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7.用一根铁丝恰好可以焊接成一个长5 cm、宽3 cm、高4 cm的长方体框架，若这根铁丝也恰好能焊接成一个正方体框架，则这个正方体框架的棱长是多少厘米？
答案
7. (5+3+4)×4=48(cm)
48÷12=4(cm)
48÷12=4(cm)
解析
【分析】
解决这道题的核心是抓住“同一根铁丝焊接框架”这一条件，说明长方体和正方体的棱长总和是相等的。解题时第一步先计算长方体的棱长总和，也就是铁丝的总长度，长方体分别有4条长、4条宽、4条高，所以棱长总和公式为（长+宽+高）×4；第二步结合正方体12条棱长度完全相等的特征，用总棱长除以12就能得到正方体的棱长。
【解析】
1. 计算铁丝总长度（即长方体棱长总和）：
长方体棱长总和 = （长+宽+高）×4
代入数值计算：$(5+3+4)× 4=12× 4=48$（cm）
2. 计算正方体框架的棱长：
正方体12条棱长度相等，棱长 = 棱长总和÷12
代入数值计算：$48÷ 12=4$（cm）
【答案】
4厘米
【知识点】
长方体棱长总和计算、正方体棱长总和计算
【点评】
本题属于立体图形棱长计算的基础题型，解题关键是明确两种框架的棱长总和相等，只要熟练掌握长方体、正方体的棱长特征和棱长总和公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是抓住“同一根铁丝焊接框架”这一条件，说明长方体和正方体的棱长总和是相等的。解题时第一步先计算长方体的棱长总和，也就是铁丝的总长度，长方体分别有4条长、4条宽、4条高，所以棱长总和公式为（长+宽+高）×4；第二步结合正方体12条棱长度完全相等的特征，用总棱长除以12就能得到正方体的棱长。
【解析】
1. 计算铁丝总长度（即长方体棱长总和）：
长方体棱长总和 = （长+宽+高）×4
代入数值计算：$(5+3+4)× 4=12× 4=48$（cm）
2. 计算正方体框架的棱长：
正方体12条棱长度相等，棱长 = 棱长总和÷12
代入数值计算：$48÷ 12=4$（cm）
【答案】
4厘米
【知识点】
长方体棱长总和计算、正方体棱长总和计算
【点评】
本题属于立体图形棱长计算的基础题型，解题关键是明确两种框架的棱长总和相等，只要熟练掌握长方体、正方体的棱长特征和棱长总和公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
8.用15个棱长为1 cm的小正方体摆成一个长方体。可以怎么摆？新摆成的长方体的体积是多少？
答案
8. 摆法有多种如:①横着摆一排,摆15个。②可以摆三层,每层摆5个。
1×1×1×15=15(cm³)
1×1×1×15=15(cm³)
解析
【分析】
解题时可以按以下思路思考：①先算单个小正方体的体积：棱长1cm的小正方体体积是1立方厘米；②思考摆长方体的逻辑：长方体由15个小正方体拼成，所以长、宽、高方向摆放的小正方体个数的乘积要等于15，只要找出乘积为15的三个正整数组合，就能得到对应的摆法；③体积计算的核心：拼摆过程中仅改变小正方体的位置，总个数不变，因此总体积就是15个小正方体的体积和。
【解析】
1. 计算单个小正方体体积：
棱长为1cm的小正方体体积为：$1×1×1=1(\mathrm{cm}^3)$
2. 列举摆法（摆法不唯一）：
要拼成长方体，需满足长、宽、高方向小正方体个数的乘积为15，由此可得常见摆法：
① 取长宽高对应小正方体个数为15、1、1：即横着摆一排，总共摆15个；
② 取长宽高对应小正方体个数为5、1、3：即摆3层，每层摆5个。
3. 计算拼成长方体的体积：
拼摆过程中小正方体总数量不变，共15个小正方体，因此总体积为：$1×15=15(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
