1. 从一张直径是2dm的圆形纸片上剪去一个最大的正方形,圆面积和正方形面积的最简单的整数比是多少？

1. 首先求圆的面积：
已知圆的直径$d = 2dm$，则半径$r=\frac{d}{2}=1dm$。
根据圆的面积公式$S_{圆}=\pi r^{2}$，可得$S_{圆}=\pi×1^{2}=\pi(dm^{2})$。
2. 然后求正方形的面积：
圆内最大正方形的对角线长等于圆的直径$d = 2dm$。
设正方形的边长为$a$，根据勾股定理$a^{2}+a^{2}=d^{2}$（因为正方形对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线为斜边），即$2a^{2}=d^{2}$。
已知$d = 2dm$，则$2a^{2}=4$，$a^{2}=2$，所以正方形面积$S_{正}=a^{2}=2(dm^{2})$。
3. 最后求圆面积和正方形面积的比：
$S_{圆}:S_{正}=\pi:2$，因为$\pi\approx3.14$，$\pi:2=(3.14×50):(2×50)=157:100$。
所以圆面积和正方形面积的最简单的整数比是$157:100$。

2. 在一张长方形纸上剪去半径都是2cm的圆和半圆(如下图)。
(1) 这张长方形纸的长、宽分别是多少?面积呢?

(2) 剩余部分的面积是多少平方厘米?

(1)长：2×2×2 + 2 = 10(cm)，宽：2×2 = 4(cm)，面积：10×4 = 40(cm²)
(2)40 - 3.14×2²×2 - 3.14×2²÷2 = 40 - 25.12 - 6.28 = 8.6(cm²)

3. 从一块长方形铝合金板(如右图)上切下一个最大的圆。
(1) 这个圆的面积是多少平方米?

(2) 剩余部分的面积是多少平方米?

(1) 长方形的宽为4m，所以最大圆的直径为4m，半径r=4÷2=2m。圆的面积S=πr²=3.14×2²=12.56平方米。
(2) 长方形面积=5×4=20平方米，剩余部分面积=20-12.56=7.44平方米。

4. 如下图,小圆的半径是3cm,比较大圆面积与两个小圆面积的和,你发现了什么?

小圆半径为3cm时，小圆面积：$3.14×3² = 28.26cm²$，两个小圆面积和：$28.26×2 = 56.52cm²$。大圆半径为$3×2 = 6cm$，大圆面积：$3.14×6² = 113.04cm²$。发现：大圆面积是两个小圆面积和的2倍。
当小圆半径为r时，两个小圆面积和：$2×πr² = 2πr²$，大圆半径为2r，大圆面积：$π(2r)² = 4πr²$，结果：大圆面积是两个小圆面积和的2倍。