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1.某市为鼓励市民节约使用燃气,对燃气进行分段收费,每月使用11立方米以内(包括11立方米)每立方米收费2元,超过部分按每立方米2.4元收取.如果某户的燃气使用量是x立方米(x超过11),那么燃气费用y与x的函数关系式是
.
y=2.4x-4.4
.
答案
1. y=2.4x−4.4 【点拨】某户的燃气使用量是x立方米(x超过11),所以超过部分为(x−11)立方米.因为每月使用11立方米以内(包括11立方米)每立方米收费2元,超过部分按每立方米2.4元收取,所以未超过部分的费用为11×2=22(元),超过部分的费用为2.4(x−11)元,所以燃气费用y与x的函数关系式是y=2.4(x−11)+22=2.4x−4.4.
解析
【分析】
本题属于分段计费类的一次函数实际应用题，解题思路如下：首先明确当用气量x超过11立方米时，总燃气费由两部分组成，分别是11立方米以内的基础费用，以及超出11立方米部分的额外费用。先分别计算两部分的费用，再将两部分费用相加得到总费用y，最后化简表达式即可得到所求函数关系式。
【解析】
已知燃气使用量x超过11立方米：
1. 计算11立方米的基础费用：$11×2=22$元
2. 计算超出11立方米的气量为$(x-11)$立方米，该部分费用为：$2.4(x-11)$元
3. 总费用y为两部分费用之和，列式可得：
$y=22 + 2.4(x-11)$
化简后得：$y=2.4x - 4.4$
【答案】
$y=2.4x−4.4$
【知识点】
1. 一次函数应用
2. 分段计费
3. 函数解析式求解
【点评】
本题结合生活中的燃气收费场景出题，解题核心是理清分段计费的规则，准确拆分费用的构成部分，求和后化简即可得到结果，属于一次函数应用的基础题型，掌握计费规则就能顺利作答。
【难度系数】
0.85
本题属于分段计费类的一次函数实际应用题，解题思路如下：首先明确当用气量x超过11立方米时，总燃气费由两部分组成，分别是11立方米以内的基础费用，以及超出11立方米部分的额外费用。先分别计算两部分的费用，再将两部分费用相加得到总费用y，最后化简表达式即可得到所求函数关系式。
【解析】
已知燃气使用量x超过11立方米：
1. 计算11立方米的基础费用：$11×2=22$元
2. 计算超出11立方米的气量为$(x-11)$立方米，该部分费用为：$2.4(x-11)$元
3. 总费用y为两部分费用之和，列式可得：
$y=22 + 2.4(x-11)$
化简后得：$y=2.4x - 4.4$
【答案】
$y=2.4x−4.4$
【知识点】
1. 一次函数应用
2. 分段计费
3. 函数解析式求解
【点评】
本题结合生活中的燃气收费场景出题，解题核心是理清分段计费的规则，准确拆分费用的构成部分，求和后化简即可得到结果，属于一次函数应用的基础题型，掌握计费规则就能顺利作答。
【难度系数】
0.85
2. 立德树人 节约用水 某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，于四月开始采用以用户为单位按月分段收费办法收取水费，三月底以前按原收费标准收费。两种收费标准见下表：
| 原收费标准 | 新按月分段收费标准 |
| --- | --- |
| 每吨2元 | (1)每月用水不超过10吨(包括10吨)的用户，每吨收费1.8
；
(2)每月用水超过10吨的用户，其中的10吨按每吨1.8元收费，超过10吨的部分，按每吨$a$元收费($a＞1.8$) |
(1)居民甲三月份、四月份各用水20吨，但四月份比三月份多交水费8元，求上表中$a$的值；
(2)若居民甲五月份用水$x$(单位:吨)，应交水费$y$(单位:元)，求$y$与$x$之间的关系式。
| 原收费标准 | 新按月分段收费标准 |
| --- | --- |
| 每吨2元 | (1)每月用水不超过10吨(包括10吨)的用户，每吨收费1.8
；(2)每月用水超过10吨的用户，其中的10吨按每吨1.8元收费，超过10吨的部分，按每吨$a$元收费($a＞1.8$) |
(1)居民甲三月份、四月份各用水20吨，但四月份比三月份多交水费8元，求上表中$a$的值；
(2)若居民甲五月份用水$x$(单位:吨)，应交水费$y$(单位:元)，求$y$与$x$之间的关系式。
答案
2.【解】(1)根据题意得10×1.8+(20−10)a=2×20+8，解得a=3.
