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15（2025无锡锡山月考）如图，$△ ABC$是等边三角形，$AB=6$，$BD$是$∠ ABC$的平分线，延长$BC$到点$E$，使$CE=CD$，则$BE$的长为（
A.7
B.8
C.$\dfrac{17}{2}$
D.9
（第15题）
D
）A.7
B.8
C.$\dfrac{17}{2}$
D.9
（第15题）答案
15. D
解析
【分析】
首先看到题目给出△ABC是等边三角形，先联想到等边三角形三边相等，且角平分线、中线、高线“三线合一”的性质。已知BD是∠ABC的平分线，结合三线合一可推出D是AC的中点，从而求出CD的长度；再根据CE=CD得到CE的长度，最后利用BE=BC+CE的线段和关系即可算出BE的长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=6
∴BC=AC=AB=6
∵BD是∠ABC的平分线，根据等边三角形三线合一的性质
∴D为AC的中点，即$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$
又
∵CE=CD
∴CE=3
∴BE=BC+CE=6+3=9
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；三线合一；线段和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是熟练运用等边三角形的三线合一性质求出CD的长度，再结合已知的线段等量关系即可求出结果，解题时注意梳理清楚线段之间的和差关系即可。
【难度系数】
0.8
首先看到题目给出△ABC是等边三角形，先联想到等边三角形三边相等，且角平分线、中线、高线“三线合一”的性质。已知BD是∠ABC的平分线，结合三线合一可推出D是AC的中点，从而求出CD的长度；再根据CE=CD得到CE的长度，最后利用BE=BC+CE的线段和关系即可算出BE的长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=6
∴BC=AC=AB=6
∵BD是∠ABC的平分线，根据等边三角形三线合一的性质
∴D为AC的中点，即$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$
又
∵CE=CD
∴CE=3
∴BE=BC+CE=6+3=9
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；三线合一；线段和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是熟练运用等边三角形的三线合一性质求出CD的长度，再结合已知的线段等量关系即可求出结果，解题时注意梳理清楚线段之间的和差关系即可。
【难度系数】
0.8
16 如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在边AC上，点F在边AB上，沿EF折叠，使点A落在边BC上点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD=
$45°$
。答案
16. $45°$
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：①等边三角形ABC的每个内角均为60°；②沿EF折叠后点A落在D处，根据折叠性质可得△AFE和△DFE全等，对应角相等、对应边相等；③ED垂直BC，即∠EDC=90°。首先根据平角定义求出∠FDB的度数，再在△BFD中利用三角形内角和求出∠BFD的度数，最后结合折叠对应角相等的性质，即可推导得出∠EFD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
由折叠的性质可得：$△ AFE ≌ △ DFE$，
∴∠EDF=∠A=60°，$∠ AFE = ∠ DFE$，
∵$ED ⊥ BC$，
∴∠EDC=90°，
∵点D在BC上，∠BDC为平角，
∴$∠ FDB = 180° - ∠ EDF - ∠ EDC = 180° - 60° - 90° = 30°$，
在$△ BFD$中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BFD = 180° - ∠ B - ∠ FDB = 180° - 60° - 30° = 90°$，
∵∠AFB为平角，即$∠ AFE + ∠ DFE + ∠ BFD = 180°$，
又
∵$∠ AFE = ∠ DFE = ∠ EFD$，
∴$2∠ EFD + 90° = 180°$，
解得$∠ EFD = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
等边三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合等边三角形内角、平角、三角形内角和的角度关系逐步推导即可，解题时注意不要遗漏折叠隐含的全等条件。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：①等边三角形ABC的每个内角均为60°；②沿EF折叠后点A落在D处，根据折叠性质可得△AFE和△DFE全等，对应角相等、对应边相等；③ED垂直BC，即∠EDC=90°。首先根据平角定义求出∠FDB的度数，再在△BFD中利用三角形内角和求出∠BFD的度数，最后结合折叠对应角相等的性质，即可推导得出∠EFD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
由折叠的性质可得：$△ AFE ≌ △ DFE$，
∴∠EDF=∠A=60°，$∠ AFE = ∠ DFE$，
∵$ED ⊥ BC$，
∴∠EDC=90°，
∵点D在BC上，∠BDC为平角，
∴$∠ FDB = 180° - ∠ EDF - ∠ EDC = 180° - 60° - 90° = 30°$，
在$△ BFD$中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BFD = 180° - ∠ B - ∠ FDB = 180° - 60° - 30° = 90°$，
∵∠AFB为平角，即$∠ AFE + ∠ DFE + ∠ BFD = 180°$，
又
∵$∠ AFE = ∠ DFE = ∠ EFD$，
∴$2∠ EFD + 90° = 180°$，
解得$∠ EFD = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
等边三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合等边三角形内角、平角、三角形内角和的角度关系逐步推导即可，解题时注意不要遗漏折叠隐含的全等条件。
【难度系数】
0.7
17 (2026 宿迁泗洪期末)如图，O是线段AB上一点，分别以OA，OB为边在AB同侧作等边三角形OAC和等边三角形OBD，连接AD交OC于点E，连接BC交OD于点F，连接EF.
