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9. 某商户购进了 A,B 两种规格的土蜂蜜共 80 瓶进行销售,其进货价与销售价如下表所示:
| 价格 | A | B |
| ---- | ---- | ---- |
| 进货价/(元/瓶) |
24 | 20 |
| 销售价/(元/瓶) | 36 | 28 |
设该商户购进了 A 种蜂蜜 x 瓶,这两种蜂蜜全部销售完后的总利润为 y 元.
(1)求 y 与 x 之间的函数解析式;
(2)如果该商户这 80 瓶蜂蜜全部销售完后的总利润为 840 元,那么他购进了 A 种蜂蜜多少瓶?
| 价格 | A | B |
| ---- | ---- | ---- |
| 进货价/(元/瓶) |
24 | 20 || 销售价/(元/瓶) | 36 | 28 |
设该商户购进了 A 种蜂蜜 x 瓶,这两种蜂蜜全部销售完后的总利润为 y 元.
(1)求 y 与 x 之间的函数解析式;
(2)如果该商户这 80 瓶蜂蜜全部销售完后的总利润为 840 元,那么他购进了 A 种蜂蜜多少瓶?
答案
9. (1)设该商户购进 A 种蜂蜜 x 瓶,购进 B 种蜂蜜为 $(80-x)$ 瓶,且 $0≤x≤80$. A 种蜂蜜每瓶利润为 $36-24=12$(元),B 种蜂蜜每瓶利润 $28-20=8$(元),总利润 $y=12x+8(80-x)=12x+640-8x=4x+640(0≤x≤80$,且 x 为整数).
(2)当 $y=840$ 时,$4x+640=840$. 解得 $x=50$. 所以他购进了 A 种蜂蜜 50 瓶.
(2)当 $y=840$ 时,$4x+640=840$. 解得 $x=50$. 所以他购进了 A 种蜂蜜 50 瓶.
解析
【分析】
解决第(1)问时，要推导总利润y与A种蜂蜜瓶数x的函数关系，需明确总利润=A种蜂蜜总利润+B种蜂蜜总利润。首先根据两种蜂蜜共80瓶，可得B种蜂蜜购进(80-x)瓶；再根据“单瓶利润=销售价-进货价”分别计算A、B两种蜂蜜的单瓶利润，分别乘以对应瓶数后求和，化简即可得到函数解析式，同时注意x的取值范围是0到80之间的整数。
解决第(2)问时，已知总利润为840元，即y=840，将其代入第(1)问得到的函数解析式中，解一元一次方程求出x的值，即为A种蜂蜜的购进瓶数。
【解析】
(1) 已知购进A种蜂蜜x瓶，则购进B种蜂蜜为$(80-x)$瓶，其中$0≤x≤80$且x为整数。
计算单瓶利润：A种蜂蜜每瓶利润为$36-24=12$（元），B种蜂蜜每瓶利润为$28-20=8$（元）。
总利润为两种蜂蜜的利润之和，因此：
$y = 12x + 8(80-x)$
化简得：$y = 12x + 640 - 8x = 4x + 640$
即y与x的函数解析式为$y=4x+640$（$0≤x≤80$，且x为整数）。
(2) 当总利润$y=840$时，代入函数解析式得：
$4x + 640 = 840$
移项计算：$4x = 840 - 640 = 200$
解得：$x = 200÷4 = 50$
【答案】
(1) $y=4x+640$（$0≤ x≤80$，且$x$为整数）
(2) 50瓶
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次方程的求解
【点评】
本题属于销售利润类的基础应用题，核心是掌握“总利润=单利润×数量”的基本等量关系，只要理清各个量之间的对应关系，就能顺利写出函数解析式，代入求值求解方程即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，要推导总利润y与A种蜂蜜瓶数x的函数关系，需明确总利润=A种蜂蜜总利润+B种蜂蜜总利润。首先根据两种蜂蜜共80瓶，可得B种蜂蜜购进(80-x)瓶；再根据“单瓶利润=销售价-进货价”分别计算A、B两种蜂蜜的单瓶利润，分别乘以对应瓶数后求和，化简即可得到函数解析式，同时注意x的取值范围是0到80之间的整数。
解决第(2)问时，已知总利润为840元，即y=840，将其代入第(1)问得到的函数解析式中，解一元一次方程求出x的值，即为A种蜂蜜的购进瓶数。
【解析】
(1) 已知购进A种蜂蜜x瓶，则购进B种蜂蜜为$(80-x)$瓶，其中$0≤x≤80$且x为整数。
计算单瓶利润：A种蜂蜜每瓶利润为$36-24=12$（元），B种蜂蜜每瓶利润为$28-20=8$（元）。
总利润为两种蜂蜜的利润之和，因此：
$y = 12x + 8(80-x)$
化简得：$y = 12x + 640 - 8x = 4x + 640$
即y与x的函数解析式为$y=4x+640$（$0≤x≤80$，且x为整数）。
(2) 当总利润$y=840$时，代入函数解析式得：
$4x + 640 = 840$
移项计算：$4x = 840 - 640 = 200$
解得：$x = 200÷4 = 50$
【答案】
(1) $y=4x+640$（$0≤ x≤80$，且$x$为整数）
(2) 50瓶
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次方程的求解
【点评】
本题属于销售利润类的基础应用题，核心是掌握“总利润=单利润×数量”的基本等量关系，只要理清各个量之间的对应关系，就能顺利写出函数解析式，代入求值求解方程即可得到结果。
