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1 已知一个模型的三视图如图所示(单位:m)。
(1) 请描述这个模型的形状。
(2) 制作这个模型的木料密度为$360\ \mathrm{kg/m}^3$，则这个模型的质量是多少千克？
(3) 如果要给这个模型刷油漆，每千克油漆可以刷$4\ \mathrm{m}^2$，那么需要油漆多少千克？
(1) 请描述这个模型的形状。
(2) 制作这个模型的木料密度为$360\ \mathrm{kg/m}^3$，则这个模型的质量是多少千克？
(3) 如果要给这个模型刷油漆，每千克油漆可以刷$4\ \mathrm{m}^2$，那么需要油漆多少千克？
答案
(1) 此模型由两个长方体组成:上面是长、宽、高分别为3m、1.5m、2m的小长方体,下面是长、宽、高分别为10m、6m、5m的大长方体。
(2) 模型的体积为 $5 × 6 × 10 + 2 × 3 × 1.5 = 309(\mathrm{m}^3)$,所以这个模型的质量为 $309 × 360 = 111240(\mathrm{kg})$。
(3) 模型的表面积为 $2 × 2 × 3 + 2 × 2 × 1.5 + 2 × 10 × 5 + 2 × 5 × 6 + 2 × 6 × 10 = 298(\mathrm{m}^2)$,所以需要油漆 $298 ÷ 4 = 74.5(\mathrm{kg})$。
(2) 模型的体积为 $5 × 6 × 10 + 2 × 3 × 1.5 = 309(\mathrm{m}^3)$,所以这个模型的质量为 $309 × 360 = 111240(\mathrm{kg})$。
(3) 模型的表面积为 $2 × 2 × 3 + 2 × 2 × 1.5 + 2 × 10 × 5 + 2 × 5 × 6 + 2 × 6 × 10 = 298(\mathrm{m}^2)$,所以需要油漆 $298 ÷ 4 = 74.5(\mathrm{kg})$。
解析
【分析】
(1) 判断模型形状：先根据三视图的对应规律，外部大轮廓对应底层几何体，上方小轮廓对应上层几何体，再分别从三个视图提取尺寸确定两个长方体的长宽高：从俯视图得大长方体长10m、左视图得大长方体宽6m、主视图得大长方体高5m；从俯视图得小长方体长3m、左视图得小长方体宽1.5m、主视图得小长方体高2m。
(2) 计算模型质量：先分别计算两个长方体的体积，求和得到总体积，再根据“质量=密度×体积”计算即可。
(3) 计算油漆用量：先求模型的表面积，注意两个长方体接触面重合，无需重复计算重合的两个面，即总表面积=大长方体全表面积+小长方体侧面积，再根据“油漆质量=总面积÷每千克油漆可刷面积”计算。
【解析】
(1) 观察三视图可得，该模型是上下叠放的两个长方体组成的组合体：
下方大长方体的长为10m、宽为6m、高为5m，上方小长方体的长为3m、宽为1.5m、高为2m，小长方体位于大长方体顶面的中心位置。
(2) 计算模型总体积：
大长方体体积：$V_1=10×6×5=300\ \mathrm{m}^3$
小长方体体积：$V_2=3×1.5×2=9\ \mathrm{m}^3$
总体积$V=V_1+V_2=300+9=309\ \mathrm{m}^3$
模型质量：$m=360×309=111240\ \mathrm{kg}$
(3) 计算模型总表面积：
大长方体的表面积：$S_1=2×(10×6+10×5+6×5)=280\ \mathrm{m}^2$
小长方体的侧面积（抵消重合部分后仅需加侧面积）：$S_2=2×(3×2+1.5×2)=18\ \mathrm{m}^2$
总表面积$S=S_1+S_2=280+18=298\ \mathrm{m}^2$
需要油漆的质量：$298÷4=74.5\ \mathrm{kg}$
【答案】
(1) 此模型由两个长方体组成:上面是长、宽、高分别为3m、1.5m、2m的小长方体,下面是长、宽、高分别为10m、6m、5m的大长方体。
(2) $111240\ \mathrm{kg}$
(3) $74.5\ \mathrm{kg}$
【知识点】
三视图识别、长方体体积计算、长方体表面积计算
【点评】