(1) 求证:AD=BC；
(2) 求证:△OEF是等边三角形.
(1) 求证:AD=BC；
(2) 求证:△OEF是等边三角形.
答案
17. 证明:(1) 因为$△ OAC$和$△ OBD$为等边三角形,
所以 $OA=OC$,$OB=OD$,$∠ AOC=∠ BOD=60°$,
所以$∠ AOD=BOC=120°$.
在$△ AOD$和$△ COB$中,$\begin{cases} OA=OC,\\ ∠ AOD=∠ COB,\\ OD=OB, \end{cases}$
所以$△ AOD≌△ COB(\mathrm{SAS})$,
所以 $AD=BC$.
(2) 由(1)可知$△ AOD≌△ COB$,
所以$∠ OAD=∠ OCB$.
因为$△ OAC$和$△ OBD$为等边三角形,
所以 $OA=OC$,$∠ AOC=∠ COF=60°$,
在$△ AOE$和$△ COF$中,$\begin{cases} ∠ EAO=∠ FCO,\\ OA=OC,\\ ∠ AOE=∠ COF, \end{cases}$
所以$△ AOE≌△ COF(\mathrm{ASA})$,
所以 $OE=OF$,
所以$△ OEF$是等边三角形.
所以 $OA=OC$,$OB=OD$,$∠ AOC=∠ BOD=60°$,
所以$∠ AOD=BOC=120°$.
在$△ AOD$和$△ COB$中,$\begin{cases} OA=OC,\\ ∠ AOD=∠ COB,\\ OD=OB, \end{cases}$
所以$△ AOD≌△ COB(\mathrm{SAS})$,
所以 $AD=BC$.
(2) 由(1)可知$△ AOD≌△ COB$,
所以$∠ OAD=∠ OCB$.
因为$△ OAC$和$△ OBD$为等边三角形,
所以 $OA=OC$,$∠ AOC=∠ COF=60°$,
在$△ AOE$和$△ COF$中,$\begin{cases} ∠ EAO=∠ FCO,\\ OA=OC,\\ ∠ AOE=∠ COF, \end{cases}$
所以$△ AOE≌△ COF(\mathrm{ASA})$,
所以 $OE=OF$,
所以$△ OEF$是等边三角形.
