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10. 如图,数轴上 A、B 两点对应的实数分别为 1 和$\sqrt{3}$.若点 A 关于点 B 的对称点为 C,则点 C所对应的实数为（
A.$2\sqrt{3}-1$
B.$1+\sqrt{3}$
C.$2+\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{2}+1$
A
）A.$2\sqrt{3}-1$
B.$1+\sqrt{3}$
C.$2+\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{2}+1$
答案
10. A 解析:设点C所对应的实数是x,则$x-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1$,解得$x=2\sqrt{3}-1$.
解析
【分析】
解题时首先要理解对称的含义：点A关于点B对称，说明点B是线段AC的中点，因此点B到点A、点B到点C的距离相等。接下来结合数轴上两点距离的计算规则（两点对应实数的差，大数减小数），我们可以设点C对应的实数为未知数，根据距离相等列方程求解即可。
【解析】
设点C所对应的实数是$x$。
∵点A关于点B的对称点为C，
∴$BC=AB$。
数轴上A对应1，B对应$\sqrt{3}$，因此$AB=\sqrt{3}-1$，$BC=x-\sqrt{3}$，可得方程：
$x-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1$
移项计算得：$x=\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=2\sqrt{3}-1$
【答案】
A
【知识点】
数轴上两点距离；对称的性质；实数与数轴对应
【点评】
本题是基础计算题，核心是抓住对称中点到两个对称点距离相等的性质建立等量关系，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时首先要理解对称的含义：点A关于点B对称，说明点B是线段AC的中点，因此点B到点A、点B到点C的距离相等。接下来结合数轴上两点距离的计算规则（两点对应实数的差，大数减小数），我们可以设点C对应的实数为未知数，根据距离相等列方程求解即可。
【解析】
设点C所对应的实数是$x$。
∵点A关于点B的对称点为C，
∴$BC=AB$。
数轴上A对应1，B对应$\sqrt{3}$，因此$AB=\sqrt{3}-1$，$BC=x-\sqrt{3}$，可得方程：
$x-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1$
移项计算得：$x=\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=2\sqrt{3}-1$
【答案】
A
【知识点】
数轴上两点距离；对称的性质；实数与数轴对应
【点评】
本题是基础计算题，核心是抓住对称中点到两个对称点距离相等的性质建立等量关系，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
11. 如图,数轴上 A、B 两点分别对应实数 a、b,现有下列结论:①$ab＜0$,②$a+b＜0$,③$a-b＞1$,④$a^2 - b^2 ＜ 0$.其中正确的结论有（
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
A
）A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
答案
11. A 解析:由图可知,a、b异号,
∴$ab＜0$,故①正确;
∵$|a|＜|b|$,且$a＞0,b＜0$,
∴$a+b＜0$,故②正确;
∵$b＜-1,a＞0$,
∴$a-b＞1$,故③正确;
∵$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$,且$a+b＜0,a-b＞0$,
∴$(a+b)(a-b)＜0$,
∴$a^2-b^2＜0$,故④正确.
∴$ab＜0$,故①正确;
∵$|a|＜|b|$,且$a＞0,b＜0$,
∴$a+b＜0$,故②正确;
∵$b＜-1,a＞0$,
∴$a-b＞1$,故③正确;
∵$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$,且$a+b＜0,a-b＞0$,
∴$(a+b)(a-b)＜0$,
∴$a^2-b^2＜0$,故④正确.
解析
【分析】
解题首先要从数轴提取a、b的相关信息：观察数轴可得a是正数，b是小于-1的负数，且b的绝对值大于a的绝对值。接下来逐个验证四个结论：①判断两数乘积的符号，根据“异号两数相乘得负”判断；②判断两数和的符号，根据“异号两数相加，取绝对值较大的数的符号”判断；③判断两数差的范围，根据“减去一个负数等于加上它的相反数”转化为加法判断；④判断平方差的符号，可利用平方差公式因式分解，结合前面得到的a+b、a-b的符号判断乘积的符号即可。
【解析】
解：由数轴可得：$a＞0$，$b＜-1$，且$|b|＞|a|$。
①$\because$ a、b异号，$\therefore ab＜0$，故①正确；
②$\because$ 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，$|b|＞|a|$且b为负，$\therefore a+b＜0$，故②正确；
③$\because b＜-1$，$\therefore -b＞1$，又$\because a＞0$，$\therefore a-b=a+(-b)＞0+1=1$，故③正确；
④$\because a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，由②得$a+b＜0$，由③得$a-b＞0$，两数相乘异号得负，$\therefore (a+b)(a-b)＜0$，即$a^2-b^2＜0$，故④正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】A
