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1. 计算：$$ ( \frac { 1 } { a + 1 } - 1 ) ÷ a = $$
$-\frac{1}{a + 1}$
.答案
$-\frac{1}{a + 1}$（或 等价的表达式）
解析
原式$= \left( \frac{1}{a + 1} - 1 \right) ÷ a$，
首先对括号内的分式进行通分，$\frac{1}{a + 1} - \frac{a+1}{a + 1} = \frac{1 - (a + 1)}{a + 1} = \frac{-a}{a + 1}$，
接着，将除法转化为乘法，即$\frac{-a}{a + 1} × \frac{1}{a}$，
进行乘法运算，得$\frac{-a}{a(a + 1)}$，
最后对结果进行化简，得$-\frac{1}{a + 1}$。
首先对括号内的分式进行通分，$\frac{1}{a + 1} - \frac{a+1}{a + 1} = \frac{1 - (a + 1)}{a + 1} = \frac{-a}{a + 1}$，
接着，将除法转化为乘法，即$\frac{-a}{a + 1} × \frac{1}{a}$，
进行乘法运算，得$\frac{-a}{a(a + 1)}$，
最后对结果进行化简，得$-\frac{1}{a + 1}$。
2. 计算：$$ \frac { 4 - a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + 4 a + 4 } ÷ \frac { a - 2 } { 2 a + 4 } = $$
$-2$
.答案
$-2$
解析
原式可化简为：$\frac{(2-a)(2+a)}{(a+2)^2} ÷ \frac{a-2}{2(a+2)}$，
将除法转化为乘法，得到：$\frac{(2-a)(2+a)}{(a+2)^2} × \frac{2(a+2)}{a-2}$，
进行约分和化简：
$=\frac{(2-a)(2+a)}{(a+2)^2} × \frac{2(a+2)}{-(2-a)}$
$=-\frac{2(2+a)}{(a+2)}$
$=-2$
将除法转化为乘法，得到：$\frac{(2-a)(2+a)}{(a+2)^2} × \frac{2(a+2)}{a-2}$，
进行约分和化简：
$=\frac{(2-a)(2+a)}{(a+2)^2} × \frac{2(a+2)}{-(2-a)}$
$=-\frac{2(2+a)}{(a+2)}$
$=-2$
3. 计算：$$ ( - \frac { a } { b } ) ^ { 2 } ÷ ( - a b ^ { 4 } ) \cdot ( \frac { b ^ { 2 } } { a } ) ^ { 3 } = $$
$-\frac{1}{a^2}$
.答案
$-\frac{1}{a^2}$
解析
先计算乘方：$(-\frac{a}{b})^2=\frac{a^2}{b^2}$，$(\frac{b^2}{a})^3=\frac{b^6}{a^3}$；将除法转化为乘法：原式$=\frac{a^2}{b^2} × \frac{1}{-ab^4} × \frac{b^6}{a^3}$；分子相乘：$a^2 × 1 × b^6 = a^2b^6$，分母相乘：$b^2 × (-ab^4) × a^3 = -a^4b^6$；约分：$\frac{a^2b^6}{-a^4b^6}=-\frac{1}{a^2}$。
4. 实验表明,人体内有一种细胞近似球体,其直径为0.00000156m,这个数用科学记数法表示为
$1.56×10^{-6}$
m.答案
$1.56×10^{-6}$
解析
科学记数法的表示形式为$a×10^{n}$，其中$1\leq\vert a\vert＜10$，$n$为整数。确定$n$的值时，要看把原数变成$a$时，小数点移动了多少位，$n$的值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值$\gt1$时，$n$是正数；当原数绝对值$\lt1$时，$n$是负数。
对于$0.00000156$，要使$a$满足$1\leq\vert a\vert＜10$，则$a = 1.56$，原数变成$1.56$时，小数点向右移动了$6$位，所以$n=-6$，用科学记数法表示为$1.56×10^{-6}$。
对于$0.00000156$，要使$a$满足$1\leq\vert a\vert＜10$，则$a = 1.56$，原数变成$1.56$时，小数点向右移动了$6$位，所以$n=-6$，用科学记数法表示为$1.56×10^{-6}$。
5. (1) 若$$ a ＞ b ＞ 0 $$,$$ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 6 a b = 0 $$,则$$ ( \frac { a + b } { a - b } ) ^ { 2 } $$的值为
(2) 若$$ \frac { 1 } { a } - \frac { 1 } { b } = 2 $$,则$$ \frac { 2 a - 13 a b - 2 b } { a - 2 a b - b } = $$
