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1. 下列式子是一元一次不等式的是（
A.$\frac{x}{2}+2≠5$
B.$x+\frac{1}{x}＜0$
C.$x+y＞0$
D.$x+2=0$
A
）A.$\frac{x}{2}+2≠5$
B.$x+\frac{1}{x}＜0$
C.$x+y＞0$
D.$x+2=0$
答案
1. A
解析
【分析】
解答本题首先要明确一元一次不等式的判定要点，一共需要满足三个条件：①是不等式，即式子中含有不等号（＞、＜、≠、≥、≤）；②只含有1个未知数；③未知数的次数为1，且不等号两边都是整式（分母中不含未知数）。解题时将四个选项分别与上述三个条件逐一比对，全部符合的即为正确答案。
【解析】
首先明确一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。我们逐一分析选项：
选项A：$\frac{x}{2}+2≠5$，含有不等号≠属于不等式，只含1个未知数x，x的次数是1，两边都是整式，满足一元一次不等式的全部条件。
选项B：$x+\frac{1}{x}＜0$，分母中含有未知数x，不是整式，不符合要求。
选项C：$x+y＞0$，含有x、y两个未知数，不符合要求。
选项D：$x+2=0$，含有等号属于方程，不是不等式，不符合要求。
综上，只有A符合一元一次不等式的定义。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式的判定、整式的概念、不等式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢牢掌握一元一次不等式的判定标准，注意区分不等式与方程、整式与分式的差异，做题时逐一排查选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要明确一元一次不等式的判定要点，一共需要满足三个条件：①是不等式，即式子中含有不等号（＞、＜、≠、≥、≤）；②只含有1个未知数；③未知数的次数为1，且不等号两边都是整式（分母中不含未知数）。解题时将四个选项分别与上述三个条件逐一比对，全部符合的即为正确答案。
【解析】
首先明确一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。我们逐一分析选项：
选项A：$\frac{x}{2}+2≠5$，含有不等号≠属于不等式，只含1个未知数x，x的次数是1，两边都是整式，满足一元一次不等式的全部条件。
选项B：$x+\frac{1}{x}＜0$，分母中含有未知数x，不是整式，不符合要求。
选项C：$x+y＞0$，含有x、y两个未知数，不符合要求。
选项D：$x+2=0$，含有等号属于方程，不是不等式，不符合要求。
综上，只有A符合一元一次不等式的定义。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式的判定、整式的概念、不等式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢牢掌握一元一次不等式的判定标准，注意区分不等式与方程、整式与分式的差异，做题时逐一排查选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
2. 下列命题不正确的是 （
A.若$a＞b,b＞c$,则$a＞c$
B.若$a＞b$,则$ac＞bc$
C.若$ac^2＞bc^2$,则$a＞b$
D.若$a＞b$,则$\frac{a}{c^2 +1}＞\frac{b}{c^2 +1}$
B
）A.若$a＞b,b＞c$,则$a＞c$
B.若$a＞b$,则$ac＞bc$
C.若$ac^2＞bc^2$,则$a＞b$
D.若$a＞b$,则$\frac{a}{c^2 +1}＞\frac{b}{c^2 +1}$
答案
2. B
解析
【分析】
这是一道考查不等式基本性质的选择题，解题思路是逐一分析每个选项，结合不等式的性质判断命题是否成立，遇到含字母的乘除运算时，要注意字母的取值对不等号方向的影响，同时利用平方的非负性判断含平方的式子的正负性。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据不等式的传递性，若$a＞b$，$b＞c$，可直接推出$a＞c$，该命题正确，不符合题意；
B选项：根据不等式的性质，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变；乘同一个负数，不等号方向改变；乘0时两边相等。这里$c$的正负或是否为0不确定，当$c≤0$时，$ac＞bc$不成立，该命题错误，符合题意；
C选项：已知$ac²＞bc²$，说明$c²≠0$（若$c²=0$则两边均为0，相等），因此$c²＞0$，不等式两边同时除以正数$c²$，不等号方向不变，可得$a＞b$，该命题正确，不符合题意；
D选项：因为$c²≥0$，所以$c²+1≥1＞0$，不等式$a＞b$两边同时除以正数$c²+1$，不等号方向不变，可得$\frac{a}{c^2 +1}＞\frac{b}{c^2 +1}$，该命题正确，不符合题意。
