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8（2025镇江丹徒一模）如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$的平分线与BC的垂直平分线交于点D，连接CD。若$∠ A=70°$，$∠ ABC=60°$，则$∠ ACD=$
（第8题）
$20°$
。（第8题）答案
8. $20°$
解析
【分析】
要求∠ACD的度数，可先将其转化为∠ACB与∠DCB的差，分步推导两个角的度数即可：①先利用三角形内角和定理，结合已知的∠A、∠ABC的度数求出∠ACB；②根据角平分线的定义求出∠DBC的度数；③再利用线段垂直平分线的性质得到DB=DC，推出∠DCB=∠DBC；最后用∠ACB减去∠DCB即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠ACB = 180° - ∠A - ∠ABC = 180° - 70° - 60° = 50°
∵BD平分∠ABC
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°
∵D在BC的垂直平分线上
∴DB = DC，即△DBC为等腰三角形
∴∠DCB = ∠DBC = 30°
∴∠ACD = ∠ACB - ∠DCB = 50° - 30° = 20°
【答案】
20°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是将待求角度拆分为两个已知/易求角度的差，结合三角形、角平分线、垂直平分线的基础性质逐步推导即可，是角度计算类的典型常考题。
【难度系数】
0.7
要求∠ACD的度数，可先将其转化为∠ACB与∠DCB的差，分步推导两个角的度数即可：①先利用三角形内角和定理，结合已知的∠A、∠ABC的度数求出∠ACB；②根据角平分线的定义求出∠DBC的度数；③再利用线段垂直平分线的性质得到DB=DC，推出∠DCB=∠DBC；最后用∠ACB减去∠DCB即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠ACB = 180° - ∠A - ∠ABC = 180° - 70° - 60° = 50°
∵BD平分∠ABC
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°
∵D在BC的垂直平分线上
∴DB = DC，即△DBC为等腰三角形
∴∠DCB = ∠DBC = 30°
∴∠ACD = ∠ACB - ∠DCB = 50° - 30° = 20°
【答案】
20°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是将待求角度拆分为两个已知/易求角度的差，结合三角形、角平分线、垂直平分线的基础性质逐步推导即可，是角度计算类的典型常考题。
【难度系数】
0.7
9 (2025连云港海州期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=5$,$AC=4$,$E$是$△ ABC$内一点且$BE$平分$∠ ABC$,若$△ BCE$的面积为$\frac{3}{2}$,则$△ ABE$的面积为________。
答案
9. 2.5
解析
【分析】
解题思路如下：①首先在Rt△ABC中，已知斜边AB和直角边AC，可通过勾股定理求出另一条直角边BC的长度；②BE是∠ABC的角平分线，根据角平分线的性质，点E到BC的距离等于点E到AB的距离，该距离分别是△BCE和△ABE的高；③先根据△BCE的面积求出这个高的长度，再利用三角形面积公式计算△ABE的面积即可。
【解析】
1. 求BC的长度：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$
2. 求点E到BC的距离h：
设点E到BC的距离为h，已知△BCE的面积为$\frac{3}{2}$，由三角形面积公式得：
$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}× BC × h=\frac{3}{2}$
代入BC=3，得$\frac{1}{2}×3× h=\frac{3}{2}$，解得$h=1$
3. 求△ABE的面积：
∵BE平分∠ABC，根据角平分线的性质，点E到AB的距离等于点E到BC的距离，即点E到AB的距离也为1
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB × 1=\frac{1}{2}×5×1=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用角平分线的性质得到两个三角形的高相等，将未知三角形的面积转化为已知边长和可求高的计算问题，是角平分线性质结合面积计算的典型考题，掌握角平分线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①首先在Rt△ABC中，已知斜边AB和直角边AC，可通过勾股定理求出另一条直角边BC的长度；②BE是∠ABC的角平分线，根据角平分线的性质，点E到BC的距离等于点E到AB的距离，该距离分别是△BCE和△ABE的高；③先根据△BCE的面积求出这个高的长度，再利用三角形面积公式计算△ABE的面积即可。
【解析】
1. 求BC的长度：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$
2. 求点E到BC的距离h：
设点E到BC的距离为h，已知△BCE的面积为$\frac{3}{2}$，由三角形面积公式得：
$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}× BC × h=\frac{3}{2}$
代入BC=3，得$\frac{1}{2}×3× h=\frac{3}{2}$，解得$h=1$
3. 求△ABE的面积：
∵BE平分∠ABC，根据角平分线的性质，点E到AB的距离等于点E到BC的距离，即点E到AB的距离也为1
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB × 1=\frac{1}{2}×5×1=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用角平分线的性质得到两个三角形的高相等，将未知三角形的面积转化为已知边长和可求高的计算问题，是角平分线性质结合面积计算的典型考题，掌握角平分线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10（2026盐城阜宁期末）如图，∠ACB的平分线和边AB的垂直平分线相交于点E，EM⊥BC，EN⊥AC，垂足分别为点M，N.
