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10（2025扬州期中）中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理.如图,已知正方形ABCD和正方形BEFG,A,B,E三点在一条直线上.现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE.若正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和为220,阴影部分的面积为130,则AE的长为（
A.22
B.20
C.18
D.16
B
）A.22
B.20
C.18
D.16
答案
10. B
解析
【分析】
首先设正方形ABCD的边长为a，正方形BEFG的边长为b，根据两个正方形面积和为220可得$a^2+b^2=220$，且AE的长度为$a+b$，我们的目标是求出$a+b$的值。接着分析面积关系：阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去空白部分的面积，空白部分是两个全等的直角三角形，可求出空白面积总和为$ab$，结合阴影面积为130即可算出$ab$的值，最后利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$代入数值就能得到AE的长度。
【解析】
解：设正方形ABCD的边长为$a$，正方形BEFG的边长为$b$。
1. 根据两个正方形面积之和为220，可得：
$a^2 + b^2 = 220$，且$AE = a + b$。
2. 观察图形，空白部分为两个全等的直角三角形，单个直角三角形的两条直角边长分别为$a$和$b$，因此单个空白三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，两个空白部分总面积为$2×\frac{1}{2}ab=ab$。
3. 结合阴影部分面积为130，可得面积关系：
$220 - ab = 130$
解得$ab=90$。
4. 根据完全平方公式计算$a+b$：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将$a^2+b^2=220$、$ab=90$代入得：
$(a+b)^2=220+2×90=400$
因为边长为正数，所以$a+b=\sqrt{400}=20$，即AE的长为20。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形的性质
【点评】
本题结合古代出入相补原理考查几何与代数的综合应用，解题的核心是找到图形各部分面积的等量关系，将几何问题转化为代数运算求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
首先设正方形ABCD的边长为a，正方形BEFG的边长为b，根据两个正方形面积和为220可得$a^2+b^2=220$，且AE的长度为$a+b$，我们的目标是求出$a+b$的值。接着分析面积关系：阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去空白部分的面积，空白部分是两个全等的直角三角形，可求出空白面积总和为$ab$，结合阴影面积为130即可算出$ab$的值，最后利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$代入数值就能得到AE的长度。
【解析】
解：设正方形ABCD的边长为$a$，正方形BEFG的边长为$b$。
1. 根据两个正方形面积之和为220，可得：
$a^2 + b^2 = 220$，且$AE = a + b$。
2. 观察图形，空白部分为两个全等的直角三角形，单个直角三角形的两条直角边长分别为$a$和$b$，因此单个空白三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，两个空白部分总面积为$2×\frac{1}{2}ab=ab$。
3. 结合阴影部分面积为130，可得面积关系：
$220 - ab = 130$
解得$ab=90$。
4. 根据完全平方公式计算$a+b$：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将$a^2+b^2=220$、$ab=90$代入得：
$(a+b)^2=220+2×90=400$
因为边长为正数，所以$a+b=\sqrt{400}=20$，即AE的长为20。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形的性质
【点评】
本题结合古代出入相补原理考查几何与代数的综合应用，解题的核心是找到图形各部分面积的等量关系，将几何问题转化为代数运算求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
11（2025南京鼓楼期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形.直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c.若b−a=2，c=10，则a+b的值为
14
.答案
11. 14
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据直角三角形的勾股定理，可得到a、b、c的关系$a^2+b^2=c^2$，代入已知$c=10$可求出$a^2+b^2$的值；再结合已知条件$b-a=2$，对其两边平方，利用完全平方公式展开后，代入$a^2+b^2$的值可求出$2ab$的值；最后对$(a+b)$用完全平方公式展开，将$a^2+b^2$和$2ab$的值代入即可求出$(a+b)^2$的值，结合a、b为正数的实际意义，开平方即可得到$a+b$的值。也可以将$b=a+2$代入勾股定理公式，解一元二次方程求出a、b的具体值后求和。
【解析】
解：
∵直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c
∴根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$
∵$c=10$
∴$a^2 + b^2 = 10^2 = 100$
已知$b - a = 2$，将等式两边平方得：
$(b - a)^2 = 2^2$
由完全平方公式展开得：$b^2 - 2ab + a^2 = 4$
将$a^2 + b^2 = 100$代入上式得：
$100 - 2ab = 4$
