登录
11. 在三个整式 $ x^2 + 2xy $,$ y^2 + 2xy $,$ x^2 $ 中,请你任意选出两个进行加(或减)运算,使所得整式可以分解因式,并分解因式。
答案
解：$ ( x ^ { 2 } + 2 x y ) + x ^ { 2 } = 2 x ^ { 2 } + 2 x y = 2 x ( x + y ) $；或 $ ( y ^ { 2 } + 2 x y ) + x ^ { 2 } = ( x + y ) ^ { 2 } $；
或 $ ( x ^ { 2 } + 2 x y ) - ( y ^ { 2 } + 2 x y ) = x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = ( x + y ) ( x - y ) $；或 $ ( y ^ { 2 } + 2 x y ) - ( x ^ { 2 } + 2 x y ) = y ^ { 2 } - x ^ { 2 } = ( y + x ) ( y - x ) $。
或 $ ( x ^ { 2 } + 2 x y ) - ( y ^ { 2 } + 2 x y ) = x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = ( x + y ) ( x - y ) $；或 $ ( y ^ { 2 } + 2 x y ) - ( x ^ { 2 } + 2 x y ) = y ^ { 2 } - x ^ { 2 } = ( y + x ) ( y - x ) $。
12. 如图,已知四边形 $ ABDE $ 是平行四边形,$ C $ 为边 $ BD $ 延长线上的一点,连接 $ AC $,$ CE $ 使 $ AB = AC $。
(1) 求证：$ \triangle BDA \cong \triangle AEC $；
证明：$ \because A B = A C $，$ \therefore \angle B = \angle A C B $。
又 $ \because $ 四边形 $ A B D E $ 是平行四边形，$ \therefore A E // B D $，$ A E = B D $
$ \therefore \angle A C B = \angle C A E = \angle B $，$ \therefore \triangle B D A \cong \triangle A E C $ (
(2) 若 $ \angle B = 30^\circ $,$ \angle ADC = 60^\circ $,$ BD = 10 $,求 $ □ ABDE $ 的面积。
解：过 $ A $ 作 $ A G \perp B C $，垂足为 $ G $。$ \because \angle B = 30 ^ { \circ } $，$ \angle A D C = 60 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle B A D = 30 ^ { \circ } $，$ \therefore A D = B D = 10 $。
在 $ R t \triangle A G D $ 中，$ \because \angle A D C = 60 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle D A G = 30 ^ { \circ } $，$ D G = 5 $，$ A G = \sqrt { 10 ^ { 2 } - 5 ^ { 2 } } = 5 \sqrt { 3 } $，$ \therefore S _ { □ A B D E } = B D \cdot A G = 10 × 5 \sqrt { 3 } = $
(1) 求证：$ \triangle BDA \cong \triangle AEC $；
证明：$ \because A B = A C $，$ \therefore \angle B = \angle A C B $。
又 $ \because $ 四边形 $ A B D E $ 是平行四边形，$ \therefore A E // B D $，$ A E = B D $
$ \therefore \angle A C B = \angle C A E = \angle B $，$ \therefore \triangle B D A \cong \triangle A E C $ (
SAS
)。(2) 若 $ \angle B = 30^\circ $,$ \angle ADC = 60^\circ $,$ BD = 10 $,求 $ □ ABDE $ 的面积。
解：过 $ A $ 作 $ A G \perp B C $，垂足为 $ G $。$ \because \angle B = 30 ^ { \circ } $，$ \angle A D C = 60 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle B A D = 30 ^ { \circ } $，$ \therefore A D = B D = 10 $。
在 $ R t \triangle A G D $ 中，$ \because \angle A D C = 60 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle D A G = 30 ^ { \circ } $，$ D G = 5 $，$ A G = \sqrt { 10 ^ { 2 } - 5 ^ { 2 } } = 5 \sqrt { 3 } $，$ \therefore S _ { □ A B D E } = B D \cdot A G = 10 × 5 \sqrt { 3 } = $
$ 50\sqrt{3} $
。答案
(1) 证明 $ \because A B = A C $，$ \therefore \angle B = \angle A C B $。
又 $ \because $ 四边形 $ A B D E $ 是平行四边形，$ \therefore A E // B D $，$ A E = B D $
$ \therefore \angle A C B = \angle C A E = \angle B $，$ \therefore \triangle B D A \cong \triangle A E C ( S A S ) $。
(2) 解：过 $ A $ 作 $ A G \perp B C $，垂足为 $ G $。$ \because \angle B = 30 ^ { \circ } $，$ \angle A D C = 60 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle B A D = 30 ^ { \circ } $，$ \therefore A D = B D = 10 $。
在 $ R t \triangle A G D $ 中，$ \because \angle A D C = 60 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle D A G = 30 ^ { \circ } $，$ D G = 5 $，$ A G = \sqrt { 10 ^ { 2 } - 5 ^ { 2 } } = 5 \sqrt { 3 } $，$ \therefore S _ { □ A B D E } = B D \cdot A G = 10 × 5 \sqrt { 3 } = 50 \sqrt { 3 } $。
又 $ \because $ 四边形 $ A B D E $ 是平行四边形，$ \therefore A E // B D $，$ A E = B D $
$ \therefore \angle A C B = \angle C A E = \angle B $，$ \therefore \triangle B D A \cong \triangle A E C ( S A S ) $。
(2) 解：过 $ A $ 作 $ A G \perp B C $，垂足为 $ G $。$ \because \angle B = 30 ^ { \circ } $，$ \angle A D C = 60 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle B A D = 30 ^ { \circ } $，$ \therefore A D = B D = 10 $。
在 $ R t \triangle A G D $ 中，$ \because \angle A D C = 60 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle D A G = 30 ^ { \circ } $，$ D G = 5 $，$ A G = \sqrt { 10 ^ { 2 } - 5 ^ { 2 } } = 5 \sqrt { 3 } $，$ \therefore S _ { □ A B D E } = B D \cdot A G = 10 × 5 \sqrt { 3 } = 50 \sqrt { 3 } $。