（1）求证：AN=BM；
（2）若BC=20，AN=8，求AC的长.
（1）求证：AN=BM；
（2）若BC=20，AN=8，求AC的长.
答案
10. (1) 证明:连接 AE,BE.
因为 CE 是$∠ ACB$的角平分线,$EM⊥ BC,EN⊥ CA$,
所以 $EN=EM$.
因为 ED 是 AB 的垂直平分线,
所以 $AE=BE$.
因为 $EM⊥ BC,EN⊥ CA$,
所以$∠ EMB=∠ ENA=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ANE$和$\mathrm{Rt}△ BME$中,
因为$∠ ENA=∠ EMB=90°$,且$\begin{cases} EN=EM,\\ AE=BE, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ ANE≌\mathrm{Rt}△ BME(\mathrm{HL})$.
所以 $AN=BM$.
(2) 解:因为 $AN=8$,所以 $BM=8$.
因为 $BC=20$,
所以 $CM=CB+BM=28$.
因为 $EM⊥ BC,EN⊥ CA$,
所以$∠ EMC=∠ ENC=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ CNE$和$\mathrm{Rt}△ CME$中,
因为$∠ ENC=∠ EMC=90°$,
$\begin{cases} EN=EM,\\ CE=CE, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ CNE≌\mathrm{Rt}△ CME(\mathrm{HL})$.
所以 $CN=CM=28$.
所以 $AC=AN+CN=8+28=36$.
所以 AC 的长为 36.
因为 CE 是$∠ ACB$的角平分线,$EM⊥ BC,EN⊥ CA$,
所以 $EN=EM$.
因为 ED 是 AB 的垂直平分线,
所以 $AE=BE$.
因为 $EM⊥ BC,EN⊥ CA$,
所以$∠ EMB=∠ ENA=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ANE$和$\mathrm{Rt}△ BME$中,
因为$∠ ENA=∠ EMB=90°$,且$\begin{cases} EN=EM,\\ AE=BE, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ ANE≌\mathrm{Rt}△ BME(\mathrm{HL})$.
所以 $AN=BM$.
(2) 解:因为 $AN=8$,所以 $BM=8$.
因为 $BC=20$,
所以 $CM=CB+BM=28$.
因为 $EM⊥ BC,EN⊥ CA$,
所以$∠ EMC=∠ ENC=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ CNE$和$\mathrm{Rt}△ CME$中,
因为$∠ ENC=∠ EMC=90°$,
$\begin{cases} EN=EM,\\ CE=CE, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ CNE≌\mathrm{Rt}△ CME(\mathrm{HL})$.
所以 $CN=CM=28$.
所以 $AC=AN+CN=8+28=36$.
所以 AC 的长为 36.
