10. 已知一次函数$y=kx+b$,当$x$的值增加2时,$y$的值增加4,则当$x$的值减少1时,$y$的值
（）

A.减少2
B.减少4
C.增加2
D.增加4

根据题意,得$y + 4 = k(x + 2) + b$,即$y = kx + b + 2k - 4$. 因为$y = kx + b$,所以$2k - 4 = 0$,解得$k = 2$,所以该一次函数的表达式为$y = 2x + b$. 当$x$的值减少1时,$y = 2(x - 1) + b = 2x + b - 2$,所以$y$的值减少2。

【分析】
要解决这道题，首先需要结合一次函数解析式，利用题目给出的自变量和函数值的变化关系先求出一次项系数k，再计算自变量减少1时对应的函数值变化。第一步：将x增加2、y增加4后的变量代入函数解析式，和原解析式对比即可求出k的值；第二步：把k代入解析式，再计算x减少1时的y值，和原y值对比就能得到变化情况。
【解析】
根据题意，当x的值增加2时，y的值增加4，将变化后的x、y代入一次函数解析式得：
$y + 4 = k(x + 2) + b$
展开整理得：$y = kx + 2k + b - 4$
已知原函数为$y = kx + b$，对比两式可得：$2k - 4 = 0$
解得$k = 2$，因此该一次函数的表达式为$y = 2x + b$
当x的值减少1时，代入解析式得：
$y = 2(x - 1) + b = 2x + b - 2$
和原$y = 2x + b$对比可知，y的值减少2。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法求参数；函数值变化计算
【点评】
本题考查一次函数中自变量变化和函数值变化的对应关系，解题核心是先根据已知变化条件求出一次项系数k，再代入计算后续的函数值变化，属于基础题型，熟练掌握代入法求解函数参数即可解答。
【难度系数】
0.8

11. 一题多解 图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示。小明用x个这样的图形，按照如图所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，则图形的总长度y与图形个数x之间的函数表达式为。

通解：观察题图可知,当两个图拼接时,总长度为$10 + 6 = 16$;当三个图拼接时,总长度为$10 + 2 × 6 = 22$;…;以此类推,用$x$个这样的图形拼出来的图形总长度为$10 + 6(x - 1) = 6x + 4$,$\therefore$ 图形的总长度$y$与图形个数$x$之间的函数表达式为$y = 6x + 4$。
另解：观察题图可知,每增加一个题图1中的图形,总长度就增加6,由此可知,图形的总长度$y$是图形个数$x$的一次函数,设$y$与$x$之间的函数表达式为$y = kx + b$. 当$x = 1$时,$y = 10$;当$x = 2$时,$y = 16$,则$\begin{cases}10 = k + b,\\16 = 2k + b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 6,\\b = 4,\end{cases}$$\therefore$ 图形的总长度$y$与图形个数$x$之间的函数表达式为$y = 6x + 4$。

【分析】
我们可以通过两种思路解题：第一种是规律归纳法，先明确单个图形的长度，再计算2个、3个图形拼接后的总长度，找到每新增1个图形时总长度的固定增量，进而推导x个图形的总长度表达式；第二种是待定系数法，由于每增加1个图形总长度的增量固定，可知总长度y是图形个数x的一次函数，设出一次函数解析式后，代入两组x、y的对应值即可求出解析式。
【解析】
方法一（规律归纳法）：
观察图形可得，1个图形的长度为10cm；
2个图形拼接时，相扣重叠部分的长度为$10-6=4\mathrm{cm}$，总长度为$10+10-4=16=10+6×1\mathrm{cm}$；
3个图形拼接时，总长度为$10+6×2=22\mathrm{cm}$；
以此类推，x个图形拼接时，总长度为$10+6(x-1)$，化简得$y=6x+4$。
方法二（待定系数法）：
由拼接规律可知，每增加1个图形，总长度增加6cm，因此总长度y是图形个数x的一次函数，设函数表达式为$y=kx+b$。
当$x=1$时，$y=10$；当$x=2$时，$y=16$，代入得方程组：
$\begin{cases} k+b=10 \\ 2k+b=16 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=6$，将$k=6$代入$k+b=10$，解得$b=4$。
因此总长度y与x的函数表达式为$y=6x+4$。
【答案】
$y=6x+4$
【知识点】
一次函数应用，待定系数法，图形规律探究
【点评】
本题结合图形拼接场景，考查规律归纳能力和一次函数的相关应用，两种解题方法分别对应归纳推理和代数建模的思路，解题核心是准确找到拼接时总长度的变化规律，能很好地锻炼学生的观察、推理能力。
【难度系数】
0.7

