1. (2023 定远期末)抛物线 $ y = x^{2} $ 的对称轴是()
A.直线 $ x = -1 $
B.直线 $ x = 1 $
C.$ x $ 轴
D.$ y $ 轴

D

对于抛物线 $y = x^{2}$，它是一个标准的二次函数形式，且系数$a=1$（$a\neq0$），没有一次项和常数项。
对于形如$y = ax^{2}$（$a\neq0$）的抛物线，其对称轴总是$y$轴，即直线$x=0$，本题中抛物线$y = x^{2}$满足这一形式。

2. (2023 莫旗期末)对于抛物线 $ y = -3x^{2} $,下列说法不正确的是()
A.图象的开口向下
B.$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.顶点坐标为 $ (0,0) $
D.对称轴为 $ y $ 轴

B

对于抛物线 $ y = -3x^{2} $：
A. 由于系数 $ a = -3 ＜ 0 $，所以图象的开口向下，正确。
B. 对于 $ y = -3x^{2} $，当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大（因为函数在此区间是增函数，但由于开口向下，所以随着x增大，y值趋近于0但为正，即“增大”指的是y值在数轴上的上升，但此处描述为“$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小”是不准确的）；
当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小（因为函数在此区间是减函数）。所以B选项的描述是不完整的，因此是错误的。
C. 顶点坐标为 $ (0,0) $，正确，因为对于形如 $ y = ax^{2} $ 的抛物线，其顶点总是原点。
D. 对称轴为 $ y $ 轴，正确，因为对于形如 $ y = ax^{2} $ 的抛物线，其对称轴总是y轴。

3. 二次函数 $ y = 4x^{2} $ 的图象是,它的开口向,且关于对称。对称轴与抛物线的交点是抛物线的,它是图象的最点。当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而；当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而。

抛物线，上，$y$轴，顶点，低，减小，增大。

根据二次函数的定义，形如$y=ax^ {2}$（$a\neq0$）的函数叫做二次函数，二次函数$y = 4x^{2}$，其中$a = 4\gt0$，根据二次函数的图象性质，二次函数$y=ax^{2}$的图象是一条抛物线。
当$a\gt0$时，抛物线开口向上；其图象关于$y$轴（即直线$x = 0$）对称；对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，对于二次函数$y = 4x^{2}$，顶点坐标为$(0,0)$，因为抛物线开口向上，所以顶点是图象的最低点；当$x\lt0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大。

4. 如图,$ A $,$ B $ 为抛物线 $ y = x^{2} $ 上两点,且线段 $ AB \perp y $ 轴。若 $ AB = 6 $,则点 $ A $ 的坐标为。

设点$A$的坐标为$(-m, n)$，因为$AB \perp y$轴，且抛物线$y = x^{2}$关于$y$轴对称，所以点$B$的坐标为$(m, n)$。
由于$AB = 6$，根据两点间距离公式（横坐标之差的绝对值，因为纵坐标相同），有$\vert m - (-m)\vert = 6$，即$2m = 6$，解得$m = 3$。
又因为点$A$在抛物线$y = x^{2}$上，把$x = -3$代入$y = x^{2}$，可得$y = (-3)^{2}=9$。
所以点$A$的坐标为$(-3,9)$。
当点$A$在$y$轴右侧时，同理可得坐标为$(3,9)$。
故点$A$的坐标为$(-3,9)$或$(3,9)$。

5. 如图为二次函数 $ y = -x^{2} $ 的图象,请在同一坐标系中画出函数 $ y = -2x^{2} $,$ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的图象。
(1) 列表。

| $x$ | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| $y=-2x^{2}$ | … | -8 | -2 | 0 | -2 | -8 | … |
| $y=-\frac{1}{2}x^{2}$ | … | -2 | -0.5 | 0 | -0.5 | -2 | … |
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|
(2) 描点,并连线。
(3) 请回答下列问题。
① 二次函数 $ y = -2x^{2} $ 和 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的图象的形状是,开口向,对称轴是,顶点坐标是。在对称轴的左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而；在对称轴的右侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而；当 $ x = $时,$ y $ 有最值为。
② 如果 $ a ＜ 0 $,$ a $ 越小,即 $ |a| $ 越大,抛物线 $ y = ax^{2} $ 的开口越(“大”或“小”)。

(1)
| $x$ | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| $y=-2x^{2}$ | … | -8 | -2 | 0 | -2 | -8 | … |
| $y=-\frac{1}{2}x^{2}$ | … | -2 | -0.5 | 0 | -0.5 | -2 | … |
(2) （此处需根据列表数据在坐标系中描点连线，因无法直接画图，故省略画图步骤）
(3)①抛物线；下；y轴；(0,0)；增大；减小；0；大；0
②小

6. (2023 保康期中)如图,一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与二次函数 $ y = ax^{2} $ 的图象交于点 $ A(1,m) $ 和 $ B(-2,4) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $。
(1) 求两个函数的解析式；
(2) 求 $ \triangle AOB $ 的面积。

(1) 二次函数 $ y = x^2 $，一次函数 $ y = -x + 2 $；(2) $ 3 $。

(1) 对于二次函数 $ y = ax^2 $，因其过点 $ B(-2,4) $，代入得 $ 4 = a(-2)^2 $，即 $ 4a = 4 $，解得 $ a = 1 $，故二次函数解析式为 $ y = x^2 $。
点 $ A(1,m) $ 在 $ y = x^2 $ 上，代入得 $ m = 1^2 = 1 $，则 $ A(1,1) $。
一次函数 $ y = kx + b $ 过 $ A(1,1) $ 和 $ B(-2,4) $，代入得：
$\begin{cases} k + b = 1 \\ -2k + b = 4 \end{cases}$
解得 $ k = -1 $，$ b = 2 $，故一次函数解析式为 $ y = -x + 2 $。
(2) 一次函数 $ y = -x + 2 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ C(0,2) $。
$ S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC} $，其中 $ OC = 2 $。
$ S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} × OC × |x_A| = \frac{1}{2} × 2 × 1 = 1 $，
$ S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} × OC × |x_B| = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2 $，
故 $ S_{\triangle AOB} = 1 + 2 = 3 $。