综上，不正确的命题是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 不等式的基本性质
2. 平方的非负性
【点评】
本题的易错点是忽略不等式两边乘负数时不等号方向改变，或忽略字母取0的特殊情况，解题时需先判断乘除的式子的正负性，再确定不等号方向是否变化。
【难度系数】
0.8
这是一道考查不等式基本性质的选择题，解题思路是逐一分析每个选项，结合不等式的性质判断命题是否成立，遇到含字母的乘除运算时，要注意字母的取值对不等号方向的影响，同时利用平方的非负性判断含平方的式子的正负性。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据不等式的传递性，若$a＞b$，$b＞c$，可直接推出$a＞c$，该命题正确，不符合题意；
B选项：根据不等式的性质，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变；乘同一个负数，不等号方向改变；乘0时两边相等。这里$c$的正负或是否为0不确定，当$c≤0$时，$ac＞bc$不成立，该命题错误，符合题意；
C选项：已知$ac²＞bc²$，说明$c²≠0$（若$c²=0$则两边均为0，相等），因此$c²＞0$，不等式两边同时除以正数$c²$，不等号方向不变，可得$a＞b$，该命题正确，不符合题意；
D选项：因为$c²≥0$，所以$c²+1≥1＞0$，不等式$a＞b$两边同时除以正数$c²+1$，不等号方向不变，可得$\frac{a}{c^2 +1}＞\frac{b}{c^2 +1}$，该命题正确，不符合题意。
综上，不正确的命题是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 不等式的基本性质
2. 平方的非负性
【点评】
本题的易错点是忽略不等式两边乘负数时不等号方向改变，或忽略字母取0的特殊情况，解题时需先判断乘除的式子的正负性，再确定不等号方向是否变化。
【难度系数】
0.8
3. 不等式组$\begin{cases}x+1＞0, \\ 1-\dfrac{1}{3}x＞0\end{cases}$的解集在数轴上表示正确的是（ ）
答案
3. A
解析
【分析】
要确定不等式组的解集在数轴上的正确表示，按以下思路解题：①先分别求解两个一元一次不等式，得到各自的解集；②找到两个解集的公共部分，即为不等式组的解集；③根据数轴表示解集的规则（大于向右画，小于向左画，不含端点用空心圆圈，包含端点用实心圆点），逐一匹配选项即可。
【解析】
先分别解两个不等式：
1. 解不等式$x+1＞0$：
移项得$x＞-1$；
2. 解不等式$1-\dfrac{1}{3}x＞0$：
移项得$-\dfrac{1}{3}x＞-1$，
不等式两边同时乘$-3$，不等号方向改变，得$x＜3$；
因此该不等式组的解集为$-1＜x＜3$。
数轴表示该解集时，$-1$和$3$处都用空心圆圈，$-1$处向右画线，$3$处向左画线，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
解一元一次不等式组；解集的数轴表示
【点评】
本题考查一元一次不等式组的求解及解集的数轴表示，解题时要注意：解不等式两边同时乘负数时，不等号方向要改变；数轴表示解集时要区分空心圆圈和实心圆点的使用场景。
【难度系数】
0.8
要确定不等式组的解集在数轴上的正确表示，按以下思路解题：①先分别求解两个一元一次不等式，得到各自的解集；②找到两个解集的公共部分，即为不等式组的解集；③根据数轴表示解集的规则（大于向右画，小于向左画，不含端点用空心圆圈，包含端点用实心圆点），逐一匹配选项即可。
【解析】
先分别解两个不等式：
1. 解不等式$x+1＞0$：
移项得$x＞-1$；
2. 解不等式$1-\dfrac{1}{3}x＞0$：
移项得$-\dfrac{1}{3}x＞-1$，
不等式两边同时乘$-3$，不等号方向改变，得$x＜3$；
因此该不等式组的解集为$-1＜x＜3$。
数轴表示该解集时，$-1$和$3$处都用空心圆圈，$-1$处向右画线，$3$处向左画线，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
解一元一次不等式组；解集的数轴表示
【点评】
本题考查一元一次不等式组的求解及解集的数轴表示，解题时要注意：解不等式两边同时乘负数时，不等号方向要改变；数轴表示解集时要区分空心圆圈和实心圆点的使用场景。
【难度系数】
0.8
4. 不等式组$\begin{cases}3x≥9, \\x＜5\end{cases}$的整数解共有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4. B
解析
【分析】
要确定不等式组的整数解个数，解题思路分为三步：首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再找出两个不等式解集的公共部分得到不等式组的总解集，最后在总解集范围内筛选出所有整数，统计整数的数量即可得到答案。
【解析】
1. 解第一个不等式$3x≥9$：
不等式两边同时除以3，不等号方向不变，可得$x≥3$。
2. 结合第二个不等式$x＜5$，确定不等式组的解集：
