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13. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=80°$,点O是$△ ABC$的内心,则$∠ BOC$的度数为 （
A.$100°$
B.$160°$
C.$80°$
D.$130°$
D
）A.$100°$
B.$160°$
C.$80°$
D.$130°$
答案
13. D
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确三角形内心的定义，内心是三角形三个内角角平分线的交点，由此可得OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；第一步先利用三角形内角和定理，结合已知∠A的度数求出∠ABC与∠ACB的和；第二步根据角平分线的性质求出∠OBC与∠OCB的和；第三步再次利用三角形内角和定理，在△BOC中计算出∠BOC的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=80°，可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 80° = 100°$
∵点O是△ABC的内心，内心是三角形内角平分线的交点
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
则$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 100° = 50°$
在△BOC中，再根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 50° = 130°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内心性质，三角形内角和定理，角平分线定义
【点评】
本题是三角形内心相关的基础典型题，解题核心是掌握内心是三角形角平分线交点的性质，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先明确三角形内心的定义，内心是三角形三个内角角平分线的交点，由此可得OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；第一步先利用三角形内角和定理，结合已知∠A的度数求出∠ABC与∠ACB的和；第二步根据角平分线的性质求出∠OBC与∠OCB的和；第三步再次利用三角形内角和定理，在△BOC中计算出∠BOC的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=80°，可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 80° = 100°$
∵点O是△ABC的内心，内心是三角形内角平分线的交点
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
则$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 100° = 50°$
在△BOC中，再根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 50° = 130°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内心性质，三角形内角和定理，角平分线定义
【点评】
本题是三角形内心相关的基础典型题，解题核心是掌握内心是三角形角平分线交点的性质，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
14. 如图，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，连接OC，OD，则$∠ BAE - ∠ COD$的结果为（
A.$60°$
B.$54°$
C.$48°$
D.$36°$
D
）A.$60°$
B.$54°$
C.$48°$
D.$36°$
答案
14. D
解析
【分析】
要计算$∠ BAE - ∠ COD$的结果，需先分别求出两个角的度数：①$∠ BAE$是正五边形的内角，可利用多边形内角和公式先求正五边形内角和，再除以边数得到单个内角的度数；②$∠ COD$是正五边形对应边CD的中心角，正多边形的中心角总和为$360°$，且各边对应的中心角相等，用$360°$除以边数即可得到$∠ COD$的度数，最后将两个角度作差即可。
【解析】
首先计算正五边形内角$∠ BAE$的度数：
多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数），正五边形$n=5$，内角和为$(5-2)×180°=540°$。
因为正五边形每个内角相等，所以$∠ BAE=540°÷5=108°$。
再计算中心角$∠ COD$的度数：
正多边形的中心角总和为$360°$，正五边形各边对应的中心角相等，边CD对应的中心角为$∠ COD$，因此$∠ COD=360°÷5=72°$。
最后计算差值：$∠ BAE - ∠ COD=108°-72°=36°$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
正多边形内角计算；圆心角计算；正多边形与圆
【点评】
本题属于基础题，主要考查正多边形和圆的相关性质，解题的关键是熟练掌握正多边形内角、中心角的计算公式，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