本题结合三视图考查组合体的相关计算，核心是准确通过三视图还原几何体的尺寸，计算表面积时要注意组合体重合部分不能重复计算，题目结合生活实际场景，能有效锻炼空间想象能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 判断模型形状：先根据三视图的对应规律，外部大轮廓对应底层几何体，上方小轮廓对应上层几何体，再分别从三个视图提取尺寸确定两个长方体的长宽高：从俯视图得大长方体长10m、左视图得大长方体宽6m、主视图得大长方体高5m；从俯视图得小长方体长3m、左视图得小长方体宽1.5m、主视图得小长方体高2m。
(2) 计算模型质量：先分别计算两个长方体的体积，求和得到总体积，再根据“质量=密度×体积”计算即可。
(3) 计算油漆用量：先求模型的表面积，注意两个长方体接触面重合，无需重复计算重合的两个面，即总表面积=大长方体全表面积+小长方体侧面积，再根据“油漆质量=总面积÷每千克油漆可刷面积”计算。
【解析】
(1) 观察三视图可得，该模型是上下叠放的两个长方体组成的组合体：
下方大长方体的长为10m、宽为6m、高为5m，上方小长方体的长为3m、宽为1.5m、高为2m，小长方体位于大长方体顶面的中心位置。
(2) 计算模型总体积：
大长方体体积：$V_1=10×6×5=300\ \mathrm{m}^3$
小长方体体积：$V_2=3×1.5×2=9\ \mathrm{m}^3$
总体积$V=V_1+V_2=300+9=309\ \mathrm{m}^3$
模型质量：$m=360×309=111240\ \mathrm{kg}$
(3) 计算模型总表面积：
大长方体的表面积：$S_1=2×(10×6+10×5+6×5)=280\ \mathrm{m}^2$
小长方体的侧面积（抵消重合部分后仅需加侧面积）：$S_2=2×(3×2+1.5×2)=18\ \mathrm{m}^2$
总表面积$S=S_1+S_2=280+18=298\ \mathrm{m}^2$
需要油漆的质量：$298÷4=74.5\ \mathrm{kg}$
【答案】
(1) 此模型由两个长方体组成:上面是长、宽、高分别为3m、1.5m、2m的小长方体,下面是长、宽、高分别为10m、6m、5m的大长方体。
(2) $111240\ \mathrm{kg}$
(3) $74.5\ \mathrm{kg}$
【知识点】
三视图识别、长方体体积计算、长方体表面积计算
【点评】
本题结合三视图考查组合体的相关计算，核心是准确通过三视图还原几何体的尺寸，计算表面积时要注意组合体重合部分不能重复计算，题目结合生活实际场景，能有效锻炼空间想象能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
2 一个圆柱体零件，削去了占底面圆的四分之一部分的柱体（如图），现已画出了其主视图与俯视图。
（1）请只用直尺和圆规，画出此零件的左视图（不必写作法，保留作图痕迹）。
（2）若此零件的高$h=3\mathrm{cm}$，且其俯视图的弧长为$3π\mathrm{cm}$，求此零件的表面积。
（1）请只用直尺和圆规，画出此零件的左视图（不必写作法，保留作图痕迹）。
（2）若此零件的高$h=3\mathrm{cm}$，且其俯视图的弧长为$3π\mathrm{cm}$，求此零件的表面积。
答案
(1) 左视图与主视图的形状、大小相同,画出的左视图如图。
(2) 设圆柱底面圆的半径为 $r\ \mathrm{cm}$。由题意得 $\frac{3}{4}×2πr=3π$,解得 $r=2$,则此零件的两个底面积的和为 $\frac{3}{4}×2πr^2=6π(\mathrm{cm}^2)$,侧面积为 $(2πr·\frac{3}{4}+2r)·h=(3π+4)×3=(9π+12) \mathrm{cm}^2$,故此零件的表面积为 $6π+9π+12=(15π+12) \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