摆法不唯一，示例：①横着摆一排，摆15个；②摆三层，每层摆5个。新摆成的长方体的体积是$\boxed{15\mathrm{cm}^3}$。
【知识点】
1. 正方体体积计算
2. 立体图形的切拼
3. 体积等积变形
【点评】
本题主要考查立体图形拼摆的规律，解题关键是理解拼摆前后小正方体的总数量不变，因此体积也不变，摆法只需满足长宽高对应的小正方体个数乘积等于总个数即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时可以按以下思路思考：①先算单个小正方体的体积：棱长1cm的小正方体体积是1立方厘米；②思考摆长方体的逻辑：长方体由15个小正方体拼成，所以长、宽、高方向摆放的小正方体个数的乘积要等于15，只要找出乘积为15的三个正整数组合，就能得到对应的摆法；③体积计算的核心：拼摆过程中仅改变小正方体的位置，总个数不变，因此总体积就是15个小正方体的体积和。
【解析】
1. 计算单个小正方体体积：
棱长为1cm的小正方体体积为：$1×1×1=1(\mathrm{cm}^3)$
2. 列举摆法（摆法不唯一）：
要拼成长方体，需满足长、宽、高方向小正方体个数的乘积为15，由此可得常见摆法：
① 取长宽高对应小正方体个数为15、1、1：即横着摆一排，总共摆15个；
② 取长宽高对应小正方体个数为5、1、3：即摆3层，每层摆5个。
3. 计算拼成长方体的体积：
拼摆过程中小正方体总数量不变，共15个小正方体，因此总体积为：$1×15=15(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
摆法不唯一，示例：①横着摆一排，摆15个；②摆三层，每层摆5个。新摆成的长方体的体积是$\boxed{15\mathrm{cm}^3}$。
【知识点】
1. 正方体体积计算
2. 立体图形的切拼
3. 体积等积变形
【点评】
本题主要考查立体图形拼摆的规律，解题关键是理解拼摆前后小正方体的总数量不变，因此体积也不变，摆法只需满足长宽高对应的小正方体个数乘积等于总个数即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
9.一个正方体的六个面上分别标上了1点、2点、3点、4点、5点、6点，下图是从三个不同角度观察到的情况。“3点”这一面相对的面是哪个面？
答案
9. "3 点"这一面相对的面是4点。
解析
【分析】
要找出3点相对的面，我们可以利用正方体“相对的面一定不相邻”的特点，用排除法逐步推导：首先找出现次数多的面，先确定它的相对面，再逐步排除不可能的选项，最终得到3点的相对面。
【解析】
正方体的6个面中，相对的面一定不相邻，我们按以下步骤推导：
① 先分析5点的相邻面：从第一个观察图可知，5点和1点、3点相邻；从第二个观察图可知，5点和4点、6点相邻。因此5点的相邻面是1、3、4、6，剩余的数字只有2，可得5点的对面是2点。
② 此时还剩1、3、4、6四个数字未配对。再分析1点的相邻面：第一个观察图中1点和3点、5点相邻，排除3、5；已知5点对面是2，排除2；结合两次转动的情况可知1点和6点也相邻，排除6，因此1点的对面是6点。
③ 最后仅剩3和4两个数字未配对，因此3点的对面就是4点。
【答案】
"3 点"这一面相对的面是4点。
【知识点】
正方体面的特征；排除法推理；立体图形观察
【点评】
本题解题核心是利用正方体相对面不相邻的特点，通过排除法逐步推导，先确定出现次数多的面的相对面，再推导其余面的对应关系，能很好地锻炼空间想象能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要找出3点相对的面，我们可以利用正方体“相对的面一定不相邻”的特点，用排除法逐步推导：首先找出现次数多的面，先确定它的相对面，再逐步排除不可能的选项，最终得到3点的相对面。
【解析】
正方体的6个面中，相对的面一定不相邻，我们按以下步骤推导：
① 先分析5点的相邻面：从第一个观察图可知，5点和1点、3点相邻；从第二个观察图可知，5点和4点、6点相邻。因此5点的相邻面是1、3、4、6，剩余的数字只有2，可得5点的对面是2点。
