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15 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$，$E$分别是$AB$，$BC$上的点，连接$ED$并延长交$CA$的延长线于点$F$，$BD=3$，$BE=2$，$DE=\sqrt{5}$。
（1）求证：$EF⊥ BC$；
（2）求证：$△ ADF$是等腰三角形。
（1）求证：$EF⊥ BC$；
（2）求证：$△ ADF$是等腰三角形。
答案
15. 证明:(1) 因为$BD=3,BE=2,DE=\sqrt{5}$,
所以$2^2+(\sqrt{5})^2=9=3^2$,
所以$△BDE$是直角三角形,且$∠BED=90°$,
所以$EF⊥BC$.
(2) 因为$AB=AC$,所以$∠B=∠C$.
因为$DE⊥BC$,
所以$∠BDE+∠B=90°,∠F+∠C=90°$,
所以$∠F=∠BDE$.
又因为$∠BDE=∠FDA$,
所以$∠F=∠FDA$,
所以$AF=AD$,
即$△ADF$是等腰三角形.
所以$2^2+(\sqrt{5})^2=9=3^2$,
所以$△BDE$是直角三角形,且$∠BED=90°$,
所以$EF⊥BC$.
(2) 因为$AB=AC$,所以$∠B=∠C$.
因为$DE⊥BC$,
所以$∠BDE+∠B=90°,∠F+∠C=90°$,
所以$∠F=∠BDE$.
又因为$∠BDE=∠FDA$,
所以$∠F=∠FDA$,
所以$AF=AD$,
即$△ADF$是等腰三角形.
解析
【分析】
（1）要证明$EF⊥ BC$，只需证$∠ BED=90°$。已知$△ BDE$的三边长度，可通过勾股定理的逆定理验证，若两条短边的平方和等于最长边的平方，即可判定$△ BDE$是直角三角形，且最长边对应的角为直角，从而得到垂直关系。
（2）要证明$△ ADF$是等腰三角形，需证该三角形有两个内角相等。首先由$AB=AC$可得底角$∠ B=∠ C$，结合第一问得到的垂直关系，利用直角三角形两锐角互余，可得$∠ BDE$与$∠ B$互余、$∠ F$与$∠ C$互余，根据等角的余角相等推出$∠ BDE=∠ F$，再结合对顶角相等的性质，即可得到$∠ F=∠ FDA$，进而判定$△ ADF$为等腰三角形。
【解析】
(1) 已知$BD=3$，$BE=2$，$DE=\sqrt{5}$，计算边长的平方：
$BE^2+DE^2=2^2+(\sqrt{5})^2=4+5=9$，$BD^2=3^2=9$，
因此$BE^2+DE^2=BD^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ BDE$是直角三角形，且$∠ BED=90°$，故$EF⊥ BC$。
(2) 因为$AB=AC$，所以$△ ABC$为等腰三角形，$∠ B=∠ C$。
由(1)得$DE⊥ BC$，因此$∠ BED=∠ CEF=90°$。
在$Rt△ BDE$中，$∠ BDE+∠ B=90°$；在$Rt△ FEC$中，$∠ F+∠ C=90°$。
结合$∠ B=∠ C$，根据等角的余角相等，可得$∠ BDE=∠ F$。
又因为$∠ BDE$与$∠ FDA$是对顶角，所以$∠ BDE=∠ FDA$，等量代换得$∠ F=∠ FDA$，因此$AF=AD$，即$△ ADF$是等腰三角形。
【答案】
(1) 因为$BD=3,BE=2,DE=\sqrt{5}$，
所以$2^2+(\sqrt{5})^2=9=3^2$，
所以$△ BDE$是直角三角形，且$∠ BED=90°$，
所以$EF⊥BC$。
(2) 因为$AB=AC$，所以$∠ B=∠ C$。
因为$DE⊥BC$，
所以$∠ BDE+∠B=90°,∠F+∠C=90°$，
所以$∠ F=∠ BDE$。
又因为$∠ BDE=∠ FDA$，
所以$∠ F=∠ FDA$，
所以$AF=AD$，
即$△ ADF$是等腰三角形。
【知识点】
勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题逻辑清晰，先通过勾股定理逆定理得到垂直关系，再通过角的等量代换推导等角，能有效考查学生的基础几何推理能力，巩固相关定理的应用。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$EF⊥ BC$，只需证$∠ BED=90°$。已知$△ BDE$的三边长度，可通过勾股定理的逆定理验证，若两条短边的平方和等于最长边的平方，即可判定$△ BDE$是直角三角形，且最长边对应的角为直角，从而得到垂直关系。
