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12 已知一个几何体的三视图如图所示，请描述该几何体的形状，根据主视图中的有关数据(单位:cm)，求这个几何体的体积。
答案
该几何体为底面直径为16和6的两个圆柱的组合体。$V=π × 8^2 × 8 + π × 3^2 × 14 = 638π \mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】
首先观察三视图，俯视图为同心圆，可判断该几何体是两个同轴圆柱叠放形成的组合体；再从主视图提取数据：下方矩形的长16对应下方大圆柱的底面直径，高8对应大圆柱的高；上方矩形的长6对应上方小圆柱的底面直径，高14对应小圆柱的高。解题时先分别计算两个圆柱的体积，再将体积相加即可得到组合体的总体积。
【解析】
1. 判断几何体形状：该几何体是由两个同轴放置的圆柱上下组合而成，下方为底面直径16cm、高8cm的大圆柱，上方为底面直径6cm、高14cm的小圆柱。
2. 计算单个圆柱体积：
圆柱体积公式为$V=π r^2 h$（$r$为底面半径，$h$为高）
大圆柱底面半径$r_1=16÷2=8\mathrm{cm}$，体积$V_1=π×8^2×8=512π\mathrm{cm}^3$
小圆柱底面半径$r_2=6÷2=3\mathrm{cm}$，体积$V_2=π×3^2×14=126π\mathrm{cm}^3$
3. 求总体积：$V=V_1+V_2=512π+126π=638π\mathrm{cm}^3$
【答案】
该几何体为底面直径分别为16cm和6cm的两个同轴圆柱的组合体，体积为$638π \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
三视图还原几何体、圆柱体积计算、组合体体积计算
【点评】
本题考查三视图与几何体的对应关系，以及圆柱体积公式的应用，解题核心是准确从三视图中提取各部分几何体的参数，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
首先观察三视图，俯视图为同心圆，可判断该几何体是两个同轴圆柱叠放形成的组合体；再从主视图提取数据：下方矩形的长16对应下方大圆柱的底面直径，高8对应大圆柱的高；上方矩形的长6对应上方小圆柱的底面直径，高14对应小圆柱的高。解题时先分别计算两个圆柱的体积，再将体积相加即可得到组合体的总体积。
【解析】
1. 判断几何体形状：该几何体是由两个同轴放置的圆柱上下组合而成，下方为底面直径16cm、高8cm的大圆柱，上方为底面直径6cm、高14cm的小圆柱。
2. 计算单个圆柱体积：
圆柱体积公式为$V=π r^2 h$（$r$为底面半径，$h$为高）
大圆柱底面半径$r_1=16÷2=8\mathrm{cm}$，体积$V_1=π×8^2×8=512π\mathrm{cm}^3$
小圆柱底面半径$r_2=6÷2=3\mathrm{cm}$，体积$V_2=π×3^2×14=126π\mathrm{cm}^3$
3. 求总体积：$V=V_1+V_2=512π+126π=638π\mathrm{cm}^3$
【答案】
该几何体为底面直径分别为16cm和6cm的两个同轴圆柱的组合体，体积为$638π \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
三视图还原几何体、圆柱体积计算、组合体体积计算
【点评】
本题考查三视图与几何体的对应关系，以及圆柱体积公式的应用，解题核心是准确从三视图中提取各部分几何体的参数，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
13 由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图所示。
（1）请你画出这个几何体的一种左视图。
（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值。
（1）请你画出这个几何体的一种左视图。