(2)当0＜x≤10时，y与x之间的关系式为y=1.8x；
当x＞10时，y与x之间的关系式为y=10×1.8+3(x−10)=3x−12.
综上，y与x之间的关系式为$y=\begin{cases}1.8x(0＜x≤10),\\3x-12(x＞10).\end{cases}$
(2)当0＜x≤10时，y与x之间的关系式为y=1.8x；
当x＞10时，y与x之间的关系式为y=10×1.8+3(x−10)=3x−12.
综上，y与x之间的关系式为$y=\begin{cases}1.8x(0＜x≤10),\\3x-12(x＞10).\end{cases}$
解析
【分析】
(1) 求解a值时，先分别明确三月、四月的水费计算方式：三月按原标准每吨2元，直接用用水量乘单价可得三月水费；四月属于超过10吨的分段计费，先算10吨的费用，再算超出10吨部分的费用，两者相加为四月总水费。根据“四月比三月多交8元”的等量关系列方程，即可解出a的值。
(2) 求y与x的关系式时，需要根据新收费标准分两种情况讨论：①用水量不超过10吨时，直接用单价乘用水量计算水费；②用水量超过10吨时，先算10吨的费用，再加超出部分的费用，分别整理出两种情况的函数表达式即可。
【解析】
(1) 首先计算居民甲三月份的水费：按原标准每吨2元，用水20吨，水费为 $20×2=40$ 元。
四月份用水20吨，超过10吨，按新标准计费：10吨的费用为 $10×1.8=18$ 元，超出10吨的部分为 $20-10=10$ 吨，费用为 $10a$ 元，因此四月总水费为 $18+10a$ 元。
根据题意，四月份比三月份多交8元，可列方程：
$10×1.8+(20-10)a=2×20+8$
化简得：$18+10a=48$
解得：$a=3$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当 $0＜x≤10$ 时，水费按每吨1.8元收取，因此 $y=1.8x$；
② 当 $x＞10$ 时，其中10吨按每吨1.8元收费，超出的 $(x-10)$ 吨按每吨3元收费，因此：
$y=10×1.8+3(x-10)=18+3x-30=3x-12$。
【答案】
(1) $a=3$；
(2) $y=\begin{cases}1.8x&(0＜x≤10)\\3x-12&(x＞10)\end{cases}$
【知识点】
一元一次方程应用，分段函数，阶梯计费
【点评】
本题结合节约用水的实际场景，考查阶梯计费类问题的处理逻辑，解题核心是明确不同用量区间的收费规则，分类讨论时要注意对应自变量的取值范围，避免混淆收费标准。
【难度系数】
0.7
(1) 求解a值时，先分别明确三月、四月的水费计算方式：三月按原标准每吨2元，直接用用水量乘单价可得三月水费；四月属于超过10吨的分段计费，先算10吨的费用，再算超出10吨部分的费用，两者相加为四月总水费。根据“四月比三月多交8元”的等量关系列方程，即可解出a的值。
(2) 求y与x的关系式时，需要根据新收费标准分两种情况讨论：①用水量不超过10吨时，直接用单价乘用水量计算水费；②用水量超过10吨时，先算10吨的费用，再加超出部分的费用，分别整理出两种情况的函数表达式即可。
【解析】
(1) 首先计算居民甲三月份的水费：按原标准每吨2元，用水20吨，水费为 $20×2=40$ 元。
四月份用水20吨，超过10吨，按新标准计费：10吨的费用为 $10×1.8=18$ 元，超出10吨的部分为 $20-10=10$ 吨，费用为 $10a$ 元，因此四月总水费为 $18+10a$ 元。
根据题意，四月份比三月份多交8元，可列方程：
$10×1.8+(20-10)a=2×20+8$
化简得：$18+10a=48$
解得：$a=3$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当 $0＜x≤10$ 时，水费按每吨1.8元收取，因此 $y=1.8x$；
② 当 $x＞10$ 时，其中10吨按每吨1.8元收费，超出的 $(x-10)$ 吨按每吨3元收费，因此：
$y=10×1.8+3(x-10)=18+3x-30=3x-12$。
【答案】
(1) $a=3$；
(2) $y=\begin{cases}1.8x&(0＜x≤10)\\3x-12&(x＞10)\end{cases}$
【知识点】
一元一次方程应用，分段函数，阶梯计费
【点评】
本题结合节约用水的实际场景，考查阶梯计费类问题的处理逻辑，解题核心是明确不同用量区间的收费规则，分类讨论时要注意对应自变量的取值范围，避免混淆收费标准。
【难度系数】
0.7
3.[2026郑州期末] 已知某租车公司有A,B两种租车方案:A方案为先支付500元,再按每千米0.5元收费;B方案直接按每千米1元收费.已知小明租车花费了800元,若他使用的是最优租车方案,则他的行驶里程是
800
千米.答案
3. 800 【点拨】设小明的行驶里程是x千米,需要花费y元,A方案:一共需要花费:y=0.5x+500,B方案:一共需要花费:y=x,若选择A方案,0.5x+500=800,解得x=600,若选择B方案,得x=800,由于600＜800,则选择B方案是最优租车方案,行驶里程为800千米.