解析
【分析】
(1) 要证明AD=BC，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。观察图形可知AD在△AOD中，BC在△COB中，首先根据等边三角形的性质可得OA=OC、OD=OB，以及∠AOC=∠BOD=60°，进一步推导得到两个三角形的夹角∠AOD=∠COB，即可用SAS判定△AOD和△COB全等，从而得到对应边AD=BC。
(2) 要证明△OEF是等边三角形，可先证明它是有一个内角为60°的等腰三角形。由(1)的全等结论可得∠OAD=∠OCB，结合等边三角形的性质可得OA=OC、∠AOE=∠COF=60°，用ASA判定△AOE≌△COF，即可得到OE=OF，再结合∠EOF=60°，根据等边三角形的判定定理即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵△OAC和△OBD为等边三角形，
∴$OA=OC$，$OB=OD$，$∠AOC=∠BOD=60°$，
∴$∠AOC+∠COD=∠BOD+∠COD$，即$∠AOD=∠COB=120°$。
在$△AOD$和$△COB$中，
$\begin{cases} OA=OC\\ ∠AOD=∠COB\\ OD=OB \end{cases}$
∴$△AOD≌△COB(\mathrm{SAS})$，
∴$AD=BC$。
(2) 证明：
由(1)可知$△AOD≌△COB$，
∴$∠OAD=∠OCB$。
∵△OAC和△OBD为等边三角形，
∴$OA=OC$，$∠AOC=∠BOD=60°$，
∴$∠COF=180°-∠AOC-∠BOD=60°$，即$∠AOE=∠COF=60°$。
在$△AOE$和$△COF$中，
$\begin{cases} ∠EAO=∠FCO\\ OA=OC\\ ∠AOE=∠COF \end{cases}$
∴$△AOE≌△COF(\mathrm{ASA})$，
∴$OE=OF$，
又
∵$∠EOF=60°$，
∴△OEF是等边三角形。
【答案】
(1) $AD=BC$；(2) $△OEF$是等边三角形
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形全等与等边三角形的综合基础题，解题的核心是利用等边三角形的性质挖掘全等三角形所需的边、角相等条件，通过全等得到对应边或角的等量关系后逐步推导即可得出结论。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AD=BC，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。观察图形可知AD在△AOD中，BC在△COB中，首先根据等边三角形的性质可得OA=OC、OD=OB，以及∠AOC=∠BOD=60°，进一步推导得到两个三角形的夹角∠AOD=∠COB，即可用SAS判定△AOD和△COB全等，从而得到对应边AD=BC。
(2) 要证明△OEF是等边三角形，可先证明它是有一个内角为60°的等腰三角形。由(1)的全等结论可得∠OAD=∠OCB，结合等边三角形的性质可得OA=OC、∠AOE=∠COF=60°，用ASA判定△AOE≌△COF，即可得到OE=OF，再结合∠EOF=60°，根据等边三角形的判定定理即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵△OAC和△OBD为等边三角形，
∴$OA=OC$，$OB=OD$，$∠AOC=∠BOD=60°$，
∴$∠AOC+∠COD=∠BOD+∠COD$，即$∠AOD=∠COB=120°$。
在$△AOD$和$△COB$中，
$\begin{cases} OA=OC\\ ∠AOD=∠COB\\ OD=OB \end{cases}$
∴$△AOD≌△COB(\mathrm{SAS})$，
∴$AD=BC$。
(2) 证明：
由(1)可知$△AOD≌△COB$，
∴$∠OAD=∠OCB$。
∵△OAC和△OBD为等边三角形，
∴$OA=OC$，$∠AOC=∠BOD=60°$，
∴$∠COF=180°-∠AOC-∠BOD=60°$，即$∠AOE=∠COF=60°$。
在$△AOE$和$△COF$中，
$\begin{cases} ∠EAO=∠FCO\\ OA=OC\\ ∠AOE=∠COF \end{cases}$
∴$△AOE≌△COF(\mathrm{ASA})$，
∴$OE=OF$，
又
∵$∠EOF=60°$，
∴△OEF是等边三角形。
【答案】
(1) $AD=BC$；(2) $△OEF$是等边三角形
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形全等与等边三角形的综合基础题，解题的核心是利用等边三角形的性质挖掘全等三角形所需的边、角相等条件，通过全等得到对应边或角的等量关系后逐步推导即可得出结论。
【难度系数】
0.7
18（2025南通海门月考）如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AD$，$AE$分别是边$BC$上的中线和高，若$AE=2$，$S_{△ ABD}=\sqrt{5}$，则$AD$的长为（
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{3}$
C.$1$
D.$\dfrac{3}{2}$
（第18题）
A
）A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{3}$
C.$1$
D.$\dfrac{3}{2}$
（第18题）答案
18. A
解析
【分析】
解题时首先利用三角形面积公式，结合已知△ABD的面积和高AE的长度，先求出线段BD的长度；再根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得AD与BD相等，进而求出AD的长。
【解析】
解：
∵AE是BC边上的高，
∴AE⊥BC，
∴△ABD的面积$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} · BD · AE$，
将$AE=2$，$S_{△ ABD}=\sqrt{5}$代入得：