要计算$∠ BAE - ∠ COD$的结果，需先分别求出两个角的度数：①$∠ BAE$是正五边形的内角，可利用多边形内角和公式先求正五边形内角和，再除以边数得到单个内角的度数；②$∠ COD$是正五边形对应边CD的中心角，正多边形的中心角总和为$360°$，且各边对应的中心角相等，用$360°$除以边数即可得到$∠ COD$的度数，最后将两个角度作差即可。
【解析】
首先计算正五边形内角$∠ BAE$的度数：
多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数），正五边形$n=5$，内角和为$(5-2)×180°=540°$。
因为正五边形每个内角相等，所以$∠ BAE=540°÷5=108°$。
再计算中心角$∠ COD$的度数：
正多边形的中心角总和为$360°$，正五边形各边对应的中心角相等，边CD对应的中心角为$∠ COD$，因此$∠ COD=360°÷5=72°$。
最后计算差值：$∠ BAE - ∠ COD=108°-72°=36°$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
正多边形内角计算；圆心角计算；正多边形与圆
【点评】
本题属于基础题，主要考查正多边形和圆的相关性质，解题的关键是熟练掌握正多边形内角、中心角的计算公式，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
15. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G,过点D作⊙O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为 (
A.$\frac{13}{3}$
B.$\frac{9}{2}$
C.$\frac{4\sqrt{13}}{3}$
D.$2\sqrt{5}$
A
)A.$\frac{13}{3}$
B.$\frac{9}{2}$
C.$\frac{4\sqrt{13}}{3}$
D.$2\sqrt{5}$
答案
15. A
解析
【分析】
解题时首先结合矩形性质与圆的切线特征确定圆的半径，再利用切线长定理得出相等的线段长度，设未知切线长为未知数，将Rt△DCM的三边均用含未知数的式子表示，最后根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=5，⊙O与AD、AB、BC分别相切于E、F、G，
∴⊙O的半径为$\frac{AB}{2}=2$，根据切线长定理可得：$AE=AF=BF=BG=2$，
∴$ED=AD-AE=5-2=3$，$GC=BC-BG=5-2=3$。
∵DM是⊙O的切线，切点为N，结合切线长定理得：$DN=ED=3$，$MN=MG$。
设$MN=MG=x$，则$DM=DN+NM=3+x$，$MC=GC-MG=3-x$。
在Rt△DCM中，$DC=AB=4$，由勾股定理得：
$DM^2=DC^2+MC^2$
代入得：$(3+x)^2=4^2+(3-x)^2$
展开化简：$9+6x+x^2=16+9-6x+x^2$，
消去同类项得$12x=16$，解得$x=\frac{4}{3}$，
∴$DM=3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题是圆与矩形结合的典型题型，解题核心是利用切线长定理实现线段的等量转化，通过设未知数结合勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合矩形性质与圆的切线特征确定圆的半径，再利用切线长定理得出相等的线段长度，设未知切线长为未知数，将Rt△DCM的三边均用含未知数的式子表示，最后根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=5，⊙O与AD、AB、BC分别相切于E、F、G，
∴⊙O的半径为$\frac{AB}{2}=2$，根据切线长定理可得：$AE=AF=BF=BG=2$，
∴$ED=AD-AE=5-2=3$，$GC=BC-BG=5-2=3$。
∵DM是⊙O的切线，切点为N，结合切线长定理得：$DN=ED=3$，$MN=MG$。
设$MN=MG=x$，则$DM=DN+NM=3+x$，$MC=GC-MG=3-x$。
在Rt△DCM中，$DC=AB=4$，由勾股定理得：
$DM^2=DC^2+MC^2$
代入得：$(3+x)^2=4^2+(3-x)^2$
展开化简：$9+6x+x^2=16+9-6x+x^2$，
消去同类项得$12x=16$，解得$x=\frac{4}{3}$，
∴$DM=3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理；勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题是圆与矩形结合的典型题型，解题核心是利用切线长定理实现线段的等量转化，通过设未知数结合勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
16. 用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图①. 用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图②，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为
6
.答案
16. 6