【难度系数】
0.8
二、一次函数的图象和性质
1. 已知$P_{1}(-1,y_{1}),P_{2}(2,y_{2})$是一次函数$y=-2x+b$图象上的两点,则下列判断正确的是
（
A.$y_{1}＞y_{2}$
B.$y_{1}＜y_{2}$
C.当$b＜0$时,$y_{1}＞y_{2}$
D.当$b＞0$时,$y_{1}＜y_{2}$
1. 已知$P_{1}(-1,y_{1}),P_{2}(2,y_{2})$是一次函数$y=-2x+b$图象上的两点,则下列判断正确的是
（
A
）A.$y_{1}＞y_{2}$
B.$y_{1}＜y_{2}$
C.当$b＜0$时,$y_{1}＞y_{2}$
D.当$b＞0$时,$y_{1}＜y_{2}$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时先回忆一次函数的增减性规律：对于一次函数$y=kx+b$（$k\ne0$），$k$的正负决定函数的增减性，且该性质和$b$的取值无关。解题步骤为：首先确定函数的$k$值，判断增减性，再比较两个点横坐标的大小，最后结合增减性推导$y_1$和$y_2$的大小关系即可。
【解析】
对于一次函数$y=-2x+b$，其中$k=-2＜0$，因此该函数的$y$值随$x$的增大而减小。
已知点$P_1$的横坐标为$x_1=-1$，点$P_2$的横坐标为$x_2=2$，因为$-1＜2$，结合函数增减性可得$y_1＞y_2$，且该大小关系不受$b$取值的影响，因此A选项正确，B、C、D选项错误。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数性质的基础考查题，解题关键是明确$k$决定函数增减趋势，$b$仅影响图象上下平移、不改变增减性，掌握该性质即可快速判断结果。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆一次函数的增减性规律：对于一次函数$y=kx+b$（$k\ne0$），$k$的正负决定函数的增减性，且该性质和$b$的取值无关。解题步骤为：首先确定函数的$k$值，判断增减性，再比较两个点横坐标的大小，最后结合增减性推导$y_1$和$y_2$的大小关系即可。
【解析】
对于一次函数$y=-2x+b$，其中$k=-2＜0$，因此该函数的$y$值随$x$的增大而减小。
已知点$P_1$的横坐标为$x_1=-1$，点$P_2$的横坐标为$x_2=2$，因为$-1＜2$，结合函数增减性可得$y_1＞y_2$，且该大小关系不受$b$取值的影响，因此A选项正确，B、C、D选项错误。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数性质的基础考查题，解题关键是明确$k$决定函数增减趋势，$b$仅影响图象上下平移、不改变增减性，掌握该性质即可快速判断结果。
【难度系数】
0.8
2. 对于一次函数$y=3x-2$，下列说法错误的是（
A.$y$随$x$的增大而增大
B.图象经过第二、三、四象限
C.图象与正比例函数$y=3x$的图象平行
D.若点$M(-2,y_1),N(1,y_2)$都在直线$y=3x-2$上，则$y_1＜y_2$
B
）A.$y$随$x$的增大而增大
B.图象经过第二、三、四象限
C.图象与正比例函数$y=3x$的图象平行
D.若点$M(-2,y_1),N(1,y_2)$都在直线$y=3x-2$上，则$y_1＜y_2$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时需要用到一次函数$y=kx+b(k≠0)$的相关性质：$k$的符号决定函数的增减性和图象倾斜方向，$b$的符号决定图象与$y$轴的交点位置，两个一次函数$k$值相等、$b$值不等时图象平行。我们只需要依次分析每个选项的正误，选出错误选项即可。
【解析】
对于一次函数$y=3x-2$，其中$k=3＞0$，$b=-2＜0$：
1. 分析A选项：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，因此A说法正确，不符合题意；
2. 分析B选项：$k＞0$说明图象过第一、三象限，$b＜0$说明图象与$y$轴交于负半轴，因此图象整体经过第一、三、四象限，不经过第二象限，因此B说法错误，符合题意；
3. 分析C选项：正比例函数$y=3x$的$k$值也为3，与$y=3x-2$的$k$值相等、$b$值不等，因此两个函数的图象平行，C说法正确，不符合题意；
4. 分析D选项：由$k＞0$可知函数单调递增，因为$-2＜1$，所以对应的函数值$y_1＜y_2$（也可代入计算：$y_1=3×(-2)-2=-8$，$y_2=3×1-2=1$，$-8＜1$），因此D说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系，两直线平行的判定
【点评】
本题属于一次函数的基础考查题，核心是掌握一次函数中系数$k$、$b$分别对函数增减性、图象位置的影响，熟练运用相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时需要用到一次函数$y=kx+b(k≠0)$的相关性质：$k$的符号决定函数的增减性和图象倾斜方向，$b$的符号决定图象与$y$轴的交点位置，两个一次函数$k$值相等、$b$值不等时图象平行。我们只需要依次分析每个选项的正误，选出错误选项即可。