解得：$2ab = 96$
又
∵$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
代入$a^2 + b^2 =100$、$2ab=96$得：
$(a + b)^2 = 100 + 96 = 196$
∵a、b为直角三角形的边长，均为正数
∴$a + b = \sqrt{196} = 14$
【答案】
14
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查勾股定理与完全平方公式的综合应用，解题时既可以通过完全平方公式的变形整体求值，也可以列方程求出a、b的具体值再求和，前者计算更简便，是代数与几何结合的基础典型题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据直角三角形的勾股定理，可得到a、b、c的关系$a^2+b^2=c^2$，代入已知$c=10$可求出$a^2+b^2$的值；再结合已知条件$b-a=2$，对其两边平方，利用完全平方公式展开后，代入$a^2+b^2$的值可求出$2ab$的值；最后对$(a+b)$用完全平方公式展开，将$a^2+b^2$和$2ab$的值代入即可求出$(a+b)^2$的值，结合a、b为正数的实际意义，开平方即可得到$a+b$的值。也可以将$b=a+2$代入勾股定理公式，解一元二次方程求出a、b的具体值后求和。
【解析】
解：
∵直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c
∴根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$
∵$c=10$
∴$a^2 + b^2 = 10^2 = 100$
已知$b - a = 2$，将等式两边平方得：
$(b - a)^2 = 2^2$
由完全平方公式展开得：$b^2 - 2ab + a^2 = 4$
将$a^2 + b^2 = 100$代入上式得：
$100 - 2ab = 4$
解得：$2ab = 96$
又
∵$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
代入$a^2 + b^2 =100$、$2ab=96$得：
$(a + b)^2 = 100 + 96 = 196$
∵a、b为直角三角形的边长，均为正数
∴$a + b = \sqrt{196} = 14$
【答案】
14
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查勾股定理与完全平方公式的综合应用，解题时既可以通过完全平方公式的变形整体求值，也可以列方程求出a、b的具体值再求和，前者计算更简便，是代数与几何结合的基础典型题。
【难度系数】
0.7
12（2025苏州工业园区月考）数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方.如图1，设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b(a＜b)，斜边长度是c，则可以用数学语言表达：$a^2 + b^2 = c^2$.
（1）如图2，将4块与图1完全相同的直角三角形拼成一个边长为c的正方形ABCD，则四边形EFGH是一个
（2）观察图2，利用面积之间的恒等关系，试说明$a^2 + b^2 = c^2$的正确性；
（3）如图3，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB=12，BC=20，利用上面的结论求EF的长.
（1）如图2，将4块与图1完全相同的直角三角形拼成一个边长为c的正方形ABCD，则四边形EFGH是一个
正方形
（填“长方形”或“正方形”），其面积为$(b-a)^2$
（用含a,b的代数式表示）；（2）观察图2，利用面积之间的恒等关系，试说明$a^2 + b^2 = c^2$的正确性；
（3）如图3，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB=12，BC=20，利用上面的结论求EF的长.
答案
12. 解:(1) 正方形 $(b-a)^2$
(2) 因为$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=4×S_{\mathrm{Rt}△ABE}+S_{\mathrm{正方形}EFGH}$,
所以$c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$,
整理,得$a^2+b^2=c^2$.
故$a^2+b^2=c^2$正确.
(3) 因为四边形 ABCD 是长方形,$△AFE$是由$△ADE$折叠得到的,
所以$AF=AD=BC=20,DC=AB=12,EF=DE$.
在$\mathrm{Rt}△ABF$中,$AB=12$,
由勾股定理,得$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$,
所以$CF=BC-BF=20-16=4$.
设$EF=x$,则$EC=DC-DE=12-x$,
在$\mathrm{Rt}△EFC$中,由勾股定理,得$EF^2=CF^2+EC^2$,
即$x^2=4^2+(12-x)^2$,
解得$x=\frac{20}{3}$,
即 EF 的长为$\frac{20}{3}$.
(2) 因为$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=4×S_{\mathrm{Rt}△ABE}+S_{\mathrm{正方形}EFGH}$,
所以$c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$,
整理,得$a^2+b^2=c^2$.
故$a^2+b^2=c^2$正确.
(3) 因为四边形 ABCD 是长方形,$△AFE$是由$△ADE$折叠得到的,
所以$AF=AD=BC=20,DC=AB=12,EF=DE$.
在$\mathrm{Rt}△ABF$中,$AB=12$,
由勾股定理,得$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$,
所以$CF=BC-BF=20-16=4$.
设$EF=x$,则$EC=DC-DE=12-x$,
在$\mathrm{Rt}△EFC$中,由勾股定理,得$EF^2=CF^2+EC^2$,
即$x^2=4^2+(12-x)^2$,
解得$x=\frac{20}{3}$,
即 EF 的长为$\frac{20}{3}$.