12. [2025南京外国语学校月考] 已知$y = y_1 - 2y_2$，$y_1$与$x$成正比，$y_2$与$(x+1)$成正比，且当$x=1$时，$y=3$；当$x=2$时，$y=5$，求$y$与$x$之间的函数表达式。

设$y_1 = k_1 x (k_1 ≠ 0)$,$y_2 = k_2 (x + 1) (k_2 ≠ 0)$。$\because y = y_1 - 2y_2$,$\therefore y = k_1 x - 2k_2 (x + 1)$。
$\because$ 当$x = 1$时,$y = 3$;当$x = 2$时,$y = 5$,
$\therefore \begin{cases}k_1 - 4k_2 = 3,\\2k_1 - 6k_2 = 5,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1 = 1,\\k_2 = -\frac{1}{2},\end{cases}$
$\therefore y = x - 2 × (-\frac{1}{2})(x + 1) = 2x + 1$,
$\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y = 2x + 1$。

【分析】
本题要求y与x的函数表达式，可按以下思路逐步推导：第一步，根据正比例函数的定义，分别设出y₁、y₂的表达式，注意两个比例系数要区分开，分别用k₁、k₂表示且均不为0；第二步，将y₁、y₂的表达式代入y=y₁-2y₂中，得到y关于x且含有参数k₁、k₂的关系式；第三步，把题目给出的两组x、y的对应值代入上述关系式，得到关于k₁、k₂的二元一次方程组；第四步，解方程组求出k₁、k₂的值，再代回含参数的关系式化简，即可得到最终的函数表达式。
【解析】
解：设$y_1 = k_1 x (k_1 ≠ 0)$，$y_2 = k_2 (x + 1) (k_2 ≠ 0)$。
$\because y = y_1 - 2y_2$，
$\therefore y = k_1 x - 2k_2 (x + 1)$。
$\because$ 当$x = 1$时，$y = 3$；当$x = 2$时，$y = 5$，
$\therefore$ 代入得$\begin{cases}k_1 - 2k_2×(1+1) = 3\\2k_1 - 2k_2×(2+1) = 5\end{cases}$，整理得$\begin{cases}k_1 - 4k_2 = 3\\2k_1 - 6k_2 = 5\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k_1 = 1\\k_2 = -\frac{1}{2}\end{cases}$。
将$k_1=1$，$k_2=-\frac{1}{2}$代入$y = k_1 x - 2k_2 (x + 1)$，得：
$y = x - 2 × (-\frac{1}{2})(x + 1) = x + x + 1 = 2x + 1$。
【答案】
$y = 2x + 1$
【知识点】
正比例函数定义，待定系数法，解二元一次方程组
【点评】
本题是求函数表达式的典型基础题，核心考查对正比例函数概念的掌握和待定系数法的运用，解题时需注意区分两个不同正比例函数的比例系数，代入数值计算时要仔细，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.75

13. [2025盐城大丰区期末]经验表明,树在一定的成长阶段,其胸径(树的主干在地面以上1.3 m处的直径)越大,树就越高.通过对某种树进行测量研究,发现这种树的树高y(m)是其胸径x(m)的一次函数.已知这种树的胸径为0.2 m时,树高为20 m;这种树的胸径为0.28 m时,树高为22 m.
(1)求树高y(m)关于其胸径x(m)的函数表达式;
(2)当这种树的胸径为0.46 m时,其树高是多少?
(3)若这种树的胸径增长0.4 m,则其树高增长多少?

