1.（扬州中考）关于一元二次方程$x^2 -3x +1=0$的根的情况，下列结论正确的是 （）

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况

1.A

【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需使用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$来判断。解题步骤为：首先从给定的一元二次方程中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，再代入判别式公式计算$\Delta$的值，最后根据$\Delta$的符号对应判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$。
在方程$x^2 -3x +1=0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=1$，代入判别式得：
$\Delta=(-3)^2 - 4×1×1=9-4=5$
因为$\Delta=5＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
所以，选择A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根的判定
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查根的判别式的应用，只要熟记判别式的计算公式以及不同$\Delta$取值对应的根的情况，即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2.（广州中考）关于$x$的方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$根的情况为 （）

A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根

2.C

【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需用到根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：首先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，再代入公式计算判别式，最后结合平方的非负性判断判别式的正负，对应根的三种情况选出答案即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=k^2+2$。
代入根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$得：
$\begin{aligned}\Delta &= (-1)^2 - 4×1×(k^2+2) \\&=1 - 4k^2 - 8 \\&=-4k^2 -7 \\&=-(4k^2 +7)\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方为非负数，即$k^2≥0$，
∴ $4k^2 +7≥7＞0$，因此$\Delta = -(4k^2 +7)＜0$，
∴ 该方程没有实数根。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平方的非负性
【点评】
本题是基础题型，主要考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是准确识别方程各项系数，正确计算判别式，结合平方的非负性判断判别式的符号即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3. (常州中考)若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$有两个相等的实数根，则实数$m$的值为。

3.1

【分析】
本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的判别式的性质：当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的对应值，再代入判别式等于0的等式，求解即可得到m的值。
【解析】
解：
∵关于x的一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
在方程$x^2 - 2x + m = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=m$，
代入得：$(-2)^2 - 4×1× m = 0$，
即$4 - 4m = 0$，
解得$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，熟练掌握判别式的三种不同取值对应的根的情况，是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.9

4. (上海中考)一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$没有实数根，那么m的取值范围是.

4.$m＞\dfrac{1}{8}$

【分析】
遇到判断一元二次方程根的情况的问题，首先想到用根的判别式Δ来解题：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，Δ＜0时方程没有实数根。本题已经明确给出是一元二次方程，二次项系数2≠0，无需额外讨论，我们只需要先确定方程中a、b、c的对应取值，代入判别式列出关于m的不等式，再正确解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
在方程$2x^2 + x + m = 0$中，$a=2$，$b=1$，$c=m$，
因为方程没有实数根，所以$\Delta ＜ 0$，
代入得：$1^2 - 4×2×m ＜ 0$，
计算化简得：$1 - 8m ＜ 0$，
移项得：$-8m ＜ -1$，
不等式两边同时除以-8，不等号方向改变，得：$m ＞ \frac{1}{8}$。
【答案】
$m＞\dfrac{1}{8}$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.解一元一次不等式
【点评】
这道题属于基础常考题，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时要注意解不等式时，两边同时除以负数，不等号方向需要改变，避免计算失误。
【难度系数】
0.8

5. 不解方程，判别下列方程根的情况：
(1) $2x^2 - 4x + 1 = 0$；
(2) $4y(y - 5) + 25 = 0$；
(3) $(x - 4)(x + 3) + 14 = 0$；
(4) $x^2 - 8 = 2\sqrt{2}x$。

