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20. 如图,把两个扇形OAB与扇形OCD的圆心重合叠放在一起,且∠AOB=∠COD,连接AC,BD.
(1) 求证:△AOC≌△BOD;
(2) 若OA=5 cm,OC=3 cm,$\overset{\frown}{AB}$的长为3π cm,$\overset{\frown}{CD}$的长为1.8π cm,求阴影部分的面积;
(3) 在(2)的条件下求由扇形OAB围成的圆锥的高.
(1) 求证:△AOC≌△BOD;
(2) 若OA=5 cm,OC=3 cm,$\overset{\frown}{AB}$的长为3π cm,$\overset{\frown}{CD}$的长为1.8π cm,求阴影部分的面积;
(3) 在(2)的条件下求由扇形OAB围成的圆锥的高.
答案
20. (1) 证明:
∵ ∠AOB=∠COD,
∴ ∠DOB=∠COA.
∵ OA=OB,OC=OD,
∴ △AOC≌△BOD(SAS)；
(2) 解:
∵ △AOC≌△BOD,
∴ $S_{阴影}=S_{扇形OAB}−S_{扇形OEF}=S_{扇形OAB}−S_{扇形OCD}=\frac{1}{2}×3π×5−\frac{1}{2}×1.8π×3=7.5π−2.7π=4.8π(cm^2)$；
(3) 解:设圆锥底面半径为r cm,高为h cm,则$2πr=3π$,
∴ $r=\frac{3}{2}$.
∴ $h=\sqrt{5^2−(\frac{3}{2})^2}=\frac{\sqrt{91}}{2}(cm)$. 答:由扇形OAB围成的圆锥的高为$\frac{\sqrt{91}}{2}$ cm.
∵ ∠AOB=∠COD,
∴ ∠DOB=∠COA.
∵ OA=OB,OC=OD,
∴ △AOC≌△BOD(SAS)；
(2) 解:
∵ △AOC≌△BOD,
∴ $S_{阴影}=S_{扇形OAB}−S_{扇形OEF}=S_{扇形OAB}−S_{扇形OCD}=\frac{1}{2}×3π×5−\frac{1}{2}×1.8π×3=7.5π−2.7π=4.8π(cm^2)$；
(3) 解:设圆锥底面半径为r cm,高为h cm,则$2πr=3π$,
∴ $r=\frac{3}{2}$.
∴ $h=\sqrt{5^2−(\frac{3}{2})^2}=\frac{\sqrt{91}}{2}(cm)$. 答:由扇形OAB围成的圆锥的高为$\frac{\sqrt{91}}{2}$ cm.
解析
【分析】
(1) 要证明△AOC≌△BOD，首先已知两个扇形半径分别相等，即OA=OB、OC=OD；再由∠AOB=∠COD，两个角同时减去公共角∠COB可得∠AOC=∠BOD，满足SAS全等判定条件即可完成证明。
(2) 求阴影面积时，利用全等三角形面积相等的性质，可将阴影面积转化为大扇形OAB与小扇形OCD的面积差，已知弧长和半径，选用扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$计算更简便。
(3) 求圆锥的高时，首先明确扇形弧长等于圆锥底面圆周长，先求出底面半径，再结合圆锥母线长等于扇形半径OA，用勾股定理即可求出高。
【解析】
(1) 证明:
∵ ∠AOB=∠COD，
∴ ∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB，即∠AOC=∠BOD，
又
∵ OA、OB是扇形OAB的半径，OC、OD是扇形OCD的半径，
∴ OA=OB，OC=OD，
在△AOC和△BOD中：
$\{\begin{array}{l}OA=OB \\∠AOC=∠BOD \\OC=OD\end{array} $
∴ △AOC≌△BOD(SAS)；
(2) 解:
∵ △AOC≌△BOD，
∴ $S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$，割补可得$S_{阴影}=S_{扇形OAB}−S_{扇形OCD}$，
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$代入数据：
$S_{扇形OAB}=\frac{1}{2}×3π×5=7.5π\ \mathrm{cm}^2$，$S_{扇形OCD}=\frac{1}{2}×1.8π×3=2.7π\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{阴影}=7.5π−2.7π=4.8π\ \mathrm{cm}^2$；
(3) 解:设圆锥底面半径为r cm，高为h cm，
扇形围成圆锥时，弧长等于底面圆周长：
$2πr=3π$，解得$r=\frac{3}{2}$，
圆锥母线长等于OA=5cm，由勾股定理得：
$h=\sqrt{5^2−(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{25-\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{91}}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 证明如上；
