登录
1. 如图 1-4-1,在一块长方形水泥地 $ABCD$ 上,放着一个特制的长方体集装箱。已知 $AD = 6m$,$AB = 4m$,该集装箱的横截面是边长为 $2m$ 的正方形,较长边与 $AD$ 平行,一只蚂蚁从点 $A$ 爬过集装箱到达点 $C$ 处,爬行的最短距离是
10
$m$。答案
10
解析
将集装箱侧面展开，使点A、C在同一平面内。此时，水平方向距离为$AB + 2×2 = 4 + 4 = 8m$（集装箱横截面边长为2m，两侧各展开2m），垂直方向距离为$AD = 6m$。根据勾股定理，最短距离为$\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10m$。
10
10
2. 【问题再现】
(1) 如图 1-4-2①,有一个圆柱,它的高为 $12cm$,底面圆的周长为 $18cm$。在圆柱下底面的点 $A$ 处有一只蚂蚁,它想吃到上底面与点 $A$ 相对的点 $B$ 处的食物,求蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【方法应用】
(2) 如图 1-4-2②,长方体的上、下底面都是正方形,底面边长为 $3m$,高为 $10m$。在其侧面从点 $A$ 开始,绕侧面两周,嵌入装饰彩条至点 $B$ 停止。求彩条的最短长度。
(1) 如图 1-4-2①,有一个圆柱,它的高为 $12cm$,底面圆的周长为 $18cm$。在圆柱下底面的点 $A$ 处有一只蚂蚁,它想吃到上底面与点 $A$ 相对的点 $B$ 处的食物,求蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【方法应用】
(2) 如图 1-4-2②,长方体的上、下底面都是正方形,底面边长为 $3m$,高为 $10m$。在其侧面从点 $A$ 开始,绕侧面两周,嵌入装饰彩条至点 $B$ 停止。求彩条的最短长度。
答案
解:
(1)如答图1−4−1①,蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是圆柱侧面展开图中线段AB的长度。由题意得AC=9cm,BC=12cm。在Rt△ABC中，由勾股定理得AB²=AC²+BC²=12²+9²=225,所以AB=15cm。所以蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm。
(2)如答图1−4−1②，彩条的最短长度是长方体侧面展开图中线段AB的长度。AC=3×8=24(m),BC=10m,由勾股定理得AB²=AC²+BC²=676,所以AB=26m。所以彩条的最短长度是26m。
1. 如图 1-4-3,有一个圆柱形无盖玻璃容器,其高为 $18cm$,底面周长为 $60cm$,在外侧距下底面 $1cm$ 的点 $C$ 处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器外侧距上底面 $1cm$ 的点 $F$ 处有一苍蝇。求蜘蛛捕获苍蝇的最短路线的长度。
答案
解:展开侧面的一半，如答图1−4−2所示，线段CF为蜘蛛捕获苍蝇的最短路线。
过C作CE⊥AB于E。在Rt△CEF中,∠CEF = 90°,EF=18−1−1=16(cm),CE=$\frac{1}{2}$×60 = 30(cm)。由勾股定理得CF²=CE²+EF²,所以CF = 34cm。所以蜘蛛捕获苍蝇的最短路线的长度是34cm。