解析
【分析】
（1）要证明AN=BM，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等求解。首先连接AE、BE，根据角平分线的性质可得EN=EM，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，结合两个直角三角形的斜边和直角边对应相等，用HL判定Rt△ANE≌Rt△BME，即可得到AN=BM。
（2）求AC的长，可先利用（1）的全等结论得到BM=AN=8，计算出CM的长度，再证明Rt△CNE≌Rt△CME得到CN=CM，最后根据线段的和差关系计算AC的长度即可。
【解析】
（1）证明：连接AE，BE。
因为CE是∠ACB的角平分线，$EM⊥BC$，$EN⊥CA$，
所以$EN=EM$。
因为ED是AB的垂直平分线，
所以$AE=BE$。
因为$EM⊥BC$，$EN⊥CA$，
所以$∠EMB=∠ENA=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ANE$和$\mathrm{Rt}△ BME$中，
$\begin{cases} EN=EM,\\ AE=BE, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ ANE≌\mathrm{Rt}△ BME(\mathrm{HL})$。
所以 $AN=BM$。
（2）解：因为$AN=8$，由（1）可知$AN=BM$，所以$BM=8$。
因为$BC=20$，
所以$CM=CB+BM=20+8=28$。
因为$EM⊥BC$，$EN⊥CA$，
所以$∠EMC=∠ENC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CNE$和$\mathrm{Rt}△ CME$中，
$\begin{cases} EN=EM,\\ CE=CE, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ CNE≌\mathrm{Rt}△ CME(\mathrm{HL})$。
所以 $CN=CM=28$。
所以 $AC=AN+CN=8+28=36$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{36}$
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形，结合角平分线、线段垂直平分线的性质得到全等所需的边相等的条件，再通过全等三角形的性质转化线段关系求解，掌握相关性质定理是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
（1）要证明AN=BM，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等求解。首先连接AE、BE，根据角平分线的性质可得EN=EM，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，结合两个直角三角形的斜边和直角边对应相等，用HL判定Rt△ANE≌Rt△BME，即可得到AN=BM。
（2）求AC的长，可先利用（1）的全等结论得到BM=AN=8，计算出CM的长度，再证明Rt△CNE≌Rt△CME得到CN=CM，最后根据线段的和差关系计算AC的长度即可。
【解析】
（1）证明：连接AE，BE。
因为CE是∠ACB的角平分线，$EM⊥BC$，$EN⊥CA$，
所以$EN=EM$。
因为ED是AB的垂直平分线，
所以$AE=BE$。
因为$EM⊥BC$，$EN⊥CA$，
所以$∠EMB=∠ENA=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ANE$和$\mathrm{Rt}△ BME$中，
$\begin{cases} EN=EM,\\ AE=BE, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ ANE≌\mathrm{Rt}△ BME(\mathrm{HL})$。
所以 $AN=BM$。
（2）解：因为$AN=8$，由（1）可知$AN=BM$，所以$BM=8$。
因为$BC=20$，
所以$CM=CB+BM=20+8=28$。
因为$EM⊥BC$，$EN⊥CA$，
所以$∠EMC=∠ENC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CNE$和$\mathrm{Rt}△ CME$中，
$\begin{cases} EN=EM,\\ CE=CE, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ CNE≌\mathrm{Rt}△ CME(\mathrm{HL})$。
所以 $CN=CM=28$。
所以 $AC=AN+CN=8+28=36$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{36}$
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形，结合角平分线、线段垂直平分线的性质得到全等所需的边相等的条件，再通过全等三角形的性质转化线段关系求解，掌握相关性质定理是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
11 (2025苏州吴中期中)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,$AB$的垂直平分线$DE$交$AC$于点$D$,交$AB$于点$E$,则下列结论中错误的是 (
A.$BD$平分$∠ ABC$
B.$D$是线段$AC$的中点
C.$AD=BD=BC$
D.$△ BCD$的周长等于$AB+BC$
B
)A.$BD$平分$∠ ABC$
B.$D$是线段$AC$的中点
C.$AD=BD=BC$
D.$△ BCD$的周长等于$AB+BC$
答案
11. B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：第一步利用等腰三角形AB=AC、∠A=36°的性质，计算出两个底角的度数；第二步结合线段垂直平分线的性质得到AD=BD，推导相关角的度数，再逐一验证每个选项的正确性，最终找出错误结论。
【解析】
已知在△ABC中，$AB=AC$，$∠ A=36°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=(180°-∠ A)÷2=(180°-36°)÷2=72°$。