(2) 阴影部分面积为$4.8π\ \mathrm{cm}^2$；
(3) 围成的圆锥的高为$\frac{\sqrt{91}}{2}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
全等三角形的判定，扇形面积计算，圆锥的相关计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，考查了全等证明、扇形运算以及扇形与圆锥的转化关系，解题核心是利用全等性质完成面积割补，牢记扇形弧长和圆锥底面周长的对应关系，能有效锻炼图形转化和公式应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△AOC≌△BOD，首先已知两个扇形半径分别相等，即OA=OB、OC=OD；再由∠AOB=∠COD，两个角同时减去公共角∠COB可得∠AOC=∠BOD，满足SAS全等判定条件即可完成证明。
(2) 求阴影面积时，利用全等三角形面积相等的性质，可将阴影面积转化为大扇形OAB与小扇形OCD的面积差，已知弧长和半径，选用扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$计算更简便。
(3) 求圆锥的高时，首先明确扇形弧长等于圆锥底面圆周长，先求出底面半径，再结合圆锥母线长等于扇形半径OA，用勾股定理即可求出高。
【解析】
(1) 证明:
∵ ∠AOB=∠COD，
∴ ∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB，即∠AOC=∠BOD，
又
∵ OA、OB是扇形OAB的半径，OC、OD是扇形OCD的半径，
∴ OA=OB，OC=OD，
在△AOC和△BOD中：
$\{\begin{array}{l}OA=OB \\∠AOC=∠BOD \\OC=OD\end{array} $
∴ △AOC≌△BOD(SAS)；
(2) 解:
∵ △AOC≌△BOD，
∴ $S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$，割补可得$S_{阴影}=S_{扇形OAB}−S_{扇形OCD}$，
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$代入数据：
$S_{扇形OAB}=\frac{1}{2}×3π×5=7.5π\ \mathrm{cm}^2$，$S_{扇形OCD}=\frac{1}{2}×1.8π×3=2.7π\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{阴影}=7.5π−2.7π=4.8π\ \mathrm{cm}^2$；
(3) 解:设圆锥底面半径为r cm，高为h cm，
扇形围成圆锥时，弧长等于底面圆周长：
$2πr=3π$，解得$r=\frac{3}{2}$，
圆锥母线长等于OA=5cm，由勾股定理得：
$h=\sqrt{5^2−(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{25-\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{91}}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 证明如上；
(2) 阴影部分面积为$4.8π\ \mathrm{cm}^2$；
(3) 围成的圆锥的高为$\frac{\sqrt{91}}{2}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
全等三角形的判定，扇形面积计算，圆锥的相关计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，考查了全等证明、扇形运算以及扇形与圆锥的转化关系，解题核心是利用全等性质完成面积割补，牢记扇形弧长和圆锥底面周长的对应关系，能有效锻炼图形转化和公式应用能力。
【难度系数】
0.7
21. 问题提出
学习了三角形的角平分线的定义之后，我们把三角形的三条内角平分线的交点叫作三角形的内心.
（1）如图①，已知△ABC的周长和面积都为30，点O是△ABC的内心，则点O到AB边的距离为
问题探究
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=4，∠DAB=∠ABC=90°，以AB为边作等边三角形ABE，使得点E在边CD上且∠BEC=30°，点F是等边三角形ABE的内心，求点F到CD边的距离.
问题解决
（3）如图③所示的四边形ABCD为某公园的平面图，市政府计划在公园内部修建一个三角形广场即△ABE，点E到AB的距离为60 m，在广场△ABE的边上装满彩灯，并在△ABE的内心F处修建喷泉供人们观赏，现需从喷泉F处到CD边上修建一条最短的地下水渠以便抽水.已知AB=2BC=80 m，AD=100 m，∠DAB=∠ABC=90°，据了解，彩灯每米30元，修建水渠每米60元，当彩灯费用最少时，装满彩灯和修建水渠的总花费是
学习了三角形的角平分线的定义之后，我们把三角形的三条内角平分线的交点叫作三角形的内心.