2
.(2) 若$$ \frac { 1 } { a } - \frac { 1 } { b } = 2 $$,则$$ \frac { 2 a - 13 a b - 2 b } { a - 2 a b - b } = $$
$\frac{17}{4}$
.答案
(1)2；(2)$\frac{17}{4}$（题目要求是填空，按照要求书写答案形式）故答案依次为：$2$；$\frac{17}{4}$。
解析
(1)
由$a^{2}+b^{2}-6ab = 0$，等式两边同时加上$2ab$可得$a^{2}+2ab + b^{2}-8ab=0$，根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，这里$m = a$，$n = b$，则$(a + b)^{2}=8ab$；
等式两边同时减去$2ab$可得$a^{2}-2ab + b^{2}-4ab=0$，根据完全平方公式$(m - n)^2=m^2-2mn+n^2$，则$(a - b)^{2}=4ab$。
所以$(\frac{a + b}{a - b})^{2}=\frac{(a + b)^{2}}{(a - b)^{2}}=\frac{8ab}{4ab}=2$。
(2)
由$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=2$，通分可得$\frac{b - a}{ab}=2$，则$b - a = 2ab$，即$a - b=-2ab$。
对$\frac{2a-13ab - 2b}{a-2ab - b}$变形可得$\frac{2(a - b)-13ab}{(a - b)-2ab}$，把$a - b=-2ab$代入可得：
$\frac{2×(-2ab)-13ab}{-2ab-2ab}=\frac{-4ab-13ab}{-4ab}=\frac{-17ab}{-4ab}=\frac{17}{4}$。
由$a^{2}+b^{2}-6ab = 0$，等式两边同时加上$2ab$可得$a^{2}+2ab + b^{2}-8ab=0$，根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，这里$m = a$，$n = b$，则$(a + b)^{2}=8ab$；
等式两边同时减去$2ab$可得$a^{2}-2ab + b^{2}-4ab=0$，根据完全平方公式$(m - n)^2=m^2-2mn+n^2$，则$(a - b)^{2}=4ab$。
所以$(\frac{a + b}{a - b})^{2}=\frac{(a + b)^{2}}{(a - b)^{2}}=\frac{8ab}{4ab}=2$。
(2)
由$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=2$，通分可得$\frac{b - a}{ab}=2$，则$b - a = 2ab$，即$a - b=-2ab$。
对$\frac{2a-13ab - 2b}{a-2ab - b}$变形可得$\frac{2(a - b)-13ab}{(a - b)-2ab}$，把$a - b=-2ab$代入可得：
$\frac{2×(-2ab)-13ab}{-2ab-2ab}=\frac{-4ab-13ab}{-4ab}=\frac{-17ab}{-4ab}=\frac{17}{4}$。
6. 计算$$ ( \frac { 1 - a } { a } + 1 ) ÷ \frac { 1 } { a ^ { 2 } } $$的结果是(
$A. \frac { 1 } { a } $
B. a
C. a - 1
$D. \frac { 1 } { a - 1 } $
B
)$A. \frac { 1 } { a } $
B. a
C. a - 1
$D. \frac { 1 } { a - 1 } $
答案
B
解析
原式为$( \frac { 1 - a } { a } + 1 ) ÷ \frac { 1 } { a ^ { 2 } }$，先对括号内进行计算：$\frac{1-a}{a} + 1 = \frac{1-a+a}{a} = \frac{1}{a}$。
再将除法转换为乘法，即$\frac{1}{a} × a^{2} = a$。
所以，原式的结果为$a$。
再将除法转换为乘法，即$\frac{1}{a} × a^{2} = a$。
所以，原式的结果为$a$。
7. 下列式子的运算结果为$$ x - 1 $$的是(
$A. 1 - \frac { 1 } { x } $
$B. \frac { x ^ { 2 } - 1 } { x } \cdot \frac { x } { x + 1 } $
$C. \frac { x + 1 } { x } ÷ \frac { 1 } { x - 1 } $
$D. \frac { x ^ { 2 } + 2 x + 1 } { x + 1 } $
B
)$A. 1 - \frac { 1 } { x } $
$B. \frac { x ^ { 2 } - 1 } { x } \cdot \frac { x } { x + 1 } $