（2）要证明$△ ADF$是等腰三角形，需证该三角形有两个内角相等。首先由$AB=AC$可得底角$∠ B=∠ C$，结合第一问得到的垂直关系，利用直角三角形两锐角互余，可得$∠ BDE$与$∠ B$互余、$∠ F$与$∠ C$互余，根据等角的余角相等推出$∠ BDE=∠ F$，再结合对顶角相等的性质，即可得到$∠ F=∠ FDA$，进而判定$△ ADF$为等腰三角形。
【解析】
(1) 已知$BD=3$，$BE=2$，$DE=\sqrt{5}$，计算边长的平方：
$BE^2+DE^2=2^2+(\sqrt{5})^2=4+5=9$，$BD^2=3^2=9$，
因此$BE^2+DE^2=BD^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ BDE$是直角三角形，且$∠ BED=90°$，故$EF⊥ BC$。
(2) 因为$AB=AC$，所以$△ ABC$为等腰三角形，$∠ B=∠ C$。
由(1)得$DE⊥ BC$，因此$∠ BED=∠ CEF=90°$。
在$Rt△ BDE$中，$∠ BDE+∠ B=90°$；在$Rt△ FEC$中，$∠ F+∠ C=90°$。
结合$∠ B=∠ C$，根据等角的余角相等，可得$∠ BDE=∠ F$。
又因为$∠ BDE$与$∠ FDA$是对顶角，所以$∠ BDE=∠ FDA$，等量代换得$∠ F=∠ FDA$，因此$AF=AD$，即$△ ADF$是等腰三角形。
【答案】
(1) 因为$BD=3,BE=2,DE=\sqrt{5}$，
所以$2^2+(\sqrt{5})^2=9=3^2$，
所以$△ BDE$是直角三角形，且$∠ BED=90°$，
所以$EF⊥BC$。
(2) 因为$AB=AC$，所以$∠ B=∠ C$。
因为$DE⊥BC$，
所以$∠ BDE+∠B=90°,∠F+∠C=90°$，
所以$∠ F=∠ BDE$。
又因为$∠ BDE=∠ FDA$，
所以$∠ F=∠ FDA$，
所以$AF=AD$，
即$△ ADF$是等腰三角形。
【知识点】
勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题逻辑清晰，先通过勾股定理逆定理得到垂直关系，再通过角的等量代换推导等角，能有效考查学生的基础几何推理能力，巩固相关定理的应用。
【难度系数】
0.7
16（2025连云港赣榆月考）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架$AC=8$，$AB=6$，两轮中心的距离$BC=10$，滚轮半径$r=2$.
（1）判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
（2）若购物车上篮子的左边缘$D$与点$A$的距离$AD=13$，$AE=5$，且$AE⊥ DE$，$AE$和$BC$都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘$D$到地面的距离.
（1）判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
（2）若购物车上篮子的左边缘$D$与点$A$的距离$AD=13$，$AE=5$，且$AE⊥ DE$，$AE$和$BC$都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘$D$到地面的距离.
答案
16. 解:(1) 因为$AC=8,AB=6,BC=10$,
所以$BC^2=AC^2+AB^2$,
所以$△ABC$是直角三角形.
(2) 因为$AD=13,AE=5$,且$AE⊥DE$,
由勾股定理,得$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$.
因为$AC=8,AB=6,BC=10,△ABC$是直角三角形,
所以边 BC 上的高$=\frac{AC· AB}{BC}=\frac{6×8}{10}=4.8$.
因为滚轮半径$r=2$,
所以购物车上篮子的左边缘 D 到地面的距离$=12+4.8+2=18.8$.
所以$BC^2=AC^2+AB^2$,
所以$△ABC$是直角三角形.
(2) 因为$AD=13,AE=5$,且$AE⊥DE$,
由勾股定理,得$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$.
因为$AC=8,AB=6,BC=10,△ABC$是直角三角形,
所以边 BC 上的高$=\frac{AC· AB}{BC}=\frac{6×8}{10}=4.8$.
因为滚轮半径$r=2$,
所以购物车上篮子的左边缘 D 到地面的距离$=12+4.8+2=18.8$.