(1)设$y$关于$x$的函数表达式为$y = kx + b$($k,b$为常数,且$k ≠ 0$)。
$\because$ 这种树的胸径为0.2 m时,树高为20 m;这种树的胸径为0.28 m时,树高为22 m,
$\therefore \begin{cases}20 = 0.2k + b,\\22 = 0.28k + b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 25,\\b = 15,\end{cases}$
$\therefore$ 树高$y$(m)关于其胸径$x$(m)的函数表达式为$y = 25x + 15$。
(2)当$x = 0.46$时,$y = 25 × 0.46 + 15 = 26.5$。
答:当这种树的胸径为0.46 m时,其树高是26.5 m。
(3)设当胸径为$x_1$时,树高为$y_1$;当胸径为$x_2$时,树高为$y_2$。
由题意,得$y_1 = 25x_1 + 15$ ①,$y_2 = 25x_2 + 15$ ②,
② - ①,得$y_2 - y_1 = 25(x_2 - x_1)$。
当$x_2 - x_1 = 0.4$时,$y_2 - y_1 = 25 × 0.4 = 10$。
答:若这种树的胸径增长0.4 m,则其树高增长10 m。

【分析】
本题是一次函数在实际生活中的应用类题目，解题思路清晰：(1)已知y是x的一次函数，因此优先采用待定系数法求解函数解析式，先设一次函数的一般形式为y=kx+b（k≠0），再将题干给出的两组胸径和树高的对应值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b即可确定函数表达式；(2)第二问已知胸径x的值求树高，直接将x的取值代入第一问求出的函数表达式，计算得到对应的y值即可；(3)第三问求胸径增长对应的树高增长量，可分别表示出胸径变化前后的树高，两式作差后结合胸径的增长值计算，也可利用一次函数的变化规律，树高增长量等于一次项系数k乘胸径的增长量。
【解析】
(1)设$y$关于$x$的函数表达式为$y = kx + b$（$k,b$为常数，且$k ≠ 0$）。
$\because$ 这种树的胸径为0.2 m时，树高为20 m；这种树的胸径为0.28 m时，树高为22 m，
$\therefore \begin{cases}20 = 0.2k + b,\\22 = 0.28k + b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 25,\\b = 15,\end{cases}$
$\therefore$ 树高$y$(m)关于其胸径$x$(m)的函数表达式为$y = 25x + 15$。
(2)当$x = 0.46$时，$y = 25 × 0.46 + 15 = 26.5$。
答:当这种树的胸径为0.46 m时，其树高是26.5 m。
(3)设当胸径为$x_1$时，树高为$y_1$；当胸径为$x_2$时，树高为$y_2$。
由题意，得$y_1 = 25x_1 + 15$ ①，$y_2 = 25x_2 + 15$ ②，
② - ①，得$y_2 - y_1 = 25(x_2 - x_1)$。
当$x_2 - x_1 = 0.4$时，$y_2 - y_1 = 25 × 0.4 = 10$。
答:若这种树的胸径增长0.4 m，则其树高增长10 m。
【答案】
(1)$y=25x+15$；(2)26.5 m；(3)10 m
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数代入求值，一次函数的性质
【点评】
本题结合树木生长的实际情境考查一次函数的基础应用，核心考点是待定系数法求函数解析式，以及利用解析式解决对应求值问题，解题逻辑清晰，掌握一次函数的基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

14. 应用意识 如图是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短.设单层部分的长度为x cm，双层部分的长度为y cm，经测量，得到如下数据：

(1)将表格补充完整，并写出y关于x的函数表达式；
(2)根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120 cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；
(3)设挎带的长度为L cm，求L的取值范围.