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按三步思考：第一步，先根据正多边形内角计算公式求出正六边形的每个内角度数；第二步，观察拼接特点，拼接点处两个正六边形的内角加上中间正多边形的一个内角总和为周角360°，据此算出中间正多边形的内角度数；第三步，再利用正多边形内角公式求出中间正多边形的边数，由于n个正六边形围成一圈对应中间正多边形的n条边，即可得到n的值。
【解析】
1. 计算正六边形的内角度数：
正多边形内角和公式为$(k-2)×180°$（$k$为边数，$k≥3$且$k$为整数），正六边形边数$k=6$，因此内角和为$(6-2)×180°=720°$，每个内角的度数为$720°÷6=120°$。
2. 计算中间正多边形的内角度数：
拼接点处的角度总和为周角$360°$，包含2个正六边形的内角和1个中间正多边形的内角，因此中间正多边形的每个内角度数为$360° - 2×120°=120°$。
3. 求中间正多边形的边数：
设中间正多边形的边数为$m$，根据内角公式列方程：
$\dfrac{(m-2)×180°}{m}=120°$
解方程：
$(m-2)×180=120m$
$180m - 360=120m$
$60m=360$
$m=6$
由于n个正六边形围成一圈时，中间正多边形的边数等于n，因此$n=6$。
【答案】
6
【知识点】
正多边形内角计算、周角的性质、图形拼接规律
【点评】
本题重点考查正多边形内角的计算和图形拼接时的角度关系，解题的核心是抓住拼接点处角度和为$360°$这一隐含条件，结合正多边形内角公式逐步推导即可得到结果，是几何拼接类的典型习题。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以按三步思考：第一步，先根据正多边形内角计算公式求出正六边形的每个内角度数；第二步，观察拼接特点，拼接点处两个正六边形的内角加上中间正多边形的一个内角总和为周角360°，据此算出中间正多边形的内角度数；第三步，再利用正多边形内角公式求出中间正多边形的边数，由于n个正六边形围成一圈对应中间正多边形的n条边，即可得到n的值。
【解析】
1. 计算正六边形的内角度数：
正多边形内角和公式为$(k-2)×180°$（$k$为边数，$k≥3$且$k$为整数），正六边形边数$k=6$，因此内角和为$(6-2)×180°=720°$，每个内角的度数为$720°÷6=120°$。
2. 计算中间正多边形的内角度数：
拼接点处的角度总和为周角$360°$，包含2个正六边形的内角和1个中间正多边形的内角，因此中间正多边形的每个内角度数为$360° - 2×120°=120°$。
3. 求中间正多边形的边数：
设中间正多边形的边数为$m$，根据内角公式列方程：
$\dfrac{(m-2)×180°}{m}=120°$
解方程：
$(m-2)×180=120m$
$180m - 360=120m$
$60m=360$
$m=6$
由于n个正六边形围成一圈时，中间正多边形的边数等于n，因此$n=6$。
【答案】
6
【知识点】
正多边形内角计算、周角的性质、图形拼接规律
【点评】
本题重点考查正多边形内角的计算和图形拼接时的角度关系，解题的核心是抓住拼接点处角度和为$360°$这一隐含条件，结合正多边形内角公式逐步推导即可得到结果，是几何拼接类的典型习题。
【难度系数】
0.6
17. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC//AD，AC⊥BD。若∠AOD=120°，则∠CAO的度数为
$15°$
。答案
17. $15°$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①先根据已知圆心角∠AOD=120°，结合OA=OD的等腰三角形性质，求出∠OAD的度数；②再利用BC//AD得到弧AB=弧CD，结合AC⊥BD的条件，借助相交弦夹角与对应弧的度数关系，求出弧CD的度数，再根据圆周角定理得到∠CAD的度数；③最后用∠CAD减去∠OAD即可得到∠CAO的度数。
【解析】
设AC与BD交于点P。
1.
∵ OA、OD是⊙O的半径，
∴ OA=OD，
又
∵ ∠AOD=120°，
∴ 在等腰△AOD中，$∠ OAD = \frac{180° - ∠ AOD}{2} = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$。
2.
∵ BC//AD，
∴ ∠ACB = ∠CAD（两直线平行，内错角相等），
相等的圆周角所对的弧相等，
∴ 弧$AB$ = 弧$CD$。
3.
∵ AC⊥BD，
∴ $∠ APD=90°$，
圆内两条相交弦的夹角等于其所对两段弧度数和的一半，
∴ $∠ APD = \frac{1}{2}$（弧$AD$的度数 + 弧$BC$的度数）$=90°$，即弧$AD$ + 弧$BC = 180°$。
∵ $∠ AOD=120°$，圆心角的度数等于对应弧的度数，
∴ 弧$AD$的度数为$120°$，
∴ 弧$BC$的度数 $= 180° - 120° = 60°$。
4. 圆周总度数为$360°$，
∴ 弧$AB$ + 弧$CD = 360° - 120° - 60° = 180°$，
又
∵ 弧$AB$ = 弧$CD$，
∴ 弧$CD$的度数 $= 180°÷2 = 90°$。
5. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于对应弧度数的一半，
∴ $∠ CAD = \frac{1}{2}×$弧$CD$的度数 $= \frac{1}{2}×90° = 45°$。
6.