∵DE是AB的垂直平分线，
$\therefore AD=BD$（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
$\therefore ∠ ABD=∠ A=36°$。
1. 验证选项A：$∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=72°-36°=36°=∠ ABD$，因此BD平分$∠ ABC$，A结论正确，不符合题意。
2. 验证选项C：在△BCD中，$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=180°-36°-72°=72°=∠ C$，$\therefore BD=BC$，又$\because AD=BD$，$\therefore AD=BD=BC$，C结论正确，不符合题意。
3. 验证选项B：由$AD=BD=BC$，△BCD中$∠ DBC=36°≠∠ BDC=72°$，$\therefore CD≠ BC$，即$CD≠ AD$，因此D不是AC的中点，B结论错误，符合题意。
4. 验证选项D：△BCD的周长$=BC+CD+BD$，$\because BD=AD$，$\therefore$周长$=BC+CD+AD=BC+AC$，又$\because AC=AB$，$\therefore$周长$=AB+BC$，D结论正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是先推导各内角度数，再结合边的等量关系判断选项，需要熟练掌握等腰三角形和垂直平分线的相关性质。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：第一步利用等腰三角形AB=AC、∠A=36°的性质，计算出两个底角的度数；第二步结合线段垂直平分线的性质得到AD=BD，推导相关角的度数，再逐一验证每个选项的正确性，最终找出错误结论。
【解析】
已知在△ABC中，$AB=AC$，$∠ A=36°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=(180°-∠ A)÷2=(180°-36°)÷2=72°$。
∵DE是AB的垂直平分线，
$\therefore AD=BD$（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
$\therefore ∠ ABD=∠ A=36°$。
1. 验证选项A：$∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=72°-36°=36°=∠ ABD$，因此BD平分$∠ ABC$，A结论正确，不符合题意。
2. 验证选项C：在△BCD中，$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=180°-36°-72°=72°=∠ C$，$\therefore BD=BC$，又$\because AD=BD$，$\therefore AD=BD=BC$，C结论正确，不符合题意。
3. 验证选项B：由$AD=BD=BC$，△BCD中$∠ DBC=36°≠∠ BDC=72°$，$\therefore CD≠ BC$，即$CD≠ AD$，因此D不是AC的中点，B结论错误，符合题意。
4. 验证选项D：△BCD的周长$=BC+CD+BD$，$\because BD=AD$，$\therefore$周长$=BC+CD+AD=BC+AC$，又$\because AC=AB$，$\therefore$周长$=AB+BC$，D结论正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是先推导各内角度数，再结合边的等量关系判断选项，需要熟练掌握等腰三角形和垂直平分线的相关性质。
【难度系数】
0.7
12（2025扬州期末）如图，点C，E在OA上，点D在OB上，且OC=CD=DE，若∠EDB=75°，则∠AOB=
$25°$
。答案
12. $25°$
解析
【分析】
解题时我们可以先设∠AOB的度数为x，结合已知的等边条件，利用等腰三角形“等边对等角”的性质逐步推导相等的角，再借助三角形外角等于与它不相邻两个内角和的性质，将已知的∠EDB用含x的式子表示，建立方程求解即可得到∠AOB的度数。
【解析】
设∠AOB = x，
∵ OC = CD，
∴ ∠CDO = ∠AOB = x，
根据三角形外角的性质，∠DCE = ∠AOB + ∠CDO = x + x = 2x，
又
∵ CD = DE，
∴ ∠DEC = ∠DCE = 2x，
观察可得∠EDB是△ODE的外角，
∴ ∠EDB = ∠AOB + ∠DEC = x + 2x = 3x，
已知∠EDB = 75°，代入得：
3x = 75°，解得x = 25°，即∠AOB = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角定理，角度计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查等腰三角形等边对等角性质和三角形外角性质的综合运用，解题关键是找到已知角和未知角之间的数量关系，是三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以先设∠AOB的度数为x，结合已知的等边条件，利用等腰三角形“等边对等角”的性质逐步推导相等的角，再借助三角形外角等于与它不相邻两个内角和的性质，将已知的∠EDB用含x的式子表示，建立方程求解即可得到∠AOB的度数。
【解析】
设∠AOB = x，
∵ OC = CD，
∴ ∠CDO = ∠AOB = x，
根据三角形外角的性质，∠DCE = ∠AOB + ∠CDO = x + x = 2x，
又
∵ CD = DE，
∴ ∠DEC = ∠DCE = 2x，
观察可得∠EDB是△ODE的外角，
∴ ∠EDB = ∠AOB + ∠DEC = x + 2x = 3x，
已知∠EDB = 75°，代入得：
3x = 75°，解得x = 25°，即∠AOB = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角定理，角度计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查等腰三角形等边对等角性质和三角形外角性质的综合运用，解题关键是找到已知角和未知角之间的数量关系，是三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