两个解集的公共部分为$3≤ x＜5$。
3. 找出解集中的整数：
在$3≤ x＜5$范围内的整数为3、4，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 一元一次不等式组的解集
3. 不等式组的整数解
【点评】
本题属于不等式组的基础题型，重点考查一元一次不等式组的求解和整数解的识别，熟练掌握不等式组解集的确定方法是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要确定不等式组的整数解个数，解题思路分为三步：首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再找出两个不等式解集的公共部分得到不等式组的总解集，最后在总解集范围内筛选出所有整数，统计整数的数量即可得到答案。
【解析】
1. 解第一个不等式$3x≥9$：
不等式两边同时除以3，不等号方向不变，可得$x≥3$。
2. 结合第二个不等式$x＜5$，确定不等式组的解集：
两个解集的公共部分为$3≤ x＜5$。
3. 找出解集中的整数：
在$3≤ x＜5$范围内的整数为3、4，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 一元一次不等式组的解集
3. 不等式组的整数解
【点评】
本题属于不等式组的基础题型，重点考查一元一次不等式组的求解和整数解的识别，熟练掌握不等式组解集的确定方法是解题的核心。
【难度系数】
0.8
5. 已知实数$a,b$,若$a＞b$,则下列结论正确的是（
A.$a-5 ＜ b-5$
B.$2+a ＜ 2+b$
C.$\frac{a}{3} ＜ \frac{b}{3}$
D.$3a ＞ 3b$
D
）A.$a-5 ＜ b-5$
B.$2+a ＜ 2+b$
C.$\frac{a}{3} ＜ \frac{b}{3}$
D.$3a ＞ 3b$
答案
5. D
解析
【分析】
本题考查不等式基本性质的应用，解题时首先回忆不等式的三条基本性质，再将每个选项中的变形和已知条件$a＞b$结合，对应不等式性质判断变形是否正确即可。
【解析】
已知$a＞b$，结合不等式的基本性质逐一判断：
A选项：不等式两边同时减去5，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$a-5＞b-5$，故A错误；
B选项：不等式两边同时加上2，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$2+a＞2+b$，故B错误；
C选项：不等式两边同时除以正数3，根据不等式性质2，不等号方向不变，可得$\frac{a}{3}＞\frac{b}{3}$，故C错误；
D选项：不等式两边同时乘以正数3，根据不等式性质2，不等号方向不变，可得$3a＞3b$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对不等式基本性质的理解与运用，解题时要注意若不等式两边乘除负数时不等号方向需要改变，熟练掌握性质即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题考查不等式基本性质的应用，解题时首先回忆不等式的三条基本性质，再将每个选项中的变形和已知条件$a＞b$结合，对应不等式性质判断变形是否正确即可。
【解析】
已知$a＞b$，结合不等式的基本性质逐一判断：
A选项：不等式两边同时减去5，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$a-5＞b-5$，故A错误；
B选项：不等式两边同时加上2，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$2+a＞2+b$，故B错误；
C选项：不等式两边同时除以正数3，根据不等式性质2，不等号方向不变，可得$\frac{a}{3}＞\frac{b}{3}$，故C错误；
D选项：不等式两边同时乘以正数3，根据不等式性质2，不等号方向不变，可得$3a＞3b$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对不等式基本性质的理解与运用，解题时要注意若不等式两边乘除负数时不等号方向需要改变，熟练掌握性质即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
6.若方程$\frac{5x - 3m}{4} = \frac{m}{2} - \frac{15}{4}$的解是非正数，
则$m$的取值范围是（
A.$m≤3$
B.$m≤2$
C.$m≥3$
D.$m≥2$
则$m$的取值范围是（
A
）A.$m≤3$
B.$m≤2$
C.$m≥3$
D.$m≥2$
答案
6. A
解析
【分析】
本题是含参数的一元一次方程与不等式的综合题，解题思路分为两步：第一步先求解一元一次方程，将未知数x用含m的代数式表示；第二步根据“方程的解是非正数”即x≤0，列出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
首先解一元一次方程$\frac{5x - 3m}{4} = \frac{m}{2} - \frac{15}{4}$：