解析
【分析】
首先明确最优租车方案的判断标准：花费金额相同时，可行驶里程更远的方案更优。解题时先分别建立A、B两种租车方案的费用与行驶里程的函数关系，再将总花费800元分别代入两个函数，算出两种方案对应的行驶里程，对比里程大小即可得到最优方案对应的行驶里程。
【解析】
设小明的行驶里程为$ x $千米，租车总花费为$ y $元。
根据两种方案的收费规则，分别列函数关系式：
A方案：需先支付500元基础费，再按每千米0.5元加收费用，因此$ y=0.5x+500 $；
B方案：无基础费，按每千米1元收费，因此$ y=x $。
已知总花费为800元，分别代入两个关系式计算对应里程：
若选择A方案：$ 0.5x+500=800 $，解得$ x=600 $；
若选择B方案：$ x=800 $。
对比两个里程可知，花费800元时B方案可行驶的里程更远，为最优方案，对应行驶里程为800千米。
【答案】
800
【知识点】
一次函数的实际应用，最优方案选择
【点评】
本题是贴近生活的计费类实际应用题，解题关键是建立不同方案的费用与行驶里程的函数关系，结合已知条件计算对应数值后比较判断，考查了用数学知识解决实际问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先明确最优租车方案的判断标准：花费金额相同时，可行驶里程更远的方案更优。解题时先分别建立A、B两种租车方案的费用与行驶里程的函数关系，再将总花费800元分别代入两个函数，算出两种方案对应的行驶里程，对比里程大小即可得到最优方案对应的行驶里程。
【解析】
设小明的行驶里程为$ x $千米，租车总花费为$ y $元。
根据两种方案的收费规则，分别列函数关系式：
A方案：需先支付500元基础费，再按每千米0.5元加收费用，因此$ y=0.5x+500 $；
B方案：无基础费，按每千米1元收费，因此$ y=x $。
已知总花费为800元，分别代入两个关系式计算对应里程：
若选择A方案：$ 0.5x+500=800 $，解得$ x=600 $；
若选择B方案：$ x=800 $。
对比两个里程可知，花费800元时B方案可行驶的里程更远，为最优方案，对应行驶里程为800千米。
【答案】
800
【知识点】
一次函数的实际应用，最优方案选择
【点评】
本题是贴近生活的计费类实际应用题，解题关键是建立不同方案的费用与行驶里程的函数关系，结合已知条件计算对应数值后比较判断，考查了用数学知识解决实际问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
4. 周末,小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩.已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元.为满足游客需求,该杨梅园现推出两种不同的销售方案:
甲方案:游客进园需购买30元的门票,采摘的杨梅按原价的六折收费；
乙方案:游客进园不需要购买门票,采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费,超过10千克后,超过部分按原价的五折收费.
设采摘量为$ x $千克,按甲方案所需总费用为$ y_1 $元,按乙方案所需总费用为$ y_2 $元.
(1)当采摘量超过10千克时,分别求出$ y_1,y_2 $与$ x $之间的函数关系式.
(2)当采摘多少千克时,两种方案的价格相同?
(3)若采摘量为30千克,选择哪种方案更划算?请说明理由.
甲方案:游客进园需购买30元的门票,采摘的杨梅按原价的六折收费；
乙方案:游客进园不需要购买门票,采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费,超过10千克后,超过部分按原价的五折收费.
设采摘量为$ x $千克,按甲方案所需总费用为$ y_1 $元,按乙方案所需总费用为$ y_2 $元.
(1)当采摘量超过10千克时,分别求出$ y_1,y_2 $与$ x $之间的函数关系式.
(2)当采摘多少千克时,两种方案的价格相同?
(3)若采摘量为30千克,选择哪种方案更划算?请说明理由.
答案
4.【解】(1)当采摘量超过10千克时,根据题意,得$y_1=30+40×0.6x=24x+30$,
$y_2=40×10+40×0.5(x−10)=20x+200$.
(2)令$y_1=y_2$,则24x+30=20x+200,解得x=42.5,即当采摘42.5千克时,两种方案的价格相同.