$C. \frac { x + 1 } { x } ÷ \frac { 1 } { x - 1 } $
$D. \frac { x ^ { 2 } + 2 x + 1 } { x + 1 } $
答案
B
解析
选项A：$1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$，结果不是$x - 1$；选项B：$\frac{x^2 - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x} \cdot \frac{x}{x + 1} = x - 1$，结果是$x - 1$；选项C：$\frac{x + 1}{x} ÷ \frac{1}{x - 1} = \frac{x + 1}{x} \cdot (x - 1) = \frac{(x + 1)(x - 1)}{x} = \frac{x^2 - 1}{x}$，结果不是$x - 1$；选项D：$\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} = \frac{(x + 1)^2}{x + 1} = x + 1$，结果不是$x - 1$。
8. 计算$$ ( 3 x ^ { 3 } y ^ { 2 } z ^ { - 1 } ) ^ { - 2 } \cdot ( 5 x y ^ { - 2 } z ^ { 3 } ) ^ { 2 } $$的结果是(
$A. \frac { 25 z ^ { 8 } } { 3 x ^ { 4 } y ^ { 8 } } $
$B. \frac { 5 z ^ { 8 } } { 3 x ^ { 4 } y ^ { 8 } } $
$C. \frac { 9 x ^ { 4 } y ^ { 8 } } { 25 z ^ { 8 } } $
$D. \frac { 25 z ^ { 8 } } { 9 x ^ { 4 } y ^ { 8 } } $
D
)$A. \frac { 25 z ^ { 8 } } { 3 x ^ { 4 } y ^ { 8 } } $
$B. \frac { 5 z ^ { 8 } } { 3 x ^ { 4 } y ^ { 8 } } $
$C. \frac { 9 x ^ { 4 } y ^ { 8 } } { 25 z ^ { 8 } } $
$D. \frac { 25 z ^ { 8 } } { 9 x ^ { 4 } y ^ { 8 } } $
答案
D
解析
根据幂的运算法则，分别对各项进行运算。
对于$(3x^{3}y^{2}z^{-1})^{-2}$，根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$以及幂的乘方公式$(a^m)^n = a^{mn}$和负指数幂的定义$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$可得：
$(3x^{3}y^{2}z^{-1})^{-2}=3^{-2}x^{3×(-2)}y^{2×(-2)}z^{(-1)×(-2)}=\frac{1}{9}x^{-6}y^{-4}z^{2}$
对于$(5xy^{-2}z^{3})^{2}$，同理可得：
$(5xy^{-2}z^{3})^{2}=5^{2}x^{2}y^{(-2)×2}z^{3×2}=25x^{2}y^{-4}z^{6}$
将上述结果相乘：
$\frac{1}{9}x^{-6}y^{-4}z^{2}\cdot25x^{2}y^{-4}z^{6}$
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$\frac{25}{9}x^{-6 + 2}y^{-4-4}z^{2 + 6}=\frac{25}{9}x^{-4}y^{-8}z^{8}=\frac{25z^{8}}{9x^{4}y^{8}}$
对于$(3x^{3}y^{2}z^{-1})^{-2}$，根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$以及幂的乘方公式$(a^m)^n = a^{mn}$和负指数幂的定义$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$可得：
$(3x^{3}y^{2}z^{-1})^{-2}=3^{-2}x^{3×(-2)}y^{2×(-2)}z^{(-1)×(-2)}=\frac{1}{9}x^{-6}y^{-4}z^{2}$
对于$(5xy^{-2}z^{3})^{2}$，同理可得：
$(5xy^{-2}z^{3})^{2}=5^{2}x^{2}y^{(-2)×2}z^{3×2}=25x^{2}y^{-4}z^{6}$
将上述结果相乘：
$\frac{1}{9}x^{-6}y^{-4}z^{2}\cdot25x^{2}y^{-4}z^{6}$
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$\frac{25}{9}x^{-6 + 2}y^{-4-4}z^{2 + 6}=\frac{25}{9}x^{-4}y^{-8}z^{8}=\frac{25z^{8}}{9x^{4}y^{8}}$