解析
【分析】
（1）观察图2可知，4个全等直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，因此四边形EFGH的每条边长都为$b-a$，且每个内角均为直角，可判断其形状，再根据正方形面积公式写出面积即可。
（2）采用等积法：大正方形ABCD的面积可分别用边长平方、4个直角三角形面积加中间小正方形面积两种方式表示，将两个表达式相等，化简后即可验证勾股定理。
（3）折叠前后对应边相等，因此$AF=AD=20$，$EF=DE$。先在$\mathrm{Rt}△ABF$中用勾股定理求BF，再计算CF的长度，设EF为x，将EC用含x的代数式表示，最后在$\mathrm{Rt}△EFC$中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 4个完全相同的直角三角形的直角边为a、b，可知四边形EFGH的各边均为$b-a$，且每个内角都是$90°$，因此四边形EFGH是正方形，面积为边长的平方，即$(b-a)^2$。
(2) 由面积的恒等关系可知，大正方形ABCD的面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形EFGH的面积之和，即：
$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=4×S_{\mathrm{Rt}△ABE}+S_{\mathrm{正方形}EFGH}$
代入对应面积公式得：
$c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$
展开化简右边得：$c^2=2ab + b^2 - 2ab + a^2=a^2+b^2$，因此$a^2+b^2=c^2$成立。
(3) 因为四边形ABCD是长方形，$△ AFE$是由$△ ADE$折叠得到的，所以$AF=AD=BC=20$，$DC=AB=12$，$EF=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ABF$中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16$
因此$CF=BC-BF=20-16=4$。
设$EF=x$，则$DE=x$，$EC=DC-DE=12-x$。
在$\mathrm{Rt}△EFC$中，由勾股定理得$EF^2=CF^2+EC^2$，即：
$x^2=4^2+(12-x)^2$
展开整理得$24x=160$，解得$x=\frac{20}{3}$。
【答案】
(1) 正方形，$(b-a)^2$
(2) $a^2+b^2=c^2$正确，说明见解析
(3) $\frac{20}{3}$
【知识点】
勾股定理；正方形的判定与性质；折叠的性质
【点评】
本题围绕勾股定理的证明与应用设计，既考查了用等积法推导勾股定理的思路，又考查了折叠问题中利用勾股定理结合方程思想求解线段长度的方法，注重对基础方法和综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）观察图2可知，4个全等直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，因此四边形EFGH的每条边长都为$b-a$，且每个内角均为直角，可判断其形状，再根据正方形面积公式写出面积即可。
（2）采用等积法：大正方形ABCD的面积可分别用边长平方、4个直角三角形面积加中间小正方形面积两种方式表示，将两个表达式相等，化简后即可验证勾股定理。
（3）折叠前后对应边相等，因此$AF=AD=20$，$EF=DE$。先在$\mathrm{Rt}△ABF$中用勾股定理求BF，再计算CF的长度，设EF为x，将EC用含x的代数式表示，最后在$\mathrm{Rt}△EFC$中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 4个完全相同的直角三角形的直角边为a、b，可知四边形EFGH的各边均为$b-a$，且每个内角都是$90°$，因此四边形EFGH是正方形，面积为边长的平方，即$(b-a)^2$。
(2) 由面积的恒等关系可知，大正方形ABCD的面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形EFGH的面积之和，即：
$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=4×S_{\mathrm{Rt}△ABE}+S_{\mathrm{正方形}EFGH}$
代入对应面积公式得：
$c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$
展开化简右边得：$c^2=2ab + b^2 - 2ab + a^2=a^2+b^2$，因此$a^2+b^2=c^2$成立。
(3) 因为四边形ABCD是长方形，$△ AFE$是由$△ ADE$折叠得到的，所以$AF=AD=BC=20$，$DC=AB=12$，$EF=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ABF$中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16$
因此$CF=BC-BF=20-16=4$。
设$EF=x$，则$DE=x$，$EC=DC-DE=12-x$。
在$\mathrm{Rt}△EFC$中，由勾股定理得$EF^2=CF^2+EC^2$，即：
$x^2=4^2+(12-x)^2$
展开整理得$24x=160$，解得$x=\frac{20}{3}$。
【答案】
(1) 正方形，$(b-a)^2$
(2) $a^2+b^2=c^2$正确，说明见解析
(3) $\frac{20}{3}$
【知识点】
勾股定理；正方形的判定与性质；折叠的性质
【点评】
本题围绕勾股定理的证明与应用设计，既考查了用等积法推导勾股定理的思路，又考查了折叠问题中利用勾股定理结合方程思想求解线段长度的方法，注重对基础方法和综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
13（2026盐城亭湖期末）据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活.下列各组数中，是“勾股数”的是（
A.2,3,5
B.7,8,9
C.6,8,10
D.5,12,11
C
）A.2,3,5
B.7,8,9
C.6,8,10
D.5,12,11
答案
13. C
解析
【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先需明确勾股数的判定条件：①三个数均为正整数；②三个数中两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时先找出每个选项中最大的数，再验证另外两个数的平方和是否等于最大数的平方，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