【解析】
对于一次函数$y=3x-2$，其中$k=3＞0$，$b=-2＜0$：
1. 分析A选项：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，因此A说法正确，不符合题意；
2. 分析B选项：$k＞0$说明图象过第一、三象限，$b＜0$说明图象与$y$轴交于负半轴，因此图象整体经过第一、三、四象限，不经过第二象限，因此B说法错误，符合题意；
3. 分析C选项：正比例函数$y=3x$的$k$值也为3，与$y=3x-2$的$k$值相等、$b$值不等，因此两个函数的图象平行，C说法正确，不符合题意；
4. 分析D选项：由$k＞0$可知函数单调递增，因为$-2＜1$，所以对应的函数值$y_1＜y_2$（也可代入计算：$y_1=3×(-2)-2=-8$，$y_2=3×1-2=1$，$-8＜1$），因此D说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系，两直线平行的判定
【点评】
本题属于一次函数的基础考查题，核心是掌握一次函数中系数$k$、$b$分别对函数增减性、图象位置的影响，熟练运用相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 已知点$P(k,b)$在第四象限,一次函数$y=kx-b$的大致图象为图23-2中的（
图23-2
B
）图23-2
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先根据第四象限内点的坐标特征，确定k和b的符号，再结合一次函数的图象性质：k的符号决定直线的倾斜方向，常数项的符号决定直线与y轴的交点位置，逐步排除错误选项即可得到答案。第一步：先由点P在第四象限得k＞0，b＜0；第二步：根据k＞0判断直线从左下向右上倾斜，排除斜率为负的选项；第三步：计算一次函数的常数项为-b，由b＜0得-b＞0，即直线与y轴交于正半轴，排除截距为负的选项，剩下的就是正确答案。
【解析】
∵点P(k,b)在第四象限，
∴横坐标$k＞0$，纵坐标$b＜0$。
对于一次函数$y=kx - b$：
① 一次项系数$k＞0$，因此函数图象从左到右呈上升趋势，排除斜率为负的选项A、D；
② 常数项为$-b$，
∵$b＜0$，
∴$-b＞0$，即函数图象与y轴交于正半轴，排除与y轴交于负半轴的选项C。
综上，符合条件的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
象限内点的坐标特征；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是一次函数图象判断的基础题型，解题关键是先由点的位置确定参数的符号，再结合一次函数图象的性质逐一排除错误选项，这类题型是一次函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据第四象限内点的坐标特征，确定k和b的符号，再结合一次函数的图象性质：k的符号决定直线的倾斜方向，常数项的符号决定直线与y轴的交点位置，逐步排除错误选项即可得到答案。第一步：先由点P在第四象限得k＞0，b＜0；第二步：根据k＞0判断直线从左下向右上倾斜，排除斜率为负的选项；第三步：计算一次函数的常数项为-b，由b＜0得-b＞0，即直线与y轴交于正半轴，排除截距为负的选项，剩下的就是正确答案。
【解析】
∵点P(k,b)在第四象限，
∴横坐标$k＞0$，纵坐标$b＜0$。
对于一次函数$y=kx - b$：
① 一次项系数$k＞0$，因此函数图象从左到右呈上升趋势，排除斜率为负的选项A、D；
② 常数项为$-b$，
∵$b＜0$，
∴$-b＞0$，即函数图象与y轴交于正半轴，排除与y轴交于负半轴的选项C。
综上，符合条件的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
象限内点的坐标特征；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是一次函数图象判断的基础题型，解题关键是先由点的位置确定参数的符号，再结合一次函数图象的性质逐一排除错误选项，这类题型是一次函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
4. 一次函数$y=-x-2$的图象不经过第
一
象限.答案
4. 一
解析
【分析】
要判断一次函数图象不经过的象限，需结合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中$k$、$b$的符号与图象的对应关系分析：第一步先确定函数中$k$、$b$的取值，第二步根据$k$的符号判断直线的倾斜方向，确定经过的两个相对象限，第三步根据$b$的符号判断直线与$y$轴的交点位置，进一步确定剩余经过的象限，最后就能得出不经过的象限。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k\ne0$）：
