9. 如图,AB、AC是$\odot O$的弦,过点A的切线交CB的延长线于点D.若$∠BAD=35^{\circ }$,则$∠C$的度数为.

35°

连接AO并延长交圆于点E，连接CE。因为AD是切线，所以∠OAD=90°。∠BAO=∠OAD - ∠BAD=90° - 35°=55°。因为OA=OB，所以∠OBA=∠BAO=55°，∠AOB=180° - 55°×2=70°。∠ACB=1/2∠AOB=35°。

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠C=90^{\circ },AC=3,AB=5$,D为边BC的中点,以AD上一点O为圆心的$\odot O$和AB、BC均相切,则$\odot O$的半径为.

6/7

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，由勾股定理得BC=4。D为BC中点，故BD=DC=2。以C为原点建系，C(0,0)，A(0,3)，B(4,0)，D(2,0)。AD方程为y=-3/2 x + 3。设⊙O半径为r，圆心O在AD上，且到BC（x轴）距离为r，故O(x,r)，代入AD方程得r=-3/2 x + 3，解得x=2 - 2r/3，即O(2 - 2r/3, r)。AB方程为3x + 4y - 12=0，O到AB距离为|3(2 - 2r/3) + 4r - 12|/5 = |2r - 6|/5 = r，解得r=6/7。

11. (2024·内江)如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC=60^{\circ },BC=8$,E是BC边上一点,且$BE=2$,点I是$\triangle ABC$的内心,BI的延长线交AC于点D,P是BD上一动点,连接PE、PC,则$PE+PC$的最小值为.

2√13

作点E关于BD的对称点E'，连接E'C。
∵I是△ABC内心，BI平分∠ABC，∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBD=30°。
∵E与E'关于BD对称，∴PE=PE'，BE=BE'=2，∠E'BD=∠EBD=30°，∴∠E'BE=60°，△E'BE为等边三角形，E'在BA上。
在△E'BC中，BE'=2，BC=8，∠E'BC=60°，由余弦定理得：
E'C²=BE'²+BC²-2·BE'·BC·cos60°=2²+8²-2×2×8×1/2=4+64-16=52，∴E'C=2√13。
故PE+PC=PE'+PC≥E'C=2√13，最小值为2√13。

12. (2024·宁夏)如图,在$\triangle ABC$中,D是边BC的中点,以AB为直径的$\odot O$经过点D,P是边AC上一点(不与点A、C重合).请仅用无刻度的直尺按要求作图,保留作图痕迹,不写作法.
(1) 过点A作一条直线,将$\triangle ABC$分成面积相等的两部分;
(2) 在边AB上找一点Q,使得$BQ=CP$.

(1) (2) 

13. (2024·天津)在$\triangle AOB$中,$∠ABO=30^{\circ }$,AB为$\odot O$的弦,直线MN与$\odot O$相切于点C.
(1) 如图①,若$AB// MN$,直径CE与AB相交于点D,求$∠AOB$和$∠BCE$的度数;
(2) 如图②,若$OB// MN,CG⊥AB$,垂足为G,CG与OB相交于点F,$OA=3$,求线段OF的长.

(1)∠AOB=120°，∠BCE=30°；(2)OF=√3。

(1) ∵OA=OB，∠ABO=30°，∴∠BAO=30°，∠AOB=180°-30°-30°=120°。
∵MN切⊙O于C，∴OC⊥MN，又AB//MN，∴OC⊥AB。
∵OA=OB，OC⊥AB，∴OD平分∠AOB（D为CE与AB交点），∠BOD=60°。
∵OB=OC，∠BOD=60°，∴△OBC为等边三角形，∠BCO=60°。
∵OC⊥MN，∴∠OCN=90°，∠BCE=∠OCN-∠BCO=90°-60°=30°。
(2) ∵MN切⊙O于C，∴OC⊥MN，又OB//MN，∴OC⊥OB，∠COB=90°。
∵OA=OB=3，∠ABO=30°，∴∠AOB=120°，∠OBA=30°。
CG⊥AB，∠FGB=90°，∠GFB=60°，∴∠OFC=60°。
在Rt△OCF中，tan∠OFC=OC/OF，tan60°=3/OF，∴OF=3/√3=√3。