∴ $∠ CAO = ∠ CAD - ∠ OAD = 45° - 30° = 15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形性质、平行线的性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与几何图形的基础性质，解题的核心是将平行线、垂直的线的位置关系转化为圆内弧的度数关系，再结合圆心角、圆周角的换算求解，需要熟练掌握各性质并灵活转化条件。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：①先根据已知圆心角∠AOD=120°，结合OA=OD的等腰三角形性质，求出∠OAD的度数；②再利用BC//AD得到弧AB=弧CD，结合AC⊥BD的条件，借助相交弦夹角与对应弧的度数关系，求出弧CD的度数，再根据圆周角定理得到∠CAD的度数；③最后用∠CAD减去∠OAD即可得到∠CAO的度数。
【解析】
设AC与BD交于点P。
1.
∵ OA、OD是⊙O的半径，
∴ OA=OD，
又
∵ ∠AOD=120°，
∴ 在等腰△AOD中，$∠ OAD = \frac{180° - ∠ AOD}{2} = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$。
2.
∵ BC//AD，
∴ ∠ACB = ∠CAD（两直线平行，内错角相等），
相等的圆周角所对的弧相等，
∴ 弧$AB$ = 弧$CD$。
3.
∵ AC⊥BD，
∴ $∠ APD=90°$，
圆内两条相交弦的夹角等于其所对两段弧度数和的一半，
∴ $∠ APD = \frac{1}{2}$（弧$AD$的度数 + 弧$BC$的度数）$=90°$，即弧$AD$ + 弧$BC = 180°$。
∵ $∠ AOD=120°$，圆心角的度数等于对应弧的度数，
∴ 弧$AD$的度数为$120°$，
∴ 弧$BC$的度数 $= 180° - 120° = 60°$。
4. 圆周总度数为$360°$，
∴ 弧$AB$ + 弧$CD = 360° - 120° - 60° = 180°$，
又
∵ 弧$AB$ = 弧$CD$，
∴ 弧$CD$的度数 $= 180°÷2 = 90°$。
5. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于对应弧度数的一半，
∴ $∠ CAD = \frac{1}{2}×$弧$CD$的度数 $= \frac{1}{2}×90° = 45°$。
6.
∴ $∠ CAO = ∠ CAD - ∠ OAD = 45° - 30° = 15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形性质、平行线的性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与几何图形的基础性质，解题的核心是将平行线、垂直的线的位置关系转化为圆内弧的度数关系，再结合圆心角、圆周角的换算求解，需要熟练掌握各性质并灵活转化条件。
【难度系数】
0.6
18. 如图，在$\odot O$中，AB是$\odot O$的直径，AB=8 cm，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是
8
cm.答案
18. 8
解析
【分析】
本题是最短路径与圆结合的题型，解题思路如下：首先回忆最短路径的常用解法：将军饮马模型，需要作其中一个点关于对称轴（本题中AB是对称轴）的对称点，将两条线段和转化为可直接求最小值的线段；再结合圆的轴对称性，对称点必然在圆上，随后根据已知的三段弧相等的条件，计算出对称点到另一个点的弧对应的圆心角，确定该线段的长度即可得到最小值。
【解析】
1. 作点C关于直径AB的对称点$C'$，根据圆的轴对称性可得：点$C'$在$\odot O$上，且$\overset{\frown}{AC'}=\overset{\frown}{AC}$，同时由轴对称性质得$CM=C'M$，因此$CM+DM=C'M+DM$。
2. 根据两点之间线段最短，$C'M+DM$的最小值为线段$C'D$的长度，即当M为$C'D$与AB的交点时，$CM+DM$取得最小值。
3. 因为AB是$\odot O$的直径，所以$\overset{\frown}{AB}=180°$，已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，因此每段弧的度数为$\frac{180°}{3}=60°$，即$\overset{\frown}{AC'}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=60°$。