1. 观察函数$y=-x-2$，可得$k=-1＜0$，因此直线从左到右下降，必然经过第二、四象限；
2. 同时$b=-2＜0$，说明直线与$y$轴交于负半轴（即$x=0$时，$y=-2＜0$），因此直线还会经过第三象限；
综上，该一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
一次函数图象性质，一次函数系数与象限的关系
【点评】
本题是一次函数的基础常规题，核心考查一次函数中$k$、$b$的符号与图象经过象限的对应规律，熟练掌握相关性质即可快速准确求解。
【难度系数】
0.9
要判断一次函数图象不经过的象限，需结合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中$k$、$b$的符号与图象的对应关系分析：第一步先确定函数中$k$、$b$的取值，第二步根据$k$的符号判断直线的倾斜方向，确定经过的两个相对象限，第三步根据$b$的符号判断直线与$y$轴的交点位置，进一步确定剩余经过的象限，最后就能得出不经过的象限。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k\ne0$）：
1. 观察函数$y=-x-2$，可得$k=-1＜0$，因此直线从左到右下降，必然经过第二、四象限；
2. 同时$b=-2＜0$，说明直线与$y$轴交于负半轴（即$x=0$时，$y=-2＜0$），因此直线还会经过第三象限；
综上，该一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
一次函数图象性质，一次函数系数与象限的关系
【点评】
本题是一次函数的基础常规题，核心考查一次函数中$k$、$b$的符号与图象经过象限的对应规律，熟练掌握相关性质即可快速准确求解。
【难度系数】
0.9
5. 已知一次函数的图象过$(0,3)$，且与直线$y=3x-1$平行，则这个一次函数的解析式为________.
答案
5. $y=3x+3$
解析
【分析】
要确定一次函数的解析式，我们通常使用待定系数法，先设解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），只需算出$k$和$b$的值即可。首先根据两直线平行的性质：互相平行的两个一次函数，自变量的系数$k$相等，结合已知平行的直线$y=3x-1$，可直接得出$k=3$；再将已知过的点$(0,3)$代入含$k$的解析式，就能求出$b$的值，最终得到完整的解析式。
【解析】
设这个一次函数的解析式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）。
1. 求$k$的值：
因为该一次函数的图象与直线$ y = 3x - 1 $平行，根据两平行一次函数的一次项系数相等，可得$ k = 3 $。
2. 求$b$的值：
已知函数图象过点$ (0, 3) $，将$ x = 0 $，$ y = 3 $，$ k = 3 $代入$ y = kx + b $，得：
$ 3 = 3 × 0 + b $
解得$ b = 3 $。
3. 得出解析式：
将$k=3$、$b=3$代入所设解析式，得$ y = 3x + 3 $。
【答案】
$ y=3x+3 $
【知识点】
待定系数法；一次函数平行性质；一次函数图象特征
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心考查点为平行直线的一次项系数相等的性质，结合待定系数法即可求解，掌握一次函数的基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要确定一次函数的解析式，我们通常使用待定系数法，先设解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），只需算出$k$和$b$的值即可。首先根据两直线平行的性质：互相平行的两个一次函数，自变量的系数$k$相等，结合已知平行的直线$y=3x-1$，可直接得出$k=3$；再将已知过的点$(0,3)$代入含$k$的解析式，就能求出$b$的值，最终得到完整的解析式。
【解析】
设这个一次函数的解析式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）。
1. 求$k$的值：
因为该一次函数的图象与直线$ y = 3x - 1 $平行，根据两平行一次函数的一次项系数相等，可得$ k = 3 $。
2. 求$b$的值：
已知函数图象过点$ (0, 3) $，将$ x = 0 $，$ y = 3 $，$ k = 3 $代入$ y = kx + b $，得：
$ 3 = 3 × 0 + b $
解得$ b = 3 $。
3. 得出解析式：
将$k=3$、$b=3$代入所设解析式，得$ y = 3x + 3 $。
【答案】
$ y=3x+3 $
【知识点】
待定系数法；一次函数平行性质；一次函数图象特征
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心考查点为平行直线的一次项系数相等的性质，结合待定系数法即可求解，掌握一次函数的基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