解析
【分析】
（1）判断三角形形状时，已知三边长度优先考虑勾股定理的逆定理：先计算两条较短边的平方和，再计算最长边的平方，若二者相等，即可判定该三角形为直角三角形。
（2）求D到地面的距离可拆解为三段距离之和：首先在直角三角形ADE中，已知斜边AD和直角边AE，用勾股定理可求出D到水平线AE的垂直距离DE；其次因为AE和BC都平行于地面，利用直角三角形面积法可算出点A到BC的垂直距离；最后BC到地面的距离等于滚轮半径，将三段距离相加即可得到最终结果。
【解析】
（1）$△ ABC$是直角三角形，理由如下：
已知$AC=8$，$AB=6$，$BC=10$，
计算得：$AC^2+AB^2=8^2+6^2=64+36=100$，$BC^2=10^2=100$，
因此$BC^2=AC^2+AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形。
（2）$\because AE⊥ DE$，$\therefore △ ADE$是直角三角形，
在$Rt△ ADE$中，$AD=13$，$AE=5$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
设$BC$边上的高为$h$，根据直角三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· h$，
代入数值计算得$h=\frac{AB· AC}{BC}=\frac{6×8}{10}=4.8$，即点A到BC的垂直距离为4.8。
已知滚轮半径$r=2$，即BC到地面的距离为2，且AE、BC均与地面平行，
因此D到地面的距离为$12+4.8+2=18.8$。
【答案】
（1）$△ ABC$是直角三角形；（2）$18.8$
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题时需将实际问题转化为直角三角形的相关计算，理清各段垂直距离的构成关系即可顺利求解，注重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）判断三角形形状时，已知三边长度优先考虑勾股定理的逆定理：先计算两条较短边的平方和，再计算最长边的平方，若二者相等，即可判定该三角形为直角三角形。
（2）求D到地面的距离可拆解为三段距离之和：首先在直角三角形ADE中，已知斜边AD和直角边AE，用勾股定理可求出D到水平线AE的垂直距离DE；其次因为AE和BC都平行于地面，利用直角三角形面积法可算出点A到BC的垂直距离；最后BC到地面的距离等于滚轮半径，将三段距离相加即可得到最终结果。
【解析】
（1）$△ ABC$是直角三角形，理由如下：
已知$AC=8$，$AB=6$，$BC=10$，
计算得：$AC^2+AB^2=8^2+6^2=64+36=100$，$BC^2=10^2=100$，
因此$BC^2=AC^2+AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形。
（2）$\because AE⊥ DE$，$\therefore △ ADE$是直角三角形，
在$Rt△ ADE$中，$AD=13$，$AE=5$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
设$BC$边上的高为$h$，根据直角三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· h$，
代入数值计算得$h=\frac{AB· AC}{BC}=\frac{6×8}{10}=4.8$，即点A到BC的垂直距离为4.8。
已知滚轮半径$r=2$，即BC到地面的距离为2，且AE、BC均与地面平行，
因此D到地面的距离为$12+4.8+2=18.8$。
【答案】
（1）$△ ABC$是直角三角形；（2）$18.8$
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题时需将实际问题转化为直角三角形的相关计算，理清各段垂直距离的构成关系即可顺利求解，注重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
17 新趋势 学科融合（2026盐城建湖期末）在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验。同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A正下方的物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降。实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离BC=5 cm，物体C到定滑轮A的垂直距离AC=12 cm。（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若物体C升高2 cm至$C_1$处，求滑块B向左滑动至$B_1$处的距离。
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若物体C升高2 cm至$C_1$处，求滑块B向左滑动至$B_1$处的距离。
答案
17. 解:(1) 由题意,得$∠ACB=90°$,
所以在$\mathrm{Rt}△ACB$中,$AB^2=AC^2+BC^2$,
所以$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13(\mathrm{cm})$,
所以$AB+AC=13+12=25(\mathrm{cm})$.
故绳子的总长度为 25 cm.
(2) 由题意,得$CC_1=2\ \mathrm{cm}$,
所以$AC_1=AC-CC_1=12-2=10(\mathrm{cm})$.
由(1),得绳子的总长度为 25 cm,
所以$AB_1=25-AC_1=25-10=15(\mathrm{cm})$,
在$\mathrm{Rt}△ACB_1$中,$AB_1^2=AC^2+B_1C^2$,
所以$B_1C=\sqrt{AB_1^2-AC^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9(\mathrm{cm})$,
所以$BB_1=B_1C-BC=9-5=4(\mathrm{cm})$.
故滑块 B 向左滑动的距离为 4 cm.
所以在$\mathrm{Rt}△ACB$中,$AB^2=AC^2+BC^2$,
所以$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13(\mathrm{cm})$,
所以$AB+AC=13+12=25(\mathrm{cm})$.
