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例1 计算：
$ [ \frac { 2 } { 3 x ^ { 2 } } - \frac { 2 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ( \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 3 x ^ { 2 } } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) ] ÷ \frac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { x }. $
【解析】用乘法的分配律进行计算。
解：原式$ = [ \frac { 2 } { 3 x ^ { 2 } } - \frac { 2 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \cdot \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 3 x ^ { 2 } } + \frac { 2 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \cdot ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ] \cdot \frac { x } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } $
(去小括号,除法变乘法$) = ( \frac { 2 } { 3 x ^ { 2 } } - \frac { 2 } { 3 x ^ { 2 } } + 2 ) \cdot \frac { x } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } = \frac { 2 x } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }. $
$ [ \frac { 2 } { 3 x ^ { 2 } } - \frac { 2 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ( \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 3 x ^ { 2 } } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) ] ÷ \frac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { x }. $
【解析】用乘法的分配律进行计算。
解：原式$ = [ \frac { 2 } { 3 x ^ { 2 } } - \frac { 2 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \cdot \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 3 x ^ { 2 } } + \frac { 2 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \cdot ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ] \cdot \frac { x } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } $
(去小括号,除法变乘法$) = ( \frac { 2 } { 3 x ^ { 2 } } - \frac { 2 } { 3 x ^ { 2 } } + 2 ) \cdot \frac { x } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } = \frac { 2 x } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }. $答案
解：原式$=\left[\frac{2}{3x^2}-\frac{2}{x^2+y^2}\cdot\frac{x^2+y^2}{3x^2}+\frac{2}{x^2+y^2}\cdot(x^2+y^2)\right]\cdot\frac{x}{x^2-y^2}$
$=\left(\frac{2}{3x^2}-\frac{2}{3x^2}+2\right)\cdot\frac{x}{x^2-y^2}$
$=2\cdot\frac{x}{x^2-y^2}$
$=\frac{2x}{x^2-y^2}$
$=\left(\frac{2}{3x^2}-\frac{2}{3x^2}+2\right)\cdot\frac{x}{x^2-y^2}$
$=2\cdot\frac{x}{x^2-y^2}$
$=\frac{2x}{x^2-y^2}$
例2 计算：
$ \frac { x ^ { 2 } - 3 x + 3 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } + \frac { x ^ { 2 } - 5 x + 7 } { x ^ { 2 } - 5 x + 6 } - \frac { x ^ { 2 } - 4 x + 5 } { x ^ { 2 } - 4 x + 3 }. $
【解析】把每一个分式写成一个整数加一个分式的和的形式,再进行运算。
解：原式$ = \frac { ( x ^ { 2 } - 3 x + 2 ) + 1 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } + \frac { ( x ^ { 2 } - 5 x + 6 ) + 1 } { x ^ { 2 } - 5 x + 6 } - \frac { ( x ^ { 2 } - 4 x + 3 ) + 2 } { x ^ { 2 } - 4 x + 3 } = 1 + \frac { 1 } { ( x - 1 ) ( x - 2 ) } + 1 + \frac { 1 } { ( x - 2 ) ( x - 3 ) } - 1 - \frac { 2 } { ( x - 1 ) ( x - 3 ) } ($分离整数$) = 1 + \frac { 1 } { ( x - 1 ) ( x - 2 ) } + \frac { 1 } { ( x - 2 ) ( x - 3 ) } - \frac { 2 } { ( x - 1 ) ( x - 3 ) } = 1 + ( \frac { 1 } { x - 2 } - \frac { 1 } { x - 1 } ) + ( \frac { 1 } { x - 3 } - \frac { 1 } { x - 2 } ) - ( \frac { 1 } { x - 3 } - \frac { 1 } { x - 1 } ) ($巧用$ \frac { 1 } { a ( a + 1 ) } = \frac { 1 } { a } - \frac { 1 } { a + 1 } ) = 1. $
$ \frac { x ^ { 2 } - 3 x + 3 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } + \frac { x ^ { 2 } - 5 x + 7 } { x ^ { 2 } - 5 x + 6 } - \frac { x ^ { 2 } - 4 x + 5 } { x ^ { 2 } - 4 x + 3 }. $
【解析】把每一个分式写成一个整数加一个分式的和的形式,再进行运算。
解：原式$ = \frac { ( x ^ { 2 } - 3 x + 2 ) + 1 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } + \frac { ( x ^ { 2 } - 5 x + 6 ) + 1 } { x ^ { 2 } - 5 x + 6 } - \frac { ( x ^ { 2 } - 4 x + 3 ) + 2 } { x ^ { 2 } - 4 x + 3 } = 1 + \frac { 1 } { ( x - 1 ) ( x - 2 ) } + 1 + \frac { 1 } { ( x - 2 ) ( x - 3 ) } - 1 - \frac { 2 } { ( x - 1 ) ( x - 3 ) } ($分离整数$) = 1 + \frac { 1 } { ( x - 1 ) ( x - 2 ) } + \frac { 1 } { ( x - 2 ) ( x - 3 ) } - \frac { 2 } { ( x - 1 ) ( x - 3 ) } = 1 + ( \frac { 1 } { x - 2 } - \frac { 1 } { x - 1 } ) + ( \frac { 1 } { x - 3 } - \frac { 1 } { x - 2 } ) - ( \frac { 1 } { x - 3 } - \frac { 1 } { x - 1 } ) ($巧用$ \frac { 1 } { a ( a + 1 ) } = \frac { 1 } { a } - \frac { 1 } { a + 1 } ) = 1. $
答案
$1$
解析
解：原式$=\frac{(x^2-3x+2)+1}{x^2-3x+2}+\frac{(x^2-5x+6)+1}{x^2-5x+6}-\frac{(x^2-4x+3)+2}{x^2-4x+3}$
$=1+\frac{1}{(x-1)(x-2)}+1+\frac{1}{(x-2)(x-3)}-1-\frac{2}{(x-1)(x-3)}$
$=1+\frac{1}{(x-1)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)(x-3)}-\frac{2}{(x-1)(x-3)}$
$=1+\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\right)+\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}\right)-\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1}\right)$
$=1+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-1}$
$=1$
$=1+\frac{1}{(x-1)(x-2)}+1+\frac{1}{(x-2)(x-3)}-1-\frac{2}{(x-1)(x-3)}$
$=1+\frac{1}{(x-1)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)(x-3)}-\frac{2}{(x-1)(x-3)}$
$=1+\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\right)+\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}\right)-\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1}\right)$
$=1+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-1}$
$=1$