4. 计算$\overset{\frown}{C'D}$的度数：$\overset{\frown}{C'D}=\overset{\frown}{AC'}+\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CD}=60°+60°+60°=180°$，说明$C'D$是$\odot O$的直径。
5. 已知$AB=8\mathrm{cm}$，即$\odot O$的直径为8cm，因此$C'D=8\mathrm{cm}$，即$CM+DM$的最小值为8cm。
【答案】
8
【知识点】
最短路径问题，圆的基本性质，轴对称的性质
【点评】
本题综合了轴对称的应用和圆的相关性质，解题的核心是通过作对称点将线段和的最值问题转化为圆的弦长计算，只要熟练掌握将军饮马模型和圆的弧、直径的关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.6
本题是最短路径与圆结合的题型，解题思路如下：首先回忆最短路径的常用解法：将军饮马模型，需要作其中一个点关于对称轴（本题中AB是对称轴）的对称点，将两条线段和转化为可直接求最小值的线段；再结合圆的轴对称性，对称点必然在圆上，随后根据已知的三段弧相等的条件，计算出对称点到另一个点的弧对应的圆心角，确定该线段的长度即可得到最小值。
【解析】
1. 作点C关于直径AB的对称点$C'$，根据圆的轴对称性可得：点$C'$在$\odot O$上，且$\overset{\frown}{AC'}=\overset{\frown}{AC}$，同时由轴对称性质得$CM=C'M$，因此$CM+DM=C'M+DM$。
2. 根据两点之间线段最短，$C'M+DM$的最小值为线段$C'D$的长度，即当M为$C'D$与AB的交点时，$CM+DM$取得最小值。
3. 因为AB是$\odot O$的直径，所以$\overset{\frown}{AB}=180°$，已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，因此每段弧的度数为$\frac{180°}{3}=60°$，即$\overset{\frown}{AC'}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=60°$。
4. 计算$\overset{\frown}{C'D}$的度数：$\overset{\frown}{C'D}=\overset{\frown}{AC'}+\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CD}=60°+60°+60°=180°$，说明$C'D$是$\odot O$的直径。
5. 已知$AB=8\mathrm{cm}$，即$\odot O$的直径为8cm，因此$C'D=8\mathrm{cm}$，即$CM+DM$的最小值为8cm。
【答案】
8
【知识点】
最短路径问题，圆的基本性质，轴对称的性质
【点评】
本题综合了轴对称的应用和圆的相关性质，解题的核心是通过作对称点将线段和的最值问题转化为圆的弦长计算，只要熟练掌握将军饮马模型和圆的弧、直径的关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.6
19.（湖北中考）如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$∠ BAC=45°$.过点$O$作$DF⊥ AB$，垂足为$E$，交$AC$于点$D$，交$\odot O$于点$F$.过点$F$作$\odot O$的切线，交$CA$的延长线于点$G$.
（1）求证：$FD=FG$；
（2）若$AB=12$，$FG=10$，求$\odot O$的半径.
（1）求证：$FD=FG$；
（2）若$AB=12$，$FG=10$，求$\odot O$的半径.
答案
19. (1) 证明:
∵ DF⊥AB,GF是$\odot O$的切线,即DF⊥GF,
∴ AB//GF.
∴ ∠BAC=∠G=45°.
∴ ∠FDG=90°−45°=45°,即△DFG是等腰直角三角形.
∴ FD=FG；
(2) 解:
∵ DF⊥AB,
∴ AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=6.
∵ ∠BAC=45°,
∴ ∠ADE=90°−45°=45°,即△ADE是等腰直角三角形.
∴ EA=ED=6. 由(1)得FD=FG=10,
∴ EF=DF−DE=10−6=4. 如图,连接OA,设OE=x,则OF=OE+EF=x+4=OA,
∴ 在Rt△AOE中,$OA^2=AE^2+OE^2$,
∴ $(x+4)^2=6^2+x^2$,解得$x=\frac{5}{2}$.
∴ OA=$x+4=\frac{5}{2}+4=\frac{13}{2}$.
∴ $\odot O$的半径为$\frac{13}{2}$.
