7. 已知二次函数 $ y = ax^{2} $ 的图象与直线 $ y = x + 2 $ 交于点 $ (2,m) $。
(1) 写出 $ y = ax^{2} $ 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而变化的情况；
(2) 如图,直线 $ y = x + 2 $ 与抛物线 $ y = ax^{2} $ 的交点分别为 $ A $,$ B $,试确定 $ A $,$ B $ 两点的坐标；
(3) 如图,连接 $ OA $,$ OB $,求 $ \triangle AOB $ 的面积。

(1)
因为点$(2,m)$在直线$y = x + 2$上，把$x = 2$代入$y = x + 2$得$y=m = 4$。
又因为点$(2,4)$在二次函数$y = ax^{2}$的图象上，所以$4=a×2^{2}$，解得$a = 1$，则二次函数为$y = x^{2}$。
开口方向：向上；
对称轴：$y$轴（或直线$x = 0$）；
顶点坐标：$(0,0)$；
当$x\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大。
(2)
联立$\begin{cases}y = x^{2}\\y = x + 2\end{cases}$，则$x^{2}=x + 2$，即$x^{2}-x - 2 = 0$，
因式分解得$(x - 2)(x+1)=0$，
解得$x_1 = 2$，$x_2=-1$。
当$x = 2$时，$y = 4$；当$x=-1$时，$y = 1$。
所以$A(2,4)$，$B(-1,1)$。
(3)
设直线$y = x + 2$与$y$轴交点为$C$，令$x = 0$，则$y = 2$，所以$C(0,2)$。
$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}$
$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}×2×2 = 2$，$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×2×1 = 1$。
所以$S_{\triangle AOB}=2 + 1=3$。
综上，答案依次为：(1)开口向上，对称轴为$y$轴（或直线$x = 0$），顶点坐标为$(0,0)$，当$x\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大；(2)$A(2,4)$，$B(-1,1)$；(3)$3$。

8. 如图,点 $ A(3,2) $ 是抛物线 $ y = ax^{2} $ 上一点,$ P\left(m,\frac{11}{9}m^{2} - 2m\right) $ 是平面内一点,过点 $ P $ 作 $ PQ // y $ 轴,交抛物线 $ y = ax^{2} $ 于点 $ Q $。当 $ 0 ＜ m \leq 2 $ 时,解答下列问题：
(1) $ a = $；
(2) 当点 $ P $ 在抛物线 $ y = ax^{2} $ 上时,求 $ m $ 的值；

(3) 连接 $ PQ $,当 $ PQ $ 被 $ x $ 轴分成的两线段之比为 $ 1:2 $ 时,直接写出 $ m $ 的值。

(1) $ \frac{2}{9} $；(2) $ 2 $；(3) $ \frac{6}{5} $ 或 $ \frac{3}{2} $。

(1) 将点 $ A(3,2) $ 代入 $ y = ax^2 $，得 $ 2 = a \cdot 3^2 $，即 $ 9a = 2 $，解得 $ a = \frac{2}{9} $。
(2) 抛物线方程为 $ y = \frac{2}{9}x^2 $。点 $ P(m, \frac{11}{9}m^2 - 2m) $ 在抛物线上，则 $ \frac{11}{9}m^2 - 2m = \frac{2}{9}m^2 $。化简得 $ m^2 - 2m = 0 $，解得 $ m = 0 $ 或 $ m = 2 $。因 $ 0 ＜ m \leq 2 $，故 $ m = 2 $。
(3) 点 $ Q $ 坐标为 $ (m, \frac{2}{9}m^2) $，$ PQ $ 被 $ x $ 轴分两段比为 $ 1:2 $，分两种情况：
当 $ PM:MQ = 1:2 $ 时，$ 0 - (\frac{11}{9}m^2 - 2m) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{9}m^2 $，解得 $ m = \frac{3}{2} $；
当 $ PM:MQ = 2:1 $ 时，$ 0 - (\frac{11}{9}m^2 - 2m) = 2 \cdot \frac{2}{9}m^2 $，解得 $ m = \frac{6}{5} $。
综上，$ m = \frac{6}{5} $ 或 $ \frac{3}{2} $。

二次函数 $ y = ax^2 + k(a \neq 0) $ 的图象是一条,顶点坐标是,对称轴是,二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的图象与 $ y = ax^2 $ 的图象形状,开口方向也,只是位置。因此二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的图象可以看作是 $ y = ax^2 $ 的图象经过上下平移而得。当 $ k ＞ 0 $ 时,$ y = ax^2 $ 的图象向平移个单位长度就可得二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的图象；当 $ k ＜ 0 $ 时,$ y = ax^2 $ 的图象向平移个单位长度就可得二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的图象。

1. 首先，根据二次函数的性质：
二次函数$y = ax^{2}+k(a\neq0)$的图象是一条抛物线。
对于二次函数$y = ax^{2}+k$，其顶点式为$y=a(x - 0)^{2}+k$，根据顶点式$y=a(x - h)^{2}+k$（$a\neq0$，顶点坐标为$(h,k)$），所以顶点坐标是$(0,k)$。
对称轴是直线$x = 0$（即$y$轴）。
二次函数$y = ax^{2}+k$与$y = ax^{2}$，因为二次项系数$a$相同，根据二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$中，$a$决定抛物线的开口方向和大小（$\vert a\vert$决定开口大小，$a$的正负决定开口方向），所以它们的图象形状相同，开口方向也相同，只是位置不同（$y = ax^{2}+k$是$y = ax^{2}$上下平移得到的）。
2. 然后，根据函数图象平移规律“上加下减”（对于$y = f(x)$，$y=f(x)+m$，$m\gt0$时图象向上平移$m$个单位，$m\lt0$时图象向下平移$\vert m\vert$个单位）：
当$k\gt0$时，$y = ax^{2}$的图象向上平移$k$个单位长度就可得二次函数$y = ax^{2}+k$的图象。
当$k\lt0$时，$y = ax^{2}$的图象向下平移$\vert k\vert=-k$个单位长度就可得二次函数$y = ax^{2}+k$的图象。
故答案依次为：抛物线；$(0,k)$；$y$轴；相同；相同；不同；上；$k$；下；$\vert k\vert$。