9. 定义一种新运算,规则是$$ x * y = \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { y } $$,根据此规则计算$$ ( m + 1 ) * ( m - 1 ) $$的结果为(
$A. \frac { 2 m } { m ^ { 2 } - 1 } $
$B. - \frac { 2 m } { m ^ { 2 } - 1 } $
$C. - \frac { 2 } { m ^ { 2 } - 1 } $
$D. \frac { 2 } { m ^ { 2 } - 1 } $
C
)$A. \frac { 2 m } { m ^ { 2 } - 1 } $
$B. - \frac { 2 m } { m ^ { 2 } - 1 } $
$C. - \frac { 2 } { m ^ { 2 } - 1 } $
$D. \frac { 2 } { m ^ { 2 } - 1 } $
答案
C
解析
根据题中新运算的定义，有：
$(m + 1) * (m - 1) = \frac{1}{m + 1} - \frac{1}{m - 1}$
通分得：
$= \frac{(m - 1) - (m + 1)}{(m + 1)(m - 1)}$
$= \frac{m - 1 - m - 1}{m^{2} - 1}$
$= \frac{-2}{m^{2} - 1}$
$= - \frac{2}{m^{2} - 1}$
$(m + 1) * (m - 1) = \frac{1}{m + 1} - \frac{1}{m - 1}$
通分得：
$= \frac{(m - 1) - (m + 1)}{(m + 1)(m - 1)}$
$= \frac{m - 1 - m - 1}{m^{2} - 1}$
$= \frac{-2}{m^{2} - 1}$
$= - \frac{2}{m^{2} - 1}$
10. 已知$ x + y = 4 \sqrt { 3 } , x - y = \sqrt { 3 } ,$则式子$ ( x - y + \frac { 4 x y } { x - y } ) ( x + y - \frac { 4 x y } { x + y } ) $的值是(
A.48
$B.12 \sqrt { 3 } $
C.16
D.12
D
)A.48
$B.12 \sqrt { 3 } $
C.16
D.12
答案
D
解析
设$a = x - y$，$b = x + y$，则原式为$\left(a + \frac{4xy}{a}\right)\left(b - \frac{4xy}{b}\right)$。
通分可得：$\frac{a^2 + 4xy}{a} \cdot \frac{b^2 - 4xy}{b}$。
展开分子：
$a^2 + 4xy = (x - y)^2 + 4xy = x^2 - 2xy + y^2 + 4xy = x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 = b^2$，
$b^2 - 4xy = (x + y)^2 - 4xy = x^2 + 2xy + y^2 - 4xy = x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 = a^2$。
代入原式得：$\frac{b^2}{a} \cdot \frac{a^2}{b} = ab$。
已知$a = x - y = \sqrt{3}$，$b = x + y = 4\sqrt{3}$，则$ab = \sqrt{3} × 4\sqrt{3} = 4 × 3 = 12$。
通分可得：$\frac{a^2 + 4xy}{a} \cdot \frac{b^2 - 4xy}{b}$。
展开分子：
$a^2 + 4xy = (x - y)^2 + 4xy = x^2 - 2xy + y^2 + 4xy = x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 = b^2$，
$b^2 - 4xy = (x + y)^2 - 4xy = x^2 + 2xy + y^2 - 4xy = x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 = a^2$。
代入原式得：$\frac{b^2}{a} \cdot \frac{a^2}{b} = ab$。
已知$a = x - y = \sqrt{3}$，$b = x + y = 4\sqrt{3}$，则$ab = \sqrt{3} × 4\sqrt{3} = 4 × 3 = 12$。
11. 计算：$ ( - 3 x ^ { n } ) ^ { 3 } \cdot ( - 2 x ^ { n } ) ^ { - 2 } ÷ ( 2 x ^ { - 2 } ) ^ { 2 } + ( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } - 1 } ) ^ { 0 }. $
答案