1. 去分母，两边同时乘4得：$5x - 3m = 2m - 15$
2. 移项、合并同类项得：$5x = 5m - 15$
3. 系数化为1得：$x = m - 3$
已知方程的解是非正数，即$x ≤ 0$，代入x的表达式得：
$m - 3 ≤ 0$
解得：$m ≤ 3$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程解法，一元一次不等式解法，方程解的概念
【点评】
本题属于基础综合题，考查方程与不等式的结合应用，解题关键是先求出含参数的方程的解，再根据解的限制条件列不等式求解，掌握基本运算步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题是含参数的一元一次方程与不等式的综合题，解题思路分为两步：第一步先求解一元一次方程，将未知数x用含m的代数式表示；第二步根据“方程的解是非正数”即x≤0，列出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
首先解一元一次方程$\frac{5x - 3m}{4} = \frac{m}{2} - \frac{15}{4}$：
1. 去分母，两边同时乘4得：$5x - 3m = 2m - 15$
2. 移项、合并同类项得：$5x = 5m - 15$
3. 系数化为1得：$x = m - 3$
已知方程的解是非正数，即$x ≤ 0$，代入x的表达式得：
$m - 3 ≤ 0$
解得：$m ≤ 3$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程解法，一元一次不等式解法，方程解的概念
【点评】
本题属于基础综合题，考查方程与不等式的结合应用，解题关键是先求出含参数的方程的解，再根据解的限制条件列不等式求解，掌握基本运算步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
7.多多准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存有50元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有300元。设$ x $个月后他至少有300元，则可以用于计算所需的月数$ x $的不等式是（
A.$ 30x -50 ≥ 300 $
B.$ 30x +50 ≥ 300 $
C.$ 30x -50 ≤ 300 $
D.$ 30x +50 ≤ 300 $
B
）A.$ 30x -50 ≥ 300 $
B.$ 30x +50 ≥ 300 $
C.$ 30x -50 ≤ 300 $
D.$ 30x +50 ≤ 300 $
答案
7. B
解析
【分析】
解题时首先要明确题目中的数量关系：总金额=原有存款+x个月新增的存款。首先找到关键词“至少”，它对应的不等关系是“大于等于（≥）”，先计算x个月一共能存的钱，加上已有的50元，让总钱数满足大于等于300元的要求，就能列出对应的不等式。
【解析】
解：已知多多现有存款50元，每个月节省30元，那么x个月一共可以节省30x元。
x个月后多多的总存款为：原有存款 + x个月节省的钱，即$30x + 50$元。
题目要求“至少有300元”，“至少”即总存款大于等于300元，因此可列不等式：
$30x + 50 ≥ 300$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
不等式实际应用；列一元一次不等式
【点评】
本题考查不等式的实际应用，解题的核心是准确捕捉题干中的不等关键词（如至少、最多、不超过等），同时正确梳理总金额的构成部分，避免出现原有金额加减错误的问题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确题目中的数量关系：总金额=原有存款+x个月新增的存款。首先找到关键词“至少”，它对应的不等关系是“大于等于（≥）”，先计算x个月一共能存的钱，加上已有的50元，让总钱数满足大于等于300元的要求，就能列出对应的不等式。
【解析】
解：已知多多现有存款50元，每个月节省30元，那么x个月一共可以节省30x元。
x个月后多多的总存款为：原有存款 + x个月节省的钱，即$30x + 50$元。
题目要求“至少有300元”，“至少”即总存款大于等于300元，因此可列不等式：
$30x + 50 ≥ 300$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
不等式实际应用；列一元一次不等式
【点评】
本题考查不等式的实际应用，解题的核心是准确捕捉题干中的不等关键词（如至少、最多、不超过等），同时正确梳理总金额的构成部分，避免出现原有金额加减错误的问题。
【难度系数】
0.9
8. 如图是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在跷跷板中点处），已知乙、丙的体重，则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的是（
）
）答案
8. C
解析
【分析】