故绳子的总长度为 25 cm.
(2) 由题意,得$CC_1=2\ \mathrm{cm}$,
所以$AC_1=AC-CC_1=12-2=10(\mathrm{cm})$.
由(1),得绳子的总长度为 25 cm,
所以$AB_1=25-AC_1=25-10=15(\mathrm{cm})$,
在$\mathrm{Rt}△ACB_1$中,$AB_1^2=AC^2+B_1C^2$,
所以$B_1C=\sqrt{AB_1^2-AC^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9(\mathrm{cm})$,
所以$BB_1=B_1C-BC=9-5=4(\mathrm{cm})$.
故滑块 B 向左滑动的距离为 4 cm.
解析
【分析】
（1）求解第一问首先判断△ACB的形状：AC垂直水平地面，BC是水平距离，因此∠ACB=90°，△ACB为直角三角形，已知两条直角边AC、BC的长度，可通过勾股定理求出斜边AB的长度，绳子总长度为AB段与AC段的长度之和。
（2）求解第二问需抓住绳长不变的隐含条件：物体C升高2cm后，先算出AC₁的长度，用绳长总长减去AC₁即可得到AB₁的长度，再在Rt△ACB₁中利用勾股定理求出B₁C的长度，最后用B₁C减去原有BC的长度，即可得到滑块B向左滑动的距离。
【解析】
(1) 由题意得$∠ ACB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ACB$中，根据勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$，
代入数据得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13(\mathrm{cm})$，
所以绳子总长度为$AB+AC=13+12=25(\mathrm{cm})$。
(2) 由题意得$CC_1=2\ \mathrm{cm}$，
所以$AC_1=AC-CC_1=12-2=10(\mathrm{cm})$，
由(1)可知绳子总长度为25 cm，
因此$AB_1=25-AC_1=25-10=15(\mathrm{cm})$，
在$\mathrm{Rt}△ACB_1$中，根据勾股定理得$AB_1^2=AC^2+B_1C^2$，
代入数据得$B_1C=\sqrt{AB_1^2-AC^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9(\mathrm{cm})$，
所以滑块B向左滑动的距离$BB_1=B_1C-BC=9-5=4(\mathrm{cm})$。
【答案】
（1）绳子的总长度为25 cm；
（2）滑块B向左滑动的距离为4 cm。
【知识点】
勾股定理；直角三角形应用；不变量分析
【点评】
本题为学科融合类题型，结合物理实验场景将实际问题转化为直角三角形几何模型，解题核心是抓住绳长不变的隐含条件，正确运用勾股定理计算边长，侧重考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）求解第一问首先判断△ACB的形状：AC垂直水平地面，BC是水平距离，因此∠ACB=90°，△ACB为直角三角形，已知两条直角边AC、BC的长度，可通过勾股定理求出斜边AB的长度，绳子总长度为AB段与AC段的长度之和。
（2）求解第二问需抓住绳长不变的隐含条件：物体C升高2cm后，先算出AC₁的长度，用绳长总长减去AC₁即可得到AB₁的长度，再在Rt△ACB₁中利用勾股定理求出B₁C的长度，最后用B₁C减去原有BC的长度，即可得到滑块B向左滑动的距离。
【解析】
(1) 由题意得$∠ ACB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ACB$中，根据勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$，
代入数据得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13(\mathrm{cm})$，
所以绳子总长度为$AB+AC=13+12=25(\mathrm{cm})$。
(2) 由题意得$CC_1=2\ \mathrm{cm}$，
所以$AC_1=AC-CC_1=12-2=10(\mathrm{cm})$，
由(1)可知绳子总长度为25 cm，
因此$AB_1=25-AC_1=25-10=15(\mathrm{cm})$，
在$\mathrm{Rt}△ACB_1$中，根据勾股定理得$AB_1^2=AC^2+B_1C^2$，
代入数据得$B_1C=\sqrt{AB_1^2-AC^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9(\mathrm{cm})$，
所以滑块B向左滑动的距离$BB_1=B_1C-BC=9-5=4(\mathrm{cm})$。
【答案】
（1）绳子的总长度为25 cm；
（2）滑块B向左滑动的距离为4 cm。
【知识点】
勾股定理；直角三角形应用；不变量分析
【点评】
本题为学科融合类题型，结合物理实验场景将实际问题转化为直角三角形几何模型，解题核心是抓住绳长不变的隐含条件，正确运用勾股定理计算边长，侧重考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