$(-3x^n)^3 \cdot (-2x^n)^{-2} ÷ (2x^{-2})^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}-1}\right)^0$
1. 计算各乘方项：
$(-3x^n)^3 = (-3)^3 \cdot (x^n)^3 = -27x^{3n}$
$(-2x^n)^{-2} = (-2)^{-2} \cdot (x^n)^{-2} = \frac{1}{4}x^{-2n}$
$(2x^{-2})^2 = 2^2 \cdot (x^{-2})^2 = 4x^{-4}$
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}-1}\right)^0 = 1$
2. 进行乘除运算：
$-27x^{3n} \cdot \frac{1}{4}x^{-2n} = -\frac{27}{4}x^{n}$
$-\frac{27}{4}x^{n} ÷ 4x^{-4} = -\frac{27}{4}x^{n} \cdot \frac{1}{4x^{-4}} = -\frac{27}{16}x^{n+4}$
3. 加法运算：
$-\frac{27}{16}x^{n+4} + 1$
结果：$-\frac{27}{16}x^{n+4} + 1$
1. 计算各乘方项：
$(-3x^n)^3 = (-3)^3 \cdot (x^n)^3 = -27x^{3n}$
$(-2x^n)^{-2} = (-2)^{-2} \cdot (x^n)^{-2} = \frac{1}{4}x^{-2n}$
$(2x^{-2})^2 = 2^2 \cdot (x^{-2})^2 = 4x^{-4}$
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}-1}\right)^0 = 1$
2. 进行乘除运算：
$-27x^{3n} \cdot \frac{1}{4}x^{-2n} = -\frac{27}{4}x^{n}$
$-\frac{27}{4}x^{n} ÷ 4x^{-4} = -\frac{27}{4}x^{n} \cdot \frac{1}{4x^{-4}} = -\frac{27}{16}x^{n+4}$
3. 加法运算：
$-\frac{27}{16}x^{n+4} + 1$
结果：$-\frac{27}{16}x^{n+4} + 1$
12. 已知$$ | 3 a - b + 1 | + ( 3 a - \frac { 3 } { 2 } b ) ^ { 2 } = 0 $$,求$$ \frac { b ^ { 2 } } { a + b } ÷ ( \frac { b } { a - b } \cdot \frac { a b } { a + b } ) $$的值.
答案
-1
解析
因为|3a - b + 1| + (3a - $\frac{3}{2}$b)² = 0，且|3a - b + 1|≥0，(3a - $\frac{3}{2}$b)²≥0，所以：
$\begin{cases}3a - b + 1 = 0 \\3a - \frac{3}{2}b = 0\end{cases}$
由第二个方程得：3a = $\frac{3}{2}$b ⇒ 2a = b。
将b = 2a代入第一个方程：3a - 2a + 1 = 0 ⇒ a = -1。
则b = 2a = -2。
原式化简：
$\begin{aligned}&\frac{b^2}{a + b} ÷ (\frac{b}{a - b} \cdot \frac{ab}{a + b})\\=&\frac{b^2}{a + b} ÷ \frac{ab^2}{(a - b)(a + b)}\\=&\frac{b^2}{a + b} \cdot \frac{(a - b)(a + b)}{ab^2}\\=&\frac{a - b}{a}\end{aligned}$
将a = -1，b = -2代入$\frac{a - b}{a}$：
$\frac{-1 - (-2)}{-1} = \frac{1}{-1} = -1$
$\begin{cases}3a - b + 1 = 0 \\3a - \frac{3}{2}b = 0\end{cases}$
由第二个方程得：3a = $\frac{3}{2}$b ⇒ 2a = b。
将b = 2a代入第一个方程：3a - 2a + 1 = 0 ⇒ a = -1。
则b = 2a = -2。
原式化简：
$\begin{aligned}&\frac{b^2}{a + b} ÷ (\frac{b}{a - b} \cdot \frac{ab}{a + b})\\=&\frac{b^2}{a + b} ÷ \frac{ab^2}{(a - b)(a + b)}\\=&\frac{b^2}{a + b} \cdot \frac{(a - b)(a + b)}{ab^2}\\=&\frac{a - b}{a}\end{aligned}$
将a = -1，b = -2代入$\frac{a - b}{a}$：
$\frac{-1 - (-2)}{-1} = \frac{1}{-1} = -1$