解析
【分析】
（1）要证$FD=FG$，可先证明$△ DFG$是等腰直角三角形。首先根据切线的性质可知切线垂直于过切点的半径，得到$GF⊥ DF$，结合已知$DF⊥ AB$可推出$AB// GF$，进而得$∠ G=∠ BAC=45°$，即可推出$△ DFG$为等腰直角三角形，得到$FD=FG$。
（2）求$\odot O$的半径可利用勾股定理列方程求解：首先由垂径定理得$AE=\frac{1}{2}AB=6$，结合$∠ BAC=45°$可得$△ ADE$是等腰直角三角形，$DE=AE=6$；再由（1）的结论得$FD=FG=10$，求出$EF$的长度；连接$OA$，设$OE=x$，则半径$OA=OF=x+EF$，在$Rt△ AOE$中利用勾股定理列方程求解即可得到半径。
【解析】
(1) 证明:
∵ $DF⊥ AB$，$GF$是$\odot O$的切线，$F$为切点，
∴ $GF⊥ OF$，即$DF⊥ GF$，
∴ $AB// GF$，
∴ $∠ BAC=∠ G=45°$，
在$Rt△ DFG$中，$∠ FDG=90°-∠ G=90°-45°=45°$，
∴ $∠ G=∠ FDG$，
∴ $FD=FG$。
(2) 解:
∵ $DF⊥ AB$，$AB$是$\odot O$的弦，
∴ 根据垂径定理，$AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$，
∵ $∠ BAC=45°$，$∠ AED=90°$，
∴ $∠ ADE=90°-∠ BAC=45°$，即$△ ADE$是等腰直角三角形，
∴ $ED=AE=6$，
由(1)得$FD=FG=10$，
∴ $EF=DF-DE=10-6=4$，
如图，连接$OA$，设$OE=x$，则$\odot O$的半径$OA=OF=OE+EF=x+4$，
在$Rt△ AOE$中，由勾股定理得$OA^2=AE^2+OE^2$，
代入得 $(x+4)^2=6^2+x^2$，
展开得 $x^2+8x+16=36+x^2$，
化简得 $8x=20$，解得$x=\frac{5}{2}$，
∴ $OA=x+4=\frac{5}{2}+4=\frac{13}{2}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\odot O$的半径为$\frac{13}{2}$。
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合常规题型，综合考查了圆的相关性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题时需结合已知角度推导等腰直角三角形的边的关系，再构造直角三角形利用方程思想求解半径，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
（1）要证$FD=FG$，可先证明$△ DFG$是等腰直角三角形。首先根据切线的性质可知切线垂直于过切点的半径，得到$GF⊥ DF$，结合已知$DF⊥ AB$可推出$AB// GF$，进而得$∠ G=∠ BAC=45°$，即可推出$△ DFG$为等腰直角三角形，得到$FD=FG$。
（2）求$\odot O$的半径可利用勾股定理列方程求解：首先由垂径定理得$AE=\frac{1}{2}AB=6$，结合$∠ BAC=45°$可得$△ ADE$是等腰直角三角形，$DE=AE=6$；再由（1）的结论得$FD=FG=10$，求出$EF$的长度；连接$OA$，设$OE=x$，则半径$OA=OF=x+EF$，在$Rt△ AOE$中利用勾股定理列方程求解即可得到半径。
【解析】
(1) 证明:
∵ $DF⊥ AB$，$GF$是$\odot O$的切线，$F$为切点，
∴ $GF⊥ OF$，即$DF⊥ GF$，
∴ $AB// GF$，
∴ $∠ BAC=∠ G=45°$，
在$Rt△ DFG$中，$∠ FDG=90°-∠ G=90°-45°=45°$，
∴ $∠ G=∠ FDG$，
∴ $FD=FG$。
(2) 解:
∵ $DF⊥ AB$，$AB$是$\odot O$的弦，
∴ 根据垂径定理，$AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$，
∵ $∠ BAC=45°$，$∠ AED=90°$，
∴ $∠ ADE=90°-∠ BAC=45°$，即$△ ADE$是等腰直角三角形，
∴ $ED=AE=6$，
由(1)得$FD=FG=10$，
∴ $EF=DF-DE=10-6=4$，
如图，连接$OA$，设$OE=x$，则$\odot O$的半径$OA=OF=OE+EF=x+4$，
在$Rt△ AOE$中，由勾股定理得$OA^2=AE^2+OE^2$，
代入得 $(x+4)^2=6^2+x^2$，
展开得 $x^2+8x+16=36+x^2$，
化简得 $8x=20$，解得$x=\frac{5}{2}$，
∴ $OA=x+4=\frac{5}{2}+4=\frac{13}{2}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\odot O$的半径为$\frac{13}{2}$。
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合常规题型，综合考查了圆的相关性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题时需结合已知角度推导等腰直角三角形的边的关系，再构造直角三角形利用方程思想求解半径，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