解题时首先结合跷跷板的倾斜规律：下沉一侧的物体更重，先判断甲和乙、甲和丙的体重大小关系，得到关于甲体重的两个不等式，组成不等式组求出解集，再对应数轴表示的规则：大于向右、小于向左，不含端点用空心圆圈，选出符合的选项即可。
【解析】
设甲的体重为$x$kg，
1. 由第一个跷跷板可知，甲侧下沉，因此甲的体重大于乙的体重：
$x ＞ 45$
2. 由第二个跷跷板可知，丙侧下沉，因此甲的体重小于丙的体重：
$x ＜ 55$
综上可得甲体重的取值范围是$45 ＜ x ＜ 55$。
在数轴上表示该解集时，45和55处均画空心圆圈，取两点之间的部分，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
不等式的实际应用；不等式组解集的数轴表示
【点评】
本题结合生活场景考查不等式的应用，解题核心是准确根据跷跷板倾斜方向判断体重大小关系，同时要注意数轴表示解集时空心圆圈和实心圆点的区别，不要混淆取值是否包含端点。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合跷跷板的倾斜规律：下沉一侧的物体更重，先判断甲和乙、甲和丙的体重大小关系，得到关于甲体重的两个不等式，组成不等式组求出解集，再对应数轴表示的规则：大于向右、小于向左，不含端点用空心圆圈，选出符合的选项即可。
【解析】
设甲的体重为$x$kg，
1. 由第一个跷跷板可知，甲侧下沉，因此甲的体重大于乙的体重：
$x ＞ 45$
2. 由第二个跷跷板可知，丙侧下沉，因此甲的体重小于丙的体重：
$x ＜ 55$
综上可得甲体重的取值范围是$45 ＜ x ＜ 55$。
在数轴上表示该解集时，45和55处均画空心圆圈，取两点之间的部分，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
不等式的实际应用；不等式组解集的数轴表示
【点评】
本题结合生活场景考查不等式的应用，解题核心是准确根据跷跷板倾斜方向判断体重大小关系，同时要注意数轴表示解集时空心圆圈和实心圆点的区别，不要混淆取值是否包含端点。
【难度系数】
0.8
9. 若关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}3x + y = 1 + a, \\x + 3y = 3\end{cases}$ 的解满足 $ x + y ＜ 2 $，则 $ a $ 的取值范围为（ ）
A.$ a ＜ 4 $
B.$ a ＞ 4 $
C.$ a ＜ -4 $
D.$ a ＞ -4 $
A.$ a ＜ 4 $
B.$ a ＞ 4 $
C.$ a ＜ -4 $
D.$ a ＞ -4 $
答案
9. A
解析
【分析】
解题时首先明确目标是结合$x+y＜2$求$a$的取值范围，有两种思考方向：一是先解方程组，用$a$分别表示$x$、$y$的值，再相加代入不等式求解；二是观察方程组两个方程的系数特点，发现$x$的系数和为4、$y$的系数和也为4，将两个方程直接相加即可整体得到$x+y$关于$a$的表达式，这种方法更简便，优先选择整体法计算，再代入不等式解出$a$的范围即可。
【解析】
将方程组中的两个方程相加，可得：
$3x + y + x + 3y = 1 + a + 3$
整理得：$4(x + y) = 4 + a$
两边同时除以4，得：$x + y = \frac{4 + a}{4}$
已知$x + y ＜ 2$，代入得：
$\frac{4 + a}{4} ＜ 2$
不等式两边同时乘4，得：$4 + a ＜ 8$
移项计算得：$a ＜ 4$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组化简、一元一次不等式求解、整体思想
【点评】
本题既可以通过常规解方程组的方法求解，也可以利用整体思想简化计算，考察学生对解题方法的灵活选择能力，整体法能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确目标是结合$x+y＜2$求$a$的取值范围，有两种思考方向：一是先解方程组，用$a$分别表示$x$、$y$的值，再相加代入不等式求解；二是观察方程组两个方程的系数特点，发现$x$的系数和为4、$y$的系数和也为4，将两个方程直接相加即可整体得到$x+y$关于$a$的表达式，这种方法更简便，优先选择整体法计算，再代入不等式解出$a$的范围即可。
【解析】
将方程组中的两个方程相加，可得：
$3x + y + x + 3y = 1 + a + 3$
整理得：$4(x + y) = 4 + a$
两边同时除以4，得：$x + y = \frac{4 + a}{4}$
已知$x + y ＜ 2$，代入得：
$\frac{4 + a}{4} ＜ 2$
不等式两边同时乘4，得：$4 + a ＜ 8$
移项计算得：$a ＜ 4$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组化简、一元一次不等式求解、整体思想
【点评】
本题既可以通过常规解方程组的方法求解，也可以利用整体思想简化计算，考察学生对解题方法的灵活选择能力，整体法能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