13 (2025宿迁宿城月考)如图,在$△ ABC$中,$ED// BC$,$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线分别交$ED$于点$G$,$F$,若$FG=4$,$ED=8$,则$EB+DC=$
12
.答案
13. 12
解析
【分析】
解题时首先抓住“平行线+角平分线”的典型模型，该模型可推导等腰三角形得到等线段。第一步：利用角平分线定义得到两组等角，再结合平行线的内错角相等，等量代换得到△EBG和△DFC为等腰三角形，得出EB=EG、DC=DF；第二步：分析线段的和差关系，将EB+DC转化为EG+DF，进一步整理为ED与FG的和，代入数值即可计算结果。
【解析】
解：
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠GBC，
∵ED//BC，
∴∠EGB=∠GBC（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABG=∠EGB，
∴EB=EG（等角对等边）。
同理，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠FCB，
∵ED//BC，
∴∠DFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等），
∴∠ACF=∠DFC，
∴DC=DF（等角对等边）。
由线段和差关系可得：
EG + DF = (EF + FG) + (DG + FG) = (EF + FG + DG) + FG = ED + FG，
已知ED=8，FG=4，
∴EB + DC = EG + DF = 8 + 4 = 12。
【答案】
12
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于三角形线段计算的基础常考题，核心考查“平行线+角平分线得等腰三角形”的常用模型，熟练掌握该模型能快速找到等线段，再通过线段和差转化即可求解，解题时要注意观察线段之间的位置关系，避免和差计算出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住“平行线+角平分线”的典型模型，该模型可推导等腰三角形得到等线段。第一步：利用角平分线定义得到两组等角，再结合平行线的内错角相等，等量代换得到△EBG和△DFC为等腰三角形，得出EB=EG、DC=DF；第二步：分析线段的和差关系，将EB+DC转化为EG+DF，进一步整理为ED与FG的和，代入数值即可计算结果。
【解析】
解：
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠GBC，
∵ED//BC，
∴∠EGB=∠GBC（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABG=∠EGB，
∴EB=EG（等角对等边）。
同理，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠FCB，
∵ED//BC，
∴∠DFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等），
∴∠ACF=∠DFC，
∴DC=DF（等角对等边）。
由线段和差关系可得：
EG + DF = (EF + FG) + (DG + FG) = (EF + FG + DG) + FG = ED + FG，
已知ED=8，FG=4，
∴EB + DC = EG + DF = 8 + 4 = 12。
【答案】
12
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于三角形线段计算的基础常考题，核心考查“平行线+角平分线得等腰三角形”的常用模型，熟练掌握该模型能快速找到等线段，再通过线段和差转化即可求解，解题时要注意观察线段之间的位置关系，避免和差计算出错。
【难度系数】
0.7
14 (2025 苏州期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=2∠ C$,D是边AC的中点,点E在边AB的延长线上,连接DE交BC于点F,连接AF,且$BE=BF$.
(1) 若$∠ C=28°$,求$∠ E$的度数;
(2) 求证:$AF⊥ BC$.
(1) 若$∠ C=28°$,求$∠ E$的度数;
(2) 求证:$AF⊥ BC$.
答案
14. (1) 解:因为$∠ ABC=2∠ C$,$∠ C=28°$,
所以$∠ ABC=2∠ C=2×28°=56°$.
因为 $BE=BF$,所以$∠ BEF=∠ BFE$.
又$∠ ABC=∠ BEF+∠ BFE=2∠ C$,
所以$∠ BEF=∠ BFE=\frac{1}{2}∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}×56°=28°$,
所以$∠ E$的度数为$28°$.
(2) 证明:因为 $BE=BF$,
所以$∠ BEF=∠ BFE$.
因为$∠ ABC=2∠ C$,$∠ ABC=∠ BEF+∠ BFE$,
所以$∠ BEF=∠ BFE=∠ C$.
因为$∠ DFC=∠ BFE$,
所以$∠ DFC=∠ C$,
所以 $DF=DC$.
又 D 为 AC 的中点,所以 $DF=DC=AD$,
所以$∠ DAF=∠ AFD$,
又$∠ DFC=∠ C$,$∠ AFD+∠ DFC+∠ DAF+∠ C=180°$,
所以$∠ AFD+∠ DFC=∠ DAF+∠ C=\frac{1}{2}×180°=90°$,
即$∠ AFC=∠ AFD+∠ DFC=90°$,
所以 $AF⊥ BC$.
所以$∠ ABC=2∠ C=2×28°=56°$.
因为 $BE=BF$,所以$∠ BEF=∠ BFE$.
又$∠ ABC=∠ BEF+∠ BFE=2∠ C$,
所以$∠ BEF=∠ BFE=\frac{1}{2}∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}×56°=28°$,
所以$∠ E$的度数为$28°$.
(2) 证明:因为 $BE=BF$,
所以$∠ BEF=∠ BFE$.
因为$∠ ABC=2∠ C$,$∠ ABC=∠ BEF+∠ BFE$,
所以$∠ BEF=∠ BFE=∠ C$.
因为$∠ DFC=∠ BFE$,
所以$∠ DFC=∠ C$,
所以 $DF=DC$.
