14. (2024·自贡)在$Rt\triangle ABC$中,$∠C=90^{\circ },\odot O$是$\triangle ABC$的内切圆,切点分别为D、E、F.
(1) 如图①,若$AC=3,BC=4$,则$\odot O$的半径为.
(2) 如图②,延长AC到点M,使$AM=AB$,过点M作$MN⊥AB$于点N.求证:MN是$\odot O$的切线.

(1) 1
(2) 证明：设 $ \angle BAC = \alpha $，$ AC = b $，$ BC = a $，$ AB = c $，内切圆半径 $ r = \frac{a + b - c}{2} $，圆心 $ O $ 为 $ \triangle ABC $ 的内心。
延长 $ AC $ 到 $ M $ 使 $ AM = AB = c $，则 $ CM = AM - AC = c - b $。
过 $ O $ 作 $ OE \perp AC $ 于 $ E $（$ E $ 为切点），则 $ OE = r $，且 $ AE = AC - CE = b - r $。
$ MN \perp AB $ 于 $ N $，在 $ \triangle AMN $ 中，$ \angle AMN = 90° - \alpha $。
$ O $ 在 $ \angle BAC $ 的平分线上，$ \angle OAE = \frac{\alpha}{2} $，$ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{OE}{AE} = \frac{r}{b - r} $。
$ \tan(45° - \frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \tan \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan \frac{\alpha}{2}} = \frac{b - 2r}{b} $，将 $ r = \frac{a + b - c}{2} $ 代入得 $ \tan(45° - \frac{\alpha}{2}) = \frac{c - a}{b} $。
在 $ \triangle OMC $ 中，$ \tan \angle OMC = \frac{OE}{EM} = \frac{r}{c - b + r} = \frac{a + b - c}{a + c - b} $，由 $ c^2 = a^2 + b^2 $ 可证 $ \tan \angle OMC = \frac{c - a}{b} $，故 $ \angle OMC = 45° - \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2} \angle AMN $，即 $ OM $ 平分 $ \angle AMN $。
$ O $ 到 $ AC $ 的距离为 $ r $，由角平分线性质知 $ O $ 到 $ MN $ 的距离为 $ r $，因此 $ MN $ 是 $ \odot O $ 的切线。

15. (2024·宿迁)如图,在$\odot O$中,AB是直径,CD是弦,且$AB⊥CD$,垂足为E,$AB=20,CD=12$,在BA的延长线上取一点F,连接CF,使$∠FCD=2∠B$.
(1) 求证:CF是$\odot O$的切线;
(2) 求EF的长.

(1) 见解析；(2) 9/2

(1) 证明：连接OC，
∵AB是直径，AB=20，∴OC=OB=10，
∵AB⊥CD，CD=12，∴CE=DE=6（垂径定理），
在Rt△OCE中，OE=√(OC²-CE²)=√(10²-6²)=8，
∵OB=OC，∴∠B=∠OCB=x，∠FCD=2x，
∵AB⊥CD，∠CEB=90°，∴∠ECB=90°-x，
∠ECB=∠ECO+∠OCB，∴∠ECO=90°-2x，
∠FCO=∠FCD+∠DCO=2x+(90°-2x)=90°，
∴OC⊥CF，OC为半径，∴CF是⊙O切线。
(2) 设EF=y，AE=OA-OE=10-8=2，AF=y-2，OF=8+y，
在Rt△FCE中，CF²=y²+6²，
在Rt△FCO中，CF²+10²=(8+y)²，
∴y²+36+100=(8+y)²，
解得y=9/2，即EF=9/2。