10. [2026郑州金水区期中] 灯彩(洛阳宫灯)是国家级非物质文化遗产之一.古朴典雅,款式多样,彩绘蕴蓄,是生活的真实写照,给人以美的享受.李老师计划购进一批灯彩,已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元.两商店售卖方式如下表.设李老师购买灯彩的个数为$x$(单位:个),甲商店所需费用为$y_1$元,且$y_1=7x+100$;乙商店所需费用为$y_2$元.

(1)甲商店一张会员卡的价格为元；
(2)求$y_2$的函数表达式；
(3)若李老师准备买40个灯彩,则选哪个商店比较合算?请说明理由.

10. 【解】(1)100
(2)依照乙商店的售卖方式可得 $y_2=10×0.9x=9x$。
(3)选乙商店比较合算.理由如下：
当 $x=40$ 时,$y_1=7x+100=7×40+100=380$；
$y_2=9x=9×40=360$。
因为 380＞360,所以选乙商店比较合算。

【分析】
（1）已知甲商店灯彩标价每个10元，七折后单个售价为$10×0.7=7$元，甲商店费用函数$y_1=7x+100$中，7x是x个灯彩的售卖费用，常数项100就是固定的会员卡费用，可直接得到会员卡价格。
（2）乙商店不办会员卡，每个灯彩按标价九折售卖，先算出单个灯彩实际售价为$10×0.9=9$元，总费用等于单个售价乘购买数量x，即可得出$y_2$的函数表达式。
（3）要判断购买40个灯彩选哪个商店更合算，只需把$x=40$分别代入两个费用函数，计算出两个商店的总费用，比较大小后，费用更低的商店更合算。
【解析】
(1) 甲商店单个灯彩七折后售价为7元，费用表达式$y_1=7x+100$中100为固定的会员卡费用，因此会员卡价格为100元。
(2) 乙商店单个灯彩九折后售价为$10×0.9=9$元，总费用等于单价乘购买数量，因此$y_2=9x$。
(3) 当$x=40$时：
甲商店费用：$y_1=7×40+100=280+100=380$（元）
乙商店费用：$y_2=9×40=360$（元）
因为$380＞360$，即乙商店所需费用更低，所以选乙商店比较合算。
【答案】
(1) $\boxed{100}$
(2) $\boxed{y_2=9x}$
(3) $\boxed{选乙商店比较合算}$
【知识点】
一次函数实际应用，函数解析式求解，最优方案选择
【点评】
本题结合非遗文化背景考查一次函数在消费场景中的应用，解题核心是准确理解商家的收费规则，正确列出费用对应的函数表达式，代入数值比较大小即可得出结论，贴近生活实际，侧重考查基础应用能力。
【难度系数】
0.8

11. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=∠ C$,BD平分$∠ ABC$交AC于点D.设$∠ A=x$,$∠ CBD=y$.
(1)求y与x之间的函数表达式.
(2)(1)中的函数是一次函数吗?若是,请指出k,b的值,并写出x的取值范围.

11. 【解】(1)因为$∠ABC=∠C$,所以$∠ABC=\frac{1}{2}(180°-∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A=90°-\frac{1}{2}x$。
因为 BD 平分$∠ABC$,
所以$∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}(90°-\frac{1}{2}x)=45°-\frac{1}{4}x$.所以 $y=-\frac{1}{4}x+45°$。
(2)$y=-\frac{1}{4}x+45°$是一次函数,其中 $k=-\frac{1}{4},b=45°$。
$x$ 的取值范围为 $0°＜x＜180°$。