勾股数的定义：满足两个较小正整数的平方和等于最大正整数的平方的三个正整数，叫做勾股数。我们对每个选项逐一验证：
A. 最大数为5，计算得$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$5^2 = 25$，$13 ≠ 25$，不是勾股数；
B. 最大数为9，计算得$7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$，$9^2 = 81$，$113 ≠ 81$，不是勾股数；
C. 最大数为10，计算得$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$，满足平方和关系且三个数都是正整数，是勾股数；
D. 最大数为12，计算得$5^2 + 11^2 = 25 + 121 = 146$，$12^2 = 144$，$146 ≠ 144$，不是勾股数。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股数的定义、勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是牢记勾股数的两个判定要点，验证时优先确定最大数再计算平方和，可以有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.85
要判断一组数是不是勾股数，首先需明确勾股数的判定条件：①三个数均为正整数；②三个数中两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时先找出每个选项中最大的数，再验证另外两个数的平方和是否等于最大数的平方，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
勾股数的定义：满足两个较小正整数的平方和等于最大正整数的平方的三个正整数，叫做勾股数。我们对每个选项逐一验证：
A. 最大数为5，计算得$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$5^2 = 25$，$13 ≠ 25$，不是勾股数；
B. 最大数为9，计算得$7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$，$9^2 = 81$，$113 ≠ 81$，不是勾股数；
C. 最大数为10，计算得$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$，满足平方和关系且三个数都是正整数，是勾股数；
D. 最大数为12，计算得$5^2 + 11^2 = 25 + 121 = 146$，$12^2 = 144$，$146 ≠ 144$，不是勾股数。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股数的定义、勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是牢记勾股数的两个判定要点，验证时优先确定最大数再计算平方和，可以有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.85
14（2025连云港东海期中）小惠同学用31个等距离的结把一根绳子分成等长的30段，她一只手同时握住第1个结和第31个结，小淇同学拉住第6个结，这时小婷同学应该拉住第
18
个结，拉紧绳子后才会得到一个以第6个结为直角顶点的直角三角形。答案
14. 18
解析
【分析】
首先，31个结把绳子分成30等份，每份长度相等，拉紧后形成的三角形周长对应30份长度。已知直角顶点是第6个结，先求出第1个结到第6个结的长度为6-1=5份。设小婷拉住第x个结，那么第6个结到第x个结的长度为(x-6)份，剩余的斜边长度为总长度减去两条直角边的长度，即30-5-(x-6)=31-x份。根据直角三角形勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，列方程即可求解x的值。
【解析】
设绳子每段长度为1，小婷同学拉住第x个结。
1. 计算已知直角边长度：从第1个结到第6个结共6-1=5段，长度为5。
2. 表示另两条边的长度：
从第6个结到第x个结共(x-6)段，长度为x-6；
从第x个结到第31个结共31-x段，长度为31-x，为直角三角形的斜边。
3. 根据勾股定理列方程：
$5^2 + (x-6)^2 = (31-x)^2$
4. 解方程：
展开得：$25 + x^2 -12x +36 = x^2 -62x + 961$
消去$x^2$，移项合并同类项得：$50x = 900$
解得：$x=18$
5. 检验：此时三角形三边长为5、12、13，满足$5^2+12^2=13^2$，符合直角三角形要求。
【答案】
18
【知识点】
勾股定理；一元一次方程应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用题型，解题关键是将结的位置转化为三角形各边的长度，结合勾股定理建立方程求解，熟记常见勾股数可以快速验证结果，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
首先，31个结把绳子分成30等份，每份长度相等，拉紧后形成的三角形周长对应30份长度。已知直角顶点是第6个结，先求出第1个结到第6个结的长度为6-1=5份。设小婷拉住第x个结，那么第6个结到第x个结的长度为(x-6)份，剩余的斜边长度为总长度减去两条直角边的长度，即30-5-(x-6)=31-x份。根据直角三角形勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，列方程即可求解x的值。
【解析】
设绳子每段长度为1，小婷同学拉住第x个结。
1. 计算已知直角边长度：从第1个结到第6个结共6-1=5段，长度为5。
2. 表示另两条边的长度：
从第6个结到第x个结共(x-6)段，长度为x-6；
从第x个结到第31个结共31-x段，长度为31-x，为直角三角形的斜边。
3. 根据勾股定理列方程：
$5^2 + (x-6)^2 = (31-x)^2$
4. 解方程：
展开得：$25 + x^2 -12x +36 = x^2 -62x + 961$
消去$x^2$，移项合并同类项得：$50x = 900$
解得：$x=18$
5. 检验：此时三角形三边长为5、12、13，满足$5^2+12^2=13^2$，符合直角三角形要求。
【答案】
18
【知识点】
勾股定理；一元一次方程应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用题型，解题关键是将结的位置转化为三角形各边的长度，结合勾股定理建立方程求解，熟记常见勾股数可以快速验证结果，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