又 D 为 AC 的中点,所以 $DF=DC=AD$,
所以$∠ DAF=∠ AFD$,
又$∠ DFC=∠ C$,$∠ AFD+∠ DFC+∠ DAF+∠ C=180°$,
所以$∠ AFD+∠ DFC=∠ DAF+∠ C=\frac{1}{2}×180°=90°$,
即$∠ AFC=∠ AFD+∠ DFC=90°$,
所以 $AF⊥ BC$.
解析
【分析】
(1) 求∠E的度数时，首先根据∠ABC和∠C的倍数关系求出∠ABC的度数；再结合BE=BF可知△BEF是等腰三角形，可得∠E=∠BFE；最后利用三角形外角的性质，即∠ABC是△BEF的外角，等于∠E与∠BFE的和，代入数值即可求出∠E。
(2) 要证明AF⊥BC，本质是证明∠AFC=90°。首先通过角的等量代换推出∠DFC=∠C，得到DF=DC；再结合D是AC中点，可得AD=DC=DF，进而得到△ADF和△DFC均为等腰三角形，对应底角相等；最后利用三角形内角和为180°，可推导出∠AFD+∠DFC=90°，即可完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵∠ABC=2∠C，∠C=28°，
∴∠ABC=2×28°=56°。
∵BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE。
又
∵∠ABC是△BEF的外角，即∠ABC=∠BEF+∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE=½∠ABC=½×56°=28°，即∠E=28°。
(2) 证明：
∵BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE。
∵∠ABC=2∠C，且∠ABC=∠BEF+∠BFE=2∠BFE，
∴∠BFE=∠C。
又
∵∠DFC和∠BFE是对顶角，即∠DFC=∠BFE，
∴∠DFC=∠C，
∴DF=DC。
∵D是AC的中点，
∴AD=DC，
∴AD=DC=DF。
∴在△ADF中，∠DAF=∠AFD；在△DFC中，∠DFC=∠C。
∵△AFC的内角和为180°，即∠DAF+∠AFD+∠DFC+∠C=180°，
∴2(∠AFD+∠DFC)=180°，
∴∠AFD+∠DFC=90°，即∠AFC=90°，
∴AF⊥BC。
【答案】
(1) ∠E的度数为28°；(2) AF⊥BC得证。
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是熟练运用等腰三角形等边对等角、等角对等边的性质，结合三角形内外角的关系完成角的等量转化，第二问通过中点关联线段相等进而推导角的关系是解题的突破口，能有效考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠E的度数时，首先根据∠ABC和∠C的倍数关系求出∠ABC的度数；再结合BE=BF可知△BEF是等腰三角形，可得∠E=∠BFE；最后利用三角形外角的性质，即∠ABC是△BEF的外角，等于∠E与∠BFE的和，代入数值即可求出∠E。
(2) 要证明AF⊥BC，本质是证明∠AFC=90°。首先通过角的等量代换推出∠DFC=∠C，得到DF=DC；再结合D是AC中点，可得AD=DC=DF，进而得到△ADF和△DFC均为等腰三角形，对应底角相等；最后利用三角形内角和为180°，可推导出∠AFD+∠DFC=90°，即可完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵∠ABC=2∠C，∠C=28°，
∴∠ABC=2×28°=56°。
∵BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE。
又
∵∠ABC是△BEF的外角，即∠ABC=∠BEF+∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE=½∠ABC=½×56°=28°，即∠E=28°。
(2) 证明：
∵BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE。
∵∠ABC=2∠C，且∠ABC=∠BEF+∠BFE=2∠BFE，
∴∠BFE=∠C。
又
∵∠DFC和∠BFE是对顶角，即∠DFC=∠BFE，
∴∠DFC=∠C，
∴DF=DC。
∵D是AC的中点，
∴AD=DC，
∴AD=DC=DF。
∴在△ADF中，∠DAF=∠AFD；在△DFC中，∠DFC=∠C。
∵△AFC的内角和为180°，即∠DAF+∠AFD+∠DFC+∠C=180°，
∴2(∠AFD+∠DFC)=180°，
∴∠AFD+∠DFC=90°，即∠AFC=90°，
∴AF⊥BC。
【答案】
(1) ∠E的度数为28°；(2) AF⊥BC得证。
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是熟练运用等腰三角形等边对等角、等角对等边的性质，结合三角形内外角的关系完成角的等量转化，第二问通过中点关联线段相等进而推导角的关系是解题的突破口，能有效考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