（1）如图①，已知△ABC的周长和面积都为30，点O是△ABC的内心，则点O到AB边的距离为
2
.问题探究
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=4，∠DAB=∠ABC=90°，以AB为边作等边三角形ABE，使得点E在边CD上且∠BEC=30°，点F是等边三角形ABE的内心，求点F到CD边的距离.
问题解决
（3）如图③所示的四边形ABCD为某公园的平面图，市政府计划在公园内部修建一个三角形广场即△ABE，点E到AB的距离为60 m，在广场△ABE的边上装满彩灯，并在△ABE的内心F处修建喷泉供人们观赏，现需从喷泉F处到CD边上修建一条最短的地下水渠以便抽水.已知AB=2BC=80 m，AD=100 m，∠DAB=∠ABC=90°，据了解，彩灯每米30元，修建水渠每米60元，当彩灯费用最少时，装满彩灯和修建水渠的总花费是
$(7040+560\sqrt{13})$元
（结果保留根号）.答案
21. (1) 2
(2) 如图①,作FH⊥CD,FG⊥AE,连接EF,AF,
∴ ∠FHE=∠FGE=90°.
∵ ∠AEC=90°,
∴ 四边形EGFH是矩形.
∴ FH=EG.
∵ 点F是等边三角形ABE的内心,
∴ 点F也是△ABE的外心,
∠AEF=$\frac{1}{2}$∠AEB=30°.
∴ FE=FA.
∴ AG=EG=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$AB=2.
∴ FH=2,即点F到CD边的距离为2；
(3) 如图②,过点E作直线l//AB,作点B关于l的对称点W,连接AW,交l于点E',当点E在点E'时,AE+BE=AW,此时AE+BE最小,此时AE=BE. 在Rt△ABW中,BW=2×60=120(m),AB=80 m,
∴ AW=$\sqrt{120^2+80^2}=40\sqrt{13}$(m),AQ=BQ.
∴ AB+BE'+AE'=$(40\sqrt{13}+80)$ m.
∴ $(80+40\sqrt{13})×30=(2400+1200\sqrt{13})$元. 如图③,连接BF、DF、AF、EF,作FQ⊥AB于点Q,作FT⊥CD于点T,作FV⊥BC于点V,作FX⊥AD于点X,作CS⊥AD于点S. 在Rt△CDS中,CS=AB=80 m,DS=AD−AS=AD−BC=100−40=60(m),
∴ CD=100 m.
∵ F是等腰三角形ABE的内心,
∴ 点E、F、Q共线.
∴ BQ=AQ=$\frac{1}{2}$AB=40 m. 同理(1)可得,FQ=$\frac{2·S_{△ ABE}}{AB+AE+BE}=\frac{2×\frac{1}{2}×80×60}{80+40\sqrt{13}}=\frac{40(\sqrt{13}−2)}{3}$ m, 由$S_{△ CDF}+S_{△ BCF}+S_{△ ABF}+S_{△ ADF}=S_{梯形ABCD}$,得$\frac{1}{2}CD·FT+\frac{1}{2}BC·FV+\frac{1}{2}AB·FQ+\frac{1}{2}AD·FX=\frac{1}{2}(AD+BC)·AB$,
∴ $100FT+40×40+80×\frac{40(\sqrt{13}−2)}{3}+100×40=(40+100)×80$,
∴ FT=$\frac{232−32\sqrt{13}}{3}$ m.
∴ $60×\frac{232−32\sqrt{13}}{3}=(4640−640\sqrt{13})$元.
∴ 装满彩灯和修建水渠的总花费是$(2400+1200\sqrt{13})+(4640−640\sqrt{13})=(7040+560\sqrt{13})$元.