(3)选择甲方案更划算.理由如下:
当x=30时,$y_1=24×30+30=750$,$y_2=20×30+200=800$.因为750＜800,所以选择甲方案更划算.
$y_2=40×10+40×0.5(x−10)=20x+200$.
(2)令$y_1=y_2$,则24x+30=20x+200,解得x=42.5,即当采摘42.5千克时,两种方案的价格相同.
(3)选择甲方案更划算.理由如下:
当x=30时,$y_1=24×30+30=750$,$y_2=20×30+200=800$.因为750＜800,所以选择甲方案更划算.
解析
【分析】
本题是一次函数相关的计费类应用题，解题思路如下：1. 求解x＞10时的函数关系式：甲方案总费用由固定门票费和打折后的杨梅费用两部分组成，先算出打折后杨梅的单价，再结合“总费用=门票费+杨梅费用”即可列$y_1$的关系式；乙方案属于分段计费，10千克以内按原价，超过10千克的部分按五折，分别计算两部分费用求和即可列$y_2$的关系式。2. 求两种方案价格相同的采摘量：价格相同即$y_1=y_2$，将第一问得到的两个函数关系式联立为一元一次方程，求解即可得到对应x的值。3. 比较采摘30千克时的方案划算程度：将x=30分别代入两个函数关系式，计算出对应的费用，费用更低的方案更划算。
【解析】
(1) 当采摘量超过10千克即$x＞10$时：
甲方案总费用为门票费加六折杨梅费用，因此：
$y_1=30+40×0.6x=24x+30$
乙方案总费用为10千克原价杨梅的费用加超出部分五折的杨梅费用，因此：
$y_2=40×10+40×0.5(x−10)=400+20(x-10)=20x+200$
(2) 两种方案价格相同时$y_1=y_2$，代入函数式得：
$24x+30=20x+200$
移项合并同类项得$4x=170$，解得$x=42.5$
(3) 将$x=30$分别代入两个函数式计算：
$y_1=24×30+30=750$（元）
$y_2=20×30+200=800$（元）
因为$750＜800$，所以甲方案费用更低。
【答案】
(1) $y_1=24x+30$，$y_2=20x+200$（$x＞10$）
(2) 当采摘42.5千克时，两种方案的价格相同
(3) 选择甲方案更划算，理由见解析
【知识点】
一次函数实际应用，一元一次方程求解，最优方案选择
【点评】
本题结合生活实际场景出题，核心考查计费类问题的函数关系式建立，解题时需注意分段计费的区间划分，再通过方程求解、代入求值即可完成解答，注重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数相关的计费类应用题，解题思路如下：1. 求解x＞10时的函数关系式：甲方案总费用由固定门票费和打折后的杨梅费用两部分组成，先算出打折后杨梅的单价，再结合“总费用=门票费+杨梅费用”即可列$y_1$的关系式；乙方案属于分段计费，10千克以内按原价，超过10千克的部分按五折，分别计算两部分费用求和即可列$y_2$的关系式。2. 求两种方案价格相同的采摘量：价格相同即$y_1=y_2$，将第一问得到的两个函数关系式联立为一元一次方程，求解即可得到对应x的值。3. 比较采摘30千克时的方案划算程度：将x=30分别代入两个函数关系式，计算出对应的费用，费用更低的方案更划算。
【解析】
(1) 当采摘量超过10千克即$x＞10$时：
甲方案总费用为门票费加六折杨梅费用，因此：
$y_1=30+40×0.6x=24x+30$
乙方案总费用为10千克原价杨梅的费用加超出部分五折的杨梅费用，因此：
$y_2=40×10+40×0.5(x−10)=400+20(x-10)=20x+200$
(2) 两种方案价格相同时$y_1=y_2$，代入函数式得：
$24x+30=20x+200$
移项合并同类项得$4x=170$，解得$x=42.5$
(3) 将$x=30$分别代入两个函数式计算：
$y_1=24×30+30=750$（元）
$y_2=20×30+200=800$（元）
因为$750＜800$，所以甲方案费用更低。
【答案】
(1) $y_1=24x+30$，$y_2=20x+200$（$x＞10$）
(2) 当采摘42.5千克时，两种方案的价格相同
(3) 选择甲方案更划算，理由见解析
【知识点】
一次函数实际应用，一元一次方程求解，最优方案选择
【点评】
本题结合生活实际场景出题，核心考查计费类问题的函数关系式建立，解题时需注意分段计费的区间划分，再通过方程求解、代入求值即可完成解答，注重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