5.(1)有两个不相等的实数根 (2)有两个相等的实数根 (3)没有实数根 (4)有两个不相等的实数根

【分析】
不解方程判别一元二次方程根的情况，核心是利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断。解题思路如下：第一步，先将每个方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式；第二步，分别确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，注意系数要带上对应符号；第三步，代入公式计算$\Delta$的值；第四步，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
(1) 方程$2x^2 - 4x + 1 = 0$已是一般形式，其中$a=2$，$b=-4$，$c=1$
$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×2×1 = 16 - 8 = 8 ＞ 0$
∴方程有两个不相等的实数根。
(2) 先整理原方程：
展开得$4y^2 - 20y + 25 = 0$，为一般形式，其中$a=4$，$b=-20$，$c=25$
$\Delta = (-20)^2 - 4×4×25 = 400 - 400 = 0$
∴方程有两个相等的实数根。
(3) 先整理原方程：
展开合并同类项得$x^2 - x + 2 = 0$，为一般形式，其中$a=1$，$b=-1$，$c=2$
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×2 = 1 - 8 = -7 ＜ 0$
∴方程没有实数根。
(4) 先移项整理为一般形式：
$x^2 - 2\sqrt{2}x - 8 = 0$，其中$a=1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=-8$
$\Delta = (-2\sqrt{2})^2 - 4×1×(-8) = 8 + 32 = 40 ＞ 0$
∴方程有两个不相等的实数根。
【答案】
(1)有两个不相等的实数根 (2)有两个相等的实数根 (3)没有实数根 (4)有两个不相等的实数根
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 整式化简运算
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题的关键是先将方程正确化为一般形式，确定系数时要注意带上对应符号，计算判别式时需遵守运算规则，避免因符号或计算错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8

6. 已知关于$x$的方程$x^2 + ax + a - 2 = 0$. 求证:无论$a$取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.

6. 解:$\because b^2-4ac=a^2-4(a-2)=a^2-4a+8=a^2-4a+4+4=(a-2)^2+4＞0$，$\therefore$ 不论$a$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。

【分析】
要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式的性质：当判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根。解题思路如下：第一步先确定方程中二次项系数、一次项系数、常数项；第二步将系数代入判别式公式计算并化简；第三步通过配方法将化简后的式子变形为“完全平方式+正数”的形式，结合平方的非负性即可判断判别式恒大于0，从而完成证明。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + ax + a - 2 = 0$，二次项系数为1，一次项系数为$a$，常数项为$a-2$。
根据根的判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = a^2 - 4×1×(a-2)$
$= a^2 - 4a + 8$
$= a^2 - 4a + 4 + 4$
$= (a-2)^2 + 4$
∵ 无论$a$取任意实数，$(a-2)^2 ≥ 0$，
∴ $(a-2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$恒成立。
∴ 无论$a$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
【答案】
无论$a$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，配方法，平方的非负性
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，核心是掌握判别式与方程根的情况的对应关系，通过配方判断判别式的正负性是解题的关键，这类题型是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8

7. 关于$x$的方程$x^2 - mx + m -1 = 0$的根的情况是 （）

A.没有实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个实数根
D.无法确定

7.C

【分析】要判断一元二次方程根的情况，需借助根的判别式$\Delta = b^2-4ac$分析。首先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，再代入判别式计算化简，最后结合非负数的性质判断$\Delta$的符号，即可得出根的情况。
【解析】对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
在方程$x^2 - mx + m -1 = 0$中，$a=1$，$b=-m$，$c=m-1$，代入判别式得：
$\Delta = (-m)^2 - 4×1×(m-1)$
$=m^2 -4m +4$
$=(m-2)^2$
∵任意实数的平方均为非负数，
∴$(m-2)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴该方程有两个实数根，故选C。
【答案】C
【知识点】1.一元二次方程根的判别式 2.完全平方公式 3.平方的非负性
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是正确计算判别式并结合平方的非负性判断$\Delta$的取值范围，需注意“两个实数根”包含两个相等和两个不相等的两种情况。
【难度系数】0.8

8. (内江中考)若关于x的一元二次方程$(a-1)x^2 + 2x +1=0$有实数根，则实数a的取值范围是（）

A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$

8.C

【分析】
要解决本题，需同时满足两个条件：①题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程变为一次方程，不符合题意；②方程有实数根，说明根的判别式大于等于0。先分别根据两个条件求出a的取值范围，再取公共部分即可得到最终a的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(a-1)x^2 + 2x +1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
又
∵ 该一元二次方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为$2$，常数项为$1$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×(a-1)×1 = 4 - 4(a-1) = 8 - 4a ≥ 0$
解不等式$8-4a≥0$，得：
$4a ≤ 8$，即$a ≤ 2$
结合两个条件，a的取值范围为$a≤2$且$a≠1$
故选C
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程的常考基础题，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的前提条件，误选A选项，解题时要先明确方程类型的限定条件，再结合判别式计算。
【难度系数】
0.7