解析
【分析】
（1）三角形的内心到三边的距离相等，这个距离就是三角形内切圆半径$r$，三角形面积可表示为$\frac{1}{2}×周长×r$，已知△ABC的周长和面积，代入公式即可求出$r$，即点O到AB的距离。
（2）求点F到CD的距离，可作$FH⊥CD$，结合已知角度构造矩形，将$FH$转化为线段$EG$；再利用等边三角形内心同时是外心、角平分线交点的性质，结合等腰三角形三线合一即可求出$EG$的长度，得到$FH$的值。
（3）彩灯费用最少对应△ABE周长最小，AB长度固定，因此只需$AE+BE$最小，利用对称点结合两点之间线段最短找到使$AE+BE$最小的E点位置，计算彩灯费用；F到CD的最短距离是F到CD的垂线段，利用面积法将四边形面积拆分为四个三角形面积和，求解垂线段长度后算出水渠费用，两者相加得到总花费。
【解析】
（1）设点O到△ABC各边的距离为$r$，
∵O是△ABC的内心，
∴O到三边距离均为$r$，
由三角形面积公式得：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×(AB+BC+AC)×r$，
代入$S_{△ABC}=30$，周长为30，得$30=\frac{1}{2}×30×r$，解得$r=2$。
（2）如图①，作$FH⊥CD$于H，$FG⊥AE$于G，连接$EF,AF$，
∴$∠ FHE=∠ FGE=90°$，
∵△ABE是等边三角形，$∠ BEC=30°$，
∴$∠ AEC=∠ AEB+∠ BEC=60°+30°=90°$，
∴四边形EGFH是矩形，
∴$FH=EG$，
∵F是等边△ABE的内心，
∴F也是△ABE的外心，$EF$平分$∠ AEB$，$FE=FA$，
∴$∠ AEF=30°$，又$FG⊥AE$，由等腰三角形三线合一得$AG=EG=\frac{1}{2}AE$，
∵$AE=AB=4$，
∴$EG=2$，即$FH=2$，点F到CD边的距离为2。
（3）要使彩灯费用最少，需△ABE周长最小，AB=80m固定，因此只需$AE+BE$最小。
如图②，过点E作直线$l// AB$，$l$到AB的距离为60m，作点B关于$l$的对称点W，连接$AW$交$l$于$E'$，此时$AE+BE=AW$取得最小值，$AE'=BE'$。
在$Rt△ABW$中，$BW=2×60=120m$，$AB=80m$，
∴$AW=\sqrt{80^2+120^2}=40\sqrt{13}m$，即$AE'+BE'=40\sqrt{13}m$，
△ABE周长为$80+40\sqrt{13}m$，彩灯费用为$(80+40\sqrt{13})×30=2400+1200\sqrt{13}$元。
如图③，连接$BF,DF,AF,EF$，作$FQ⊥AB$于Q，$FT⊥CD$于T，$FV⊥BC$于V，$FX⊥AD$于X，$CS⊥AD$于S，
在$Rt△CDS$中，$CS=AB=80m$，$DS=AD-BC=100-40=60m$，
∴$CD=\sqrt{80^2+60^2}=100m$，
∵F是等腰△ABE的内心，
∴E、F、Q共线，$AQ=BQ=40m$，
同（1）的结论得：$FQ=\frac{2S_{△ABE}}{AB+AE+BE}=\frac{2×\frac{1}{2}×80×60}{80+40\sqrt{13}}=\frac{40(\sqrt{13}-2)}{3}m$，
由$S_{△CDF}+S_{△BCF}+S_{△ABF}+S_{△ADF}=S_{梯形ABCD}$，代入面积公式：
$\frac{1}{2}×100·FT+\frac{1}{2}×40×40+\frac{1}{2}×80×\frac{40(\sqrt{13}-2)}{3}+\frac{1}{2}×100×40=\frac{1}{2}×(100+40)×80$，
解得$FT=\frac{232-32\sqrt{13}}{3}m$，
水渠费用为$60×\frac{232-32\sqrt{13}}{3}=4640-640\sqrt{13}$元，
总花费为$(2400+1200\sqrt{13})+(4640-640\sqrt{13})=7040+560\sqrt{13}$元。
【答案】
(1) 2
(2) 2
(3) $(7040+560\sqrt{13})$元
【知识点】
三角形内心性质，最短路径问题，面积法求线段长
【点评】
本题是几何综合题，逐层递进考查知识点，既要求掌握基础的内心、等边三角形性质，也要求能灵活运用对称模型、面积法解决实际问题，突出了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.3