【分析】
解决第(1)问时，首先利用三角形内角和为180°，结合等腰三角形两底角相等的性质，用含x的式子表示出∠ABC的度数；再根据角平分线的定义，∠CBD等于∠ABC的一半，即可推出y与x的函数表达式。解决第(2)问时，先对照一次函数的一般形式判断所得函数是否为一次函数，再对应找出k、b的值，最后结合三角形内角的取值特点，确定x的取值范围。
【解析】
(1) 在△ABC中，三角形内角和为180°，已知∠ABC=∠C，因此：
$∠ABC=\frac{1}{2}(180°-∠A)=\frac{1}{2}(180°-x)=90°-\frac{1}{2}x$
因为BD平分∠ABC，所以∠CBD是∠ABC的一半，即：
$∠CBD=y=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}(90°-\frac{1}{2}x)=45°-\frac{1}{4}x$
整理得$y=-\frac{1}{4}x+45°$。
(2) 一次函数的一般形式为$y=kx+b$（k、b为常数，$k≠0$），对比$y=-\frac{1}{4}x+45°$，符合一次函数的形式，因此该函数是一次函数，其中$k=-\frac{1}{4}$，$b=45°$。
由于∠A是三角形的内角，因此$0°＜∠A＜180°$，即x的取值范围为$0°＜x＜180°$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{4}x+45°$
(2) 是一次函数，$k=-\frac{1}{4}$，$b=45°$，x的取值范围是$0°＜x＜180°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；一次函数的定义
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，解题关键是先利用三角形、角平分线的性质推导变量间的等量关系，再结合一次函数的定义判断，同时注意自变量的取值要符合几何实际意义。
【难度系数】
0.8

12. 如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题.

(1)摆成图①需要枚棋子，摆成图②需要枚棋子.
(2)设摆成图ⓝ需要的棋子数为m，请用含n的代数式表示m，并判断m关于n的函数关系是不是一次函数.
(3)计算一下摆第50个图形需要多少枚棋子.
(4)八(1)班有46名学生，把每名学生当成一枚“棋子”，能否让这46枚“棋子”按照以上规律恰好站成一“上”字？若能，请问能站成图几？并计算最下面一“横”的学生数.

12. 【解】(1)6;10
(2)$m=4n+2$,m 关于 n 的函数关系是一次函数。
(3)因为 $4×50+2=202$(枚),
所以摆第 50 个图形需要 202 枚棋子。
(4)能.$4n+2=46$,解得 $n=11$。
根据题图①最下面的一“横”需要 3 枚棋子,题图②最下面的一“横”需要 5 枚棋子,题图③最下面的一“横”需要 7 枚棋子,题图④最下面的一“横”需要 9 枚棋子,可以推出图ⓝ最下面的一“横”需要$(2n+1)$枚棋子,所以图⑪最下面的一“横”需要 $2×11+1=23$(枚)棋子。
所以能站成图⑪,最下面一“横”有 23 名学生。

【分析】
解题时从简单图形逐步推导：(1)直接计数图①、图②的棋子总数即可得到答案；(2)对比相邻图形的棋子数，发现后一个图形比前一个多4枚棋子，结合第一个图形的棋子数推导通用代数式，再根据一次函数的定义判断函数类型；(3)将n=50代入第(2)问得到的代数式计算即可；(4)令棋子数等于46，解方程判断n是否为正整数，若为正整数则可以摆出对应图形，再单独归纳最下面一横的棋子数规律，代入n的值计算对应数量即可。
【解析】
(1) 逐个数图①的棋子，得共6枚；数图②的棋子，得共10枚。
(2) 观察图形规律：图①棋子数$6=4×1+2$，图②棋子数$10=4×2+2$，图③棋子数$14=4×3+2$，以此类推，第$n$个图形的棋子数$m=4n+2$。根据一次函数定义：形如$y=kx+b$（$k、b$为常数，$k≠0$）的函数为一次函数，此处$k=4≠0$，$b=2$，因此$m$关于$n$的函数关系是一次函数。
(3) 把$n=50$代入$m=4n+2$，得$m=4×50+2=202$（枚）。
(4) 令$m=46$，列方程$4n+2=46$，解得$n=11$，$n$是正整数，因此可以站成符合规律的“上”字。再观察最下面一横的棋子数规律：图①最下横3枚$=2×1+1$，图②最下横5枚$=2×2+1$，图③最下横7枚$=2×3+1$，因此第$n$个图形最下横棋子数为$2n+1$，当$n=11$时，$2×11+1=23$（枚）。
【答案】
(1) $\boxed{6}$；$\boxed{10}$
(2) $\boxed{m=4n+2}$，是一次函数
(3) $\boxed{202}$枚
(4) 能，站成图⑪，最下面一“横”有$\boxed{23}$名学生
【知识点】
图形规律探究，一次函数定义，一元一次方程应用
【点评】
本题结合图形变化考查规律归纳、代数运算和函数相关知识，需要从特殊图形特征总结通用规律，再用规律解决实际问题，能够锻炼归纳推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7