$\sqrt{5}=\frac{1}{2} × BD × 2$，
解得$BD=\sqrt{5}$。
∵在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，AD是BC边上的中线，
∴根据直角三角形斜边中线的性质，$AD=BD=DC$，
∴$AD=\sqrt{5}$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算，直角三角形斜边中线性质，三角形中线的性质
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是先通过三角形面积公式求出BD的长度，再结合直角三角形斜边中线的性质得到AD的长度，需要熟练掌握相关几何性质并灵活运用。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用三角形面积公式，结合已知△ABD的面积和高AE的长度，先求出线段BD的长度；再根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得AD与BD相等，进而求出AD的长。
【解析】
解：
∵AE是BC边上的高，
∴AE⊥BC，
∴△ABD的面积$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} · BD · AE$，
将$AE=2$，$S_{△ ABD}=\sqrt{5}$代入得：
$\sqrt{5}=\frac{1}{2} × BD × 2$，
解得$BD=\sqrt{5}$。
∵在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，AD是BC边上的中线，
∴根据直角三角形斜边中线的性质，$AD=BD=DC$，
∴$AD=\sqrt{5}$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算，直角三角形斜边中线性质，三角形中线的性质
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是先通过三角形面积公式求出BD的长度，再结合直角三角形斜边中线的性质得到AD的长度，需要熟练掌握相关几何性质并灵活运用。
【难度系数】
0.8
19 (2026 南京玄武期末)如图，$∠ ABC=∠ ADC=90°$, $M$ 是 $AC$ 的中点，$∠ BMD=150°$,则$∠ BAD=$
$75°$
.答案
19. $75°$
解析
【分析】
遇到有公共斜边的两个直角三角形，且已知斜边中点时，首先考虑直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得BM=AM=DM，进而得到△ABM、△ADM、△BMD均为等腰三角形。结合已知的∠BMD=150°，利用周角为360°和等腰三角形两底角相等的性质，就能建立角度关系求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴在Rt△ABC中，$BM=AM=MC=\frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
同理在Rt△ADC中，$DM=AM=MC=\frac{1}{2}AC$，
∴$BM=AM=DM$，
根据等边对等角可得：∠BAM=∠ABM，∠DAM=∠ADM，
在△ABM中，∠AMB=180°-∠BAM-∠ABM=180°-2∠BAM，
在△ADM中，∠AMD=180°-∠DAM-∠ADM=180°-2∠DAM，
∵∠AMB+∠AMD+∠BMD=360°（周角的定义），且∠BMD=150°，
∴$(180°-2∠BAM)+(180°-2∠DAM)+150°=360°$，
又
∵∠BAD=∠BAM+∠DAM，
∴$510°-2∠BAD=360°$，
解得$∠BAD=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的性质，周角的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的突破口是利用直角三角形斜边中线的性质得到相等的线段，将线段关系转化为角度关系进行求解，能够有效考查学生对三角形基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
遇到有公共斜边的两个直角三角形，且已知斜边中点时，首先考虑直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得BM=AM=DM，进而得到△ABM、△ADM、△BMD均为等腰三角形。结合已知的∠BMD=150°，利用周角为360°和等腰三角形两底角相等的性质，就能建立角度关系求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴在Rt△ABC中，$BM=AM=MC=\frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
同理在Rt△ADC中，$DM=AM=MC=\frac{1}{2}AC$，
∴$BM=AM=DM$，
根据等边对等角可得：∠BAM=∠ABM，∠DAM=∠ADM，
在△ABM中，∠AMB=180°-∠BAM-∠ABM=180°-2∠BAM，
在△ADM中，∠AMD=180°-∠DAM-∠ADM=180°-2∠DAM，
∵∠AMB+∠AMD+∠BMD=360°（周角的定义），且∠BMD=150°，
∴$(180°-2∠BAM)+(180°-2∠DAM)+150°=360°$，
又
∵∠BAD=∠BAM+∠DAM，
∴$510°-2∠BAD=360°$，
解得$∠BAD=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的性质，周角的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的突破口是利用直角三角形斜边中线的性质得到相等的线段，将线段关系转化为角度关系进行求解，能够有效考查学生对三角形基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