(1)70 0 $y = -\frac{1}{2}x + 75$。
观察题中表格可知,$y$是$x$的一次函数。
设$y$关于$x$的函数表达式为$y = kx + b$,
则$\begin{cases}73 = 4k + b,\\72 = 6k + b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{2},\\b = 75,\end{cases}$
$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x + 75$。
当$x = 10$时,$y = -\frac{1}{2} × 10 + 75 = 70$;
当$x = 150$时,$y = -\frac{1}{2} × 150 + 75 = 0$。
(2)由题意,得$x + y = 120$ ①,
由(1),得$y = -\frac{1}{2}x + 75$ ②。
将②代入①,得$x - \frac{1}{2}x + 75 = 120$,即$x = 90$,
$\therefore$ 此时单层部分的长度为90 cm。
(3)由题意,得$L = x + y = x - \frac{1}{2}x + 75 = \frac{1}{2}x + 75$。
由题意,得$0 ≤ x ≤ 150$,
$\therefore 75 ≤ \frac{1}{2}x + 75 ≤ 150$,即$75 ≤ L ≤ 150$,
$\therefore L$的取值范围为$75 ≤ L ≤ 150$。

【分析】
(1) 观察表格数据可知x每增加2，y对应减少1，因此y是x的一次函数，可先设一次函数的一般形式$y=kx+b$，代入两组已知的x、y值求解k和b，得到函数解析式后，再将$x=10$、$x=150$分别代入解析式，即可算出对应y值补充表格。
(2) 挎带总长度为单层长度x与双层长度y的和，已知总长度为120cm可得$x+y=120$，将(1)中得到的y关于x的解析式代入该等式，解一元一次方程即可求出此时单层部分的长度。
(3) 先将挎带总长度L表示为关于x的函数，再结合实际意义：长度不能为负，即$x≥0$、$y≥0$，求出x的取值范围，最后根据一次函数的增减性代入x的上下限，即可求出L的取值范围。
【解析】
(1) 由表格数据可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为$y = kx + b$，
将$\begin{cases}x=4,y=73\\x=6,y=72\end{cases}$代入解析式得：
$\begin{cases}4k + b = 73\\6k + b = 72\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$2k=-1$，解得$k=-\frac{1}{2}$，
将$k=-\frac{1}{2}$代入$4k + b = 73$，解得$b=75$，
因此y关于x的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x + 75$。
当$x=10$时，$y = -\frac{1}{2} × 10 + 75 = 70$；
当$x=150$时，$y = -\frac{1}{2} × 150 + 75 = 0$。
(2) 由题意得挎带总长度满足$x + y = 120$，
将$y = -\frac{1}{2}x + 75$代入上式得：
$x - \frac{1}{2}x + 75 = 120$
整理得$\frac{1}{2}x = 45$，解得$x = 90$。
(3) 挎带长度$L = x + y$，将$y = -\frac{1}{2}x + 75$代入得：
$L = x - \frac{1}{2}x + 75 = \frac{1}{2}x + 75$
结合实际意义，单层长度$x≥0$，双层长度$y≥0$，即$-\frac{1}{2}x + 75 ≥0$，解得$x≤150$，因此x的取值范围为$0 ≤ x ≤ 150$。
由于$\frac{1}{2}＞0$，L随x的增大而增大，
当$x=0$时，$L_{最小}=75$；当$x=150$时，$L_{最大}=\frac{1}{2}×150 +75=150$，
因此L的取值范围为$75 ≤ L ≤ 150$。
【答案】
(1) 表格补充：70，0；$y = -\frac{1}{2}x + 75$
(2) 90 cm
(3) $75 ≤ L ≤ 150$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数实际应用；函数取值范围计算
【点评】
本题结合生活中的挎带调节场景考察一次函数相关知识，既需要掌握一次函数解析式的求解方法，也需要结合实际场景挖掘自变量的取值限制，注重对应用意识和基础计算能力的考察，解题时不要忽略实际问题中长度非负的隐含条件。
【难度系数】
0.7