，代入$ L=20.00\ \mathrm{cm} $，$ h_1=8.50\ \mathrm{cm} $，$ h_2=10.00\ \mathrm{cm} $，$ \rho_{\mathrm{水}}=1×10^3\ \mathrm{kg/m^3} $：
$\rho_{\mathrm{酱油}} = \rho_{\mathrm{水}} · \frac{L - h_1}{L - h_2} = 1×10^3\ \mathrm{kg/m^3} × \frac{20.00\ \mathrm{cm}-8.50\ \mathrm{cm}}{20.00\ \mathrm{cm}-10.00\ \mathrm{cm}} = 1.15×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
(2) 测项链的密度
⑤ 设项链的质量为$ m $，体积为$ V $，桶的底面积为$ S $：
由步骤④，项链在桶中漂浮时，总重力等于总浮力：$ G + mg = \rho_{\mathrm{水}}gS(L - h_3) $
已知$ G = \rho_{\mathrm{水}}gS(L - h_1) $，代入得：
$ mg = \rho_{\mathrm{水}}gS[(L - h_3)-(L - h_1)] = \rho_{\mathrm{水}}gS(h_1 - h_3) $
约去$ g $，得项链质量：$ m = \rho_{\mathrm{水}}S(h_1 - h_3) $
由步骤⑤，项链粘在桶底漂浮时，总浮力等于总重力：
$ \rho_{\mathrm{水}}g[S(L - h_4) + V] = G + mg = \rho_{\mathrm{水}}gS(L - h_3) $
约去$ \rho_{\mathrm{水}}g $，整理得项链体积：
$ V = S[(L - h_3)-(L - h_4)] = S(h_4 - h_3) $
根据密度公式$ \rho = \frac{m}{V} $，代入$ m $和$ V $的表达式：
$\rho_{\mathrm{项链}} = \frac{\rho_{\mathrm{水}}S(h_1 - h_3)}{S(h_4 - h_3)} = \rho_{\mathrm{水}} · \frac{h_1 - h_3}{h_4 - h_3}$
代入$ h_1=8.50\ \mathrm{cm} $，$ h_3=4.00\ \mathrm{cm} $，$ h_4=4.25\ \mathrm{cm} $：
$\rho_{\mathrm{项链}} = 1×10^3\ \mathrm{kg/m^3} × \frac{8.50\ \mathrm{cm}-4.00\ \mathrm{cm}}{4.25\ \mathrm{cm}-4.00\ \mathrm{cm}} = 18×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
【答案】
(1) ① 降低；$\boldsymbol{20.00}$；③ $\boldsymbol{1.15×10^3}$
(2) ⑤ $\boldsymbol{18×10^3}$
【知识点】
1. 漂浮条件（浮力等于重力）
2. 阿基米德原理
3. 密度公式的应用
【点评】
本题是浮力的综合应用题，需要结合漂浮条件和阿基米德原理，通过引入中间量（桶的底面积$ S $）建立等式，消去未知量求解。题目注重逻辑推导，要求学生能灵活运用浮力相关规律，将复杂的物理过程拆解为简单的受力分析和公式推导，对学生的物理思维和计算能力有一定考验。
【难度系数】
0.35