（1）绘制左视图时，遵循三视图“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律：该零件的高度与主视图高度一致，左视图的宽度对应俯视图的圆直径，由于削去的棱边在左视方向不可见，需用虚线表示对应轮廓，最终左视图和主视图形状大小相同，按尺规作图要求保留痕迹即可。
（2）计算表面积时，首先根据俯视图弧长是3/4个底面圆周长，利用弧长公式求出底面半径r；再拆分表面积：包含两个3/4圆的底面积、3/4个原圆柱的侧面积，以及削去后新增的两个长方形面的面积，将各部分面积相加即可得到总表面积。
【解析】
（1）按三视图投影规律作图，结果如下：
（2）解：设圆柱底面圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$。
由题意得俯视图的弧长为底面圆周长的$\frac{3}{4}$，列方程：
$\frac{3}{4}×2πr=3π$
解得 $r=2$。
① 计算两个底面的面积和：
两个底面均为$\frac{3}{4}$圆，总面积为：
$\frac{3}{4}×2πr^2=\frac{3}{2}×π×2^2=6π(\mathrm{cm}^2)$
② 计算侧面积：
侧面积包含$\frac{3}{4}$个原圆柱侧面积和2个新增长方形的面积：
$(\frac{3}{4}×2πr + 2r)·h=(3π+4)×3=9π+12 (\mathrm{cm}^2)$
③ 总表面积为底面积与侧面积之和：
$6π+9π+12=15π+12 (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) 左视图与主视图的形状、大小相同,画出的左视图如图。
(2) 此零件的表面积为$(15π+12)\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
三视图绘制，弧长计算，几何体表面积计算
【点评】
本题结合三视图绘制和不规则几何体表面积计算考查，既要求掌握三视图的投影规则，也要求能合理拆分几何体的表面积，计算时需注意不要遗漏削去后新增的矩形面的面积。
【难度系数】
0.6
（1）绘制左视图时，遵循三视图“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律：该零件的高度与主视图高度一致，左视图的宽度对应俯视图的圆直径，由于削去的棱边在左视方向不可见，需用虚线表示对应轮廓，最终左视图和主视图形状大小相同，按尺规作图要求保留痕迹即可。
（2）计算表面积时，首先根据俯视图弧长是3/4个底面圆周长，利用弧长公式求出底面半径r；再拆分表面积：包含两个3/4圆的底面积、3/4个原圆柱的侧面积，以及削去后新增的两个长方形面的面积，将各部分面积相加即可得到总表面积。
【解析】
（1）按三视图投影规律作图，结果如下：
（2）解：设圆柱底面圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$。
由题意得俯视图的弧长为底面圆周长的$\frac{3}{4}$，列方程：
$\frac{3}{4}×2πr=3π$
解得 $r=2$。
① 计算两个底面的面积和：
两个底面均为$\frac{3}{4}$圆，总面积为：
$\frac{3}{4}×2πr^2=\frac{3}{2}×π×2^2=6π(\mathrm{cm}^2)$
② 计算侧面积：
侧面积包含$\frac{3}{4}$个原圆柱侧面积和2个新增长方形的面积：
$(\frac{3}{4}×2πr + 2r)·h=(3π+4)×3=9π+12 (\mathrm{cm}^2)$
③ 总表面积为底面积与侧面积之和：
$6π+9π+12=15π+12 (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) 左视图与主视图的形状、大小相同,画出的左视图如图。
(2) 此零件的表面积为$(15π+12)\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
三视图绘制，弧长计算，几何体表面积计算
【点评】
本题结合三视图绘制和不规则几何体表面积计算考查，既要求掌握三视图的投影规则，也要求能合理拆分几何体的表面积，计算时需注意不要遗漏削去后新增的矩形面的面积。
【难度系数】
0.6
