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11. (2024 湖北中考)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,点 E 在 AC 上,以 CE 为直径的$\odot O$经过 AB 上的点 D,与 OB 交于点 F,且$BD= BC$.
(1)求证:AB 是$\odot O$的切线;
(2)若$AD= \sqrt {3},AE= 1$,求$\widehat {CF}$的长.
(1)求证:AB 是$\odot O$的切线;
(2)若$AD= \sqrt {3},AE= 1$,求$\widehat {CF}$的长.
答案
解：(1)连接 $ OD $，
在 $ \triangle OBD $ 和 $ \triangle OBC $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { B D = B C , } \\ { O D = O C , } \\ { O B = O B , } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle O B D \cong \triangle O B C ( S S S ) $，
$ \therefore \angle O D B = \angle O C B = 90 ^ { \circ } $，
$ \therefore O D \perp A B $，
$ \because O D $ 是 $ \odot O $ 的半径，
$ \therefore A B $ 是 $ \odot O $ 的切线；
(2)设 $ \odot O $ 的半径为 $ R $，
在 $ \mathrm { Rt } \triangle O A D $ 中，
$ A D = \sqrt { 3 } , A E = 1 $，
$ A O = A E + O E = 1 + R , O D = R $，
$ \because A D ^ { 2 } + O D ^ { 2 } = A O ^ { 2 } $，
$ \therefore ( \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + R ^ { 2 } = ( 1 + R ) ^ { 2 } $，
解得 $ R = 1 $，
$ \therefore O D = 1 , A O = 2 $，
$ \therefore \angle A O D = 60 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle C O D = 120 ^ { \circ } $，
由(1)知 $ \triangle O B D \cong \triangle O B C $，
$ \therefore \angle B O D = \angle B O C = \frac { 1 } { 2 } \angle C O D = 60 ^ { \circ } $，$ \therefore \overparen { C F } $ 的长 $ = \frac { 60 \pi \cdot 1 } { 180 } = \frac { \pi } { 3 } $．
在 $ \triangle OBD $ 和 $ \triangle OBC $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { B D = B C , } \\ { O D = O C , } \\ { O B = O B , } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle O B D \cong \triangle O B C ( S S S ) $，
$ \therefore \angle O D B = \angle O C B = 90 ^ { \circ } $，
$ \therefore O D \perp A B $，
$ \because O D $ 是 $ \odot O $ 的半径，
$ \therefore A B $ 是 $ \odot O $ 的切线；
(2)设 $ \odot O $ 的半径为 $ R $，
在 $ \mathrm { Rt } \triangle O A D $ 中，
$ A D = \sqrt { 3 } , A E = 1 $，
$ A O = A E + O E = 1 + R , O D = R $，
$ \because A D ^ { 2 } + O D ^ { 2 } = A O ^ { 2 } $，
$ \therefore ( \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + R ^ { 2 } = ( 1 + R ) ^ { 2 } $，
解得 $ R = 1 $，
$ \therefore O D = 1 , A O = 2 $，
$ \therefore \angle A O D = 60 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle C O D = 120 ^ { \circ } $，
由(1)知 $ \triangle O B D \cong \triangle O B C $，
$ \therefore \angle B O D = \angle B O C = \frac { 1 } { 2 } \angle C O D = 60 ^ { \circ } $，$ \therefore \overparen { C F } $ 的长 $ = \frac { 60 \pi \cdot 1 } { 180 } = \frac { \pi } { 3 } $．
12. 如图,在四边形 ABCD 中,$AD// BC,∠A= 90^{\circ },\odot O$与边 AB,BC,CD,DA 分别相切于点 E,F,G,H.
(1)求证:$AE= BE;$
(2)若$AB= 4,AD= 5$,求 CD 的长.
(1)求证:$AE= BE;$
(2)若$AB= 4,AD= 5$,求 CD 的长.
答案
解：(1)连接 $ O E , O F , O H $，证得正方形 $ O E A H $ 和正方形 $ O E B F $，
$ \therefore A E = B E $；
(2)作 $ C M \perp A D $ 于点 $ M $，可证 $ H $，$ O , F $ 三点共线，
$ \therefore $ 四边形 $ C M H F $ 为矩形．
$ D H = A D - A H = 5 - 2 = 3 = D G $，
$ A B = C M = 4 $．
设 $ H M = C F = C G = x $，
则 $ D M = 3 - x $．在 $ \triangle D C M $ 中，
$ ( 3 - x ) ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } = ( 3 + x ) ^ { 2 } $，
$ \therefore x = \frac { 4 } { 3 } $，$ \therefore C D = 3 + \frac { 4 } { 3 } = \frac { 13 } { 3 } $．
$ \therefore A E = B E $；
(2)作 $ C M \perp A D $ 于点 $ M $，可证 $ H $，$ O , F $ 三点共线，
$ \therefore $ 四边形 $ C M H F $ 为矩形．
$ D H = A D - A H = 5 - 2 = 3 = D G $，
$ A B = C M = 4 $．
设 $ H M = C F = C G = x $，
则 $ D M = 3 - x $．在 $ \triangle D C M $ 中，
$ ( 3 - x ) ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } = ( 3 + x ) ^ { 2 } $，
$ \therefore x = \frac { 4 } { 3 } $，$ \therefore C D = 3 + \frac { 4 } { 3 } = \frac { 13 } { 3 } $．
13. 以半径为 1 的$\odot O$的内接正三角形,正方形,正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是____.
答案
$ \frac { \sqrt { 2 } } { 8 } $
14. 在正六边形 ABCDEF 中,$AB= 2$,P 是 ED 的中点,连接 AP,则 AP 的长为____.
答案
$ \sqrt { 13 } $
15. (2024 山西中考)如图 1 是小区围墙上的花窗,其形状是扇形的一部分,图 2 是其几何示意图(阴影部分为花窗),通过测量得到扇形 AOB 的圆心角为$90^{\circ },OA= 1m$,C,D 分别为 OA,OB 的中点,则花窗的面积为____$m^{2}$.
答案
$ \frac { \pi } { 4 } - \frac { 1 } { 8 } $
16. 如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形.若母线长 l 为 6 cm,扇形的圆心角θ为$120^{\circ }$,则圆锥的底面圆的半径 r 为____cm.
答案
2