（1）三角形的内心到三边的距离相等，这个距离就是三角形内切圆半径$r$，三角形面积可表示为$\frac{1}{2}×周长×r$，已知△ABC的周长和面积，代入公式即可求出$r$，即点O到AB的距离。
（2）求点F到CD的距离，可作$FH⊥CD$，结合已知角度构造矩形，将$FH$转化为线段$EG$；再利用等边三角形内心同时是外心、角平分线交点的性质，结合等腰三角形三线合一即可求出$EG$的长度，得到$FH$的值。
（3）彩灯费用最少对应△ABE周长最小，AB长度固定，因此只需$AE+BE$最小，利用对称点结合两点之间线段最短找到使$AE+BE$最小的E点位置，计算彩灯费用；F到CD的最短距离是F到CD的垂线段，利用面积法将四边形面积拆分为四个三角形面积和，求解垂线段长度后算出水渠费用，两者相加得到总花费。
【解析】
（1）设点O到△ABC各边的距离为$r$，
∵O是△ABC的内心，
∴O到三边距离均为$r$，
由三角形面积公式得：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×(AB+BC+AC)×r$，
代入$S_{△ABC}=30$，周长为30，得$30=\frac{1}{2}×30×r$，解得$r=2$。
（2）如图①，作$FH⊥CD$于H，$FG⊥AE$于G，连接$EF,AF$，
∴$∠ FHE=∠ FGE=90°$，
∵△ABE是等边三角形，$∠ BEC=30°$，
∴$∠ AEC=∠ AEB+∠ BEC=60°+30°=90°$，
∴四边形EGFH是矩形，
∴$FH=EG$，
∵F是等边△ABE的内心，
∴F也是△ABE的外心，$EF$平分$∠ AEB$，$FE=FA$，
∴$∠ AEF=30°$，又$FG⊥AE$，由等腰三角形三线合一得$AG=EG=\frac{1}{2}AE$，
∵$AE=AB=4$，
∴$EG=2$，即$FH=2$，点F到CD边的距离为2。
（3）要使彩灯费用最少，需△ABE周长最小，AB=80m固定，因此只需$AE+BE$最小。
如图②，过点E作直线$l// AB$，$l$到AB的距离为60m，作点B关于$l$的对称点W，连接$AW$交$l$于$E'$，此时$AE+BE=AW$取得最小值，$AE'=BE'$。
在$Rt△ABW$中，$BW=2×60=120m$，$AB=80m$，
∴$AW=\sqrt{80^2+120^2}=40\sqrt{13}m$，即$AE'+BE'=40\sqrt{13}m$，
△ABE周长为$80+40\sqrt{13}m$，彩灯费用为$(80+40\sqrt{13})×30=2400+1200\sqrt{13}$元。
如图③，连接$BF,DF,AF,EF$，作$FQ⊥AB$于Q，$FT⊥CD$于T，$FV⊥BC$于V，$FX⊥AD$于X，$CS⊥AD$于S，
在$Rt△CDS$中，$CS=AB=80m$，$DS=AD-BC=100-40=60m$，
∴$CD=\sqrt{80^2+60^2}=100m$，
∵F是等腰△ABE的内心，
∴E、F、Q共线，$AQ=BQ=40m$，
同（1）的结论得：$FQ=\frac{2S_{△ABE}}{AB+AE+BE}=\frac{2×\frac{1}{2}×80×60}{80+40\sqrt{13}}=\frac{40(\sqrt{13}-2)}{3}m$，
由$S_{△CDF}+S_{△BCF}+S_{△ABF}+S_{△ADF}=S_{梯形ABCD}$，代入面积公式：
$\frac{1}{2}×100·FT+\frac{1}{2}×40×40+\frac{1}{2}×80×\frac{40(\sqrt{13}-2)}{3}+\frac{1}{2}×100×40=\frac{1}{2}×(100+40)×80$，
解得$FT=\frac{232-32\sqrt{13}}{3}m$，
水渠费用为$60×\frac{232-32\sqrt{13}}{3}=4640-640\sqrt{13}$元，
总花费为$(2400+1200\sqrt{13})+(4640-640\sqrt{13})=7040+560\sqrt{13}$元。
【答案】
(1) 2
(2) 2
(3) $(7040+560\sqrt{13})$元
【知识点】
三角形内心性质，最短路径问题，面积法求线段长
【点评】
本题是几何综合题，逐层递进考查知识点，既要求掌握基础的内心、等边三角形性质，也要求能灵活运用对称模型、面积法解决实际问题，突出了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.3