（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值。
答案
（1）左视图有如下5种情形。
（2）$n=8,9,10,11$
解析
【分析】
解决本题首先要明确三视图的对应关系：主视图反映几何体的左右列数和每列的最大高度，俯视图反映几何体的左右列数、前后行数，且俯视图的每个正方形对应底层1个小正方体。
（1）画左视图时，左视图反映几何体的前后行数和每行的最大高度：先确定前后两行的最大可能高度，组合即可得到不同的左视图，任选其一即可。
（2）求小正方体块数n时，先确定底层固定为5个（等于俯视图的正方形数量），再分别计算第二层、第三层可能的小正方体数量，相加即可得到n的所有可能值。
【解析】
我们先对俯视图进行标记：从左到右为第1、2、3列，从前到后为第1行（前排）、第2行（后排），俯视图的5个位置分别对应底层1个小正方体，故底层共5个。
由主视图可知：第1列最大高度为1，所以第1列仅底层1个；第2列最大高度为2，说明第2列至少有1个位置有第二层；第3列最大高度为3，说明第3列至少有1个位置有第二层、第三层。
（1）左视图从左面向右看，左列对应后排（第2行）的最大高度，右列对应前排（第1行）的最大高度，根据两行高度的不同组合，共有5种可能的左视图，任选一种即可。
（2）计算总块数n：
① 第二层：第2列最多可放2个（前后两个位置都加第二层），最少放1个；第3列最多可放2个，最少放1个，故第二层总数量范围为2~4个。
② 第三层：仅第3列可放，最多可放2个，最少放1个，故第三层总数量范围为1~2个。
总块数n=底层数量+第二层数量+第三层数量，因此最小值n=5+2+1=8，最大值n=5+4+2=11，中间可取9、10，即n的所有可能值为8、9、10、11。
【答案】
（1）左视图有如下5种情形。
（2）$n=8,9,10,11$
【知识点】
三视图的概念、由三视图确定小正方体个数
【点评】
本题重点考查空间想象能力，需要结合主视图和俯视图的信息推断几何体的所有可能结构，解题时要注意“最大高度”对应的“至少有一个位置满足”的隐含条件，避免漏算或多算情况。
【难度系数】
0.65
解决本题首先要明确三视图的对应关系：主视图反映几何体的左右列数和每列的最大高度，俯视图反映几何体的左右列数、前后行数，且俯视图的每个正方形对应底层1个小正方体。
（1）画左视图时，左视图反映几何体的前后行数和每行的最大高度：先确定前后两行的最大可能高度，组合即可得到不同的左视图，任选其一即可。
（2）求小正方体块数n时，先确定底层固定为5个（等于俯视图的正方形数量），再分别计算第二层、第三层可能的小正方体数量，相加即可得到n的所有可能值。
【解析】
我们先对俯视图进行标记：从左到右为第1、2、3列，从前到后为第1行（前排）、第2行（后排），俯视图的5个位置分别对应底层1个小正方体，故底层共5个。
由主视图可知：第1列最大高度为1，所以第1列仅底层1个；第2列最大高度为2，说明第2列至少有1个位置有第二层；第3列最大高度为3，说明第3列至少有1个位置有第二层、第三层。
（1）左视图从左面向右看，左列对应后排（第2行）的最大高度，右列对应前排（第1行）的最大高度，根据两行高度的不同组合，共有5种可能的左视图，任选一种即可。
（2）计算总块数n：
① 第二层：第2列最多可放2个（前后两个位置都加第二层），最少放1个；第3列最多可放2个，最少放1个，故第二层总数量范围为2~4个。
② 第三层：仅第3列可放，最多可放2个，最少放1个，故第三层总数量范围为1~2个。
总块数n=底层数量+第二层数量+第三层数量，因此最小值n=5+2+1=8，最大值n=5+4+2=11，中间可取9、10，即n的所有可能值为8、9、10、11。
【答案】
（1）左视图有如下5种情形。
（2）$n=8,9,10,11$
【知识点】
三视图的概念、由三视图确定小正方体个数
【点评】
本题重点考查空间想象能力，需要结合主视图和俯视图的信息推断几何体的所有可能结构，解题时要注意“最大高度”对应的“至少有一个位置满足”的隐含条件，避免漏算或多算情况。
【难度系数】
0.65