② 此时还剩1、3、4、6四个数字未配对。再分析1点的相邻面：第一个观察图中1点和3点、5点相邻，排除3、5；已知5点对面是2，排除2；结合两次转动的情况可知1点和6点也相邻，排除6，因此1点的对面是6点。
③ 最后仅剩3和4两个数字未配对，因此3点的对面就是4点。
【答案】
"3 点"这一面相对的面是4点。
【知识点】
正方体面的特征；排除法推理；立体图形观察
【点评】
本题解题核心是利用正方体相对面不相邻的特点，通过排除法逐步推导，先确定出现次数多的面的相对面，再推导其余面的对应关系，能很好地锻炼空间想象能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
10.一个长方体，如果高增加2 dm就变成一个正方体，表面积增加56 dm²。原来长方体的体积是多少立方分米？
答案
10. 56÷4=14(dm²) 14÷2=7(dm)
7-2=5(dm) 7×7×5=245(dm³)
7-2=5(dm) 7×7×5=245(dm³)
解析
【分析】
首先根据“高增加2dm就变成正方体”可知，原长方体的长和宽长度相等，且长（宽）比高大2dm。其次，高增加时，长方体上下底面的面积没有发生变化，增加的56dm²是4个完全相同的长方形侧面的总面积，每个长方形的宽为2dm，长就是原长方体的长（或宽）。解题时先算出单个新增侧面的面积，再求出原长方体的长、宽，接着推算出原长方体的高，最后代入长方体体积公式计算即可。
【解析】
1. 计算单个新增侧面的面积：增加的表面积是4个相同侧面的面积和，因此单个侧面面积为 $ 56÷4=14(\mathrm{dm}^2) $
2. 求原长方体的长和宽：新增侧面为长方形，宽为2dm，因此长（即原长方体的长、宽）为 $ 14÷2=7(\mathrm{dm}) $
3. 求原长方体的高：高增加2dm后变为正方体，说明原高比长少2dm，即 $ 7-2=5(\mathrm{dm}) $
4. 计算原长方体体积：根据长方体体积=长×宽×高，得 $ 7×7×5=245(\mathrm{dm}^3) $
【答案】
245立方分米
【知识点】
长方体体积计算、表面积变化分析、正方体特征
【点评】
本题解题关键是准确判断高增加后表面积增加的具体部分，同时挖掘“高增加后变成正方体”的隐含条件，理清原长方体长宽高的数量关系，即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
首先根据“高增加2dm就变成正方体”可知，原长方体的长和宽长度相等，且长（宽）比高大2dm。其次，高增加时，长方体上下底面的面积没有发生变化，增加的56dm²是4个完全相同的长方形侧面的总面积，每个长方形的宽为2dm，长就是原长方体的长（或宽）。解题时先算出单个新增侧面的面积，再求出原长方体的长、宽，接着推算出原长方体的高，最后代入长方体体积公式计算即可。
【解析】
1. 计算单个新增侧面的面积：增加的表面积是4个相同侧面的面积和，因此单个侧面面积为 $ 56÷4=14(\mathrm{dm}^2) $
2. 求原长方体的长和宽：新增侧面为长方形，宽为2dm，因此长（即原长方体的长、宽）为 $ 14÷2=7(\mathrm{dm}) $
3. 求原长方体的高：高增加2dm后变为正方体，说明原高比长少2dm，即 $ 7-2=5(\mathrm{dm}) $
4. 计算原长方体体积：根据长方体体积=长×宽×高，得 $ 7×7×5=245(\mathrm{dm}^3) $
【答案】
245立方分米
【知识点】
长方体体积计算、表面积变化分析、正方体特征
【点评】
本题解题关键是准确判断高增加后表面积增加的具体部分，同时挖掘“高增加后变成正方体”的隐含条件，理清原长方体长宽高的数量关系，即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