【知识点】
数轴的应用、实数的运算、平方差公式
【点评】
本题是数轴与实数运算结合的典型题目，解题核心是先准确从数轴获取a、b的正负、绝对值大小等信息，再结合实数运算的符号法则逐一验证结论，考查基础运算和信息提取能力。
【难度系数】
0.8
解题首先要从数轴提取a、b的相关信息：观察数轴可得a是正数，b是小于-1的负数，且b的绝对值大于a的绝对值。接下来逐个验证四个结论：①判断两数乘积的符号，根据“异号两数相乘得负”判断；②判断两数和的符号，根据“异号两数相加，取绝对值较大的数的符号”判断；③判断两数差的范围，根据“减去一个负数等于加上它的相反数”转化为加法判断；④判断平方差的符号，可利用平方差公式因式分解，结合前面得到的a+b、a-b的符号判断乘积的符号即可。
【解析】
解：由数轴可得：$a＞0$，$b＜-1$，且$|b|＞|a|$。
①$\because$ a、b异号，$\therefore ab＜0$，故①正确；
②$\because$ 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，$|b|＞|a|$且b为负，$\therefore a+b＜0$，故②正确；
③$\because b＜-1$，$\therefore -b＞1$，又$\because a＞0$，$\therefore a-b=a+(-b)＞0+1=1$，故③正确；
④$\because a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，由②得$a+b＜0$，由③得$a-b＞0$，两数相乘异号得负，$\therefore (a+b)(a-b)＜0$，即$a^2-b^2＜0$，故④正确。
综上，4个结论均正确。
【答案】A
【知识点】
数轴的应用、实数的运算、平方差公式
【点评】
本题是数轴与实数运算结合的典型题目，解题核心是先准确从数轴获取a、b的正负、绝对值大小等信息，再结合实数运算的符号法则逐一验证结论，考查基础运算和信息提取能力。
【难度系数】
0.8
12. 如图,将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别绕表示1的点顺时针旋转,使OA、OD落在数轴上,点A、D在数轴上对应的数分别为a、b,则$b-a=$
$3-\sqrt{7}$
.答案
12. $3-\sqrt{7}$ 解析:
∵正方形OABC和正方形ODEF的面积分别为7和9,
∴$OA=\sqrt{7},OD=3$,
∴$a=OA+1=\sqrt{7}+1,b=OD+1=4$,
∴$b-a=3-\sqrt{7}$.
∵正方形OABC和正方形ODEF的面积分别为7和9,
∴$OA=\sqrt{7},OD=3$,
∴$a=OA+1=\sqrt{7}+1,b=OD+1=4$,
∴$b-a=3-\sqrt{7}$.
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，根据正方形面积与边长的关系，结合算术平方根的意义，求出两个正方形的边长OA、OD；第二步，明确旋转后正方形的顶点O与数轴上表示1的点重合，且OA、OD都落在1右侧的数轴上，因此点A对应的数a为1加上OA的长度，点D对应的数b为1加上OD的长度；第三步，将a、b代入b-a计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵正方形OABC的面积为7，正方形ODEF的面积为9，
∴正方形边长$OA=\sqrt{7}$，$OD=\sqrt{9}=3$，
∵两个正方形绕数轴上表示1的点顺时针旋转后，OA、OD落在数轴上，即旋转后点O与数轴上表示1的点重合，A、D都在1的右侧，
∴点A对应的数$a=1+\sqrt{7}$，点D对应的数$b=1+3=4$，
∴$b-a=4-(1+\sqrt{7})=3-\sqrt{7}$。
【答案】
$3-\sqrt{7}$
【知识点】
1. 算术平方根的计算
2. 正方形面积公式
3. 数轴与实数的对应
【点评】
本题是实数与几何结合的基础题型，解题的核心是理清旋转后点的位置关系，正确求出数轴上两点对应的实数，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思考：第一步，根据正方形面积与边长的关系，结合算术平方根的意义，求出两个正方形的边长OA、OD；第二步，明确旋转后正方形的顶点O与数轴上表示1的点重合，且OA、OD都落在1右侧的数轴上，因此点A对应的数a为1加上OA的长度，点D对应的数b为1加上OD的长度；第三步，将a、b代入b-a计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵正方形OABC的面积为7，正方形ODEF的面积为9，
∴正方形边长$OA=\sqrt{7}$，$OD=\sqrt{9}=3$，
∵两个正方形绕数轴上表示1的点顺时针旋转后，OA、OD落在数轴上，即旋转后点O与数轴上表示1的点重合，A、D都在1的右侧，
∴点A对应的数$a=1+\sqrt{7}$，点D对应的数$b=1+3=4$，
∴$b-a=4-(1+\sqrt{7})=3-\sqrt{7}$。
【答案】
$3-\sqrt{7}$
【知识点】
1. 算术平方根的计算
2. 正方形面积公式
3. 数轴与实数的对应
【点评】
本题是实数与几何结合的基础题型，解题的核心是理清旋转后点的位置关系，正确求出数轴上两点对应的实数，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图,将面积为5的正方形放在数轴上,以表示-1的点为圆心、正方形的边长为半径作圆,交数轴于点A、B,则点A表示的数为
$\sqrt{5}-1$
.答案
13. $\sqrt{5}-1$
解析
【分析】
解题时先从已知条件逐步推导：第一步利用正方形面积公式求边长，正方形面积等于边长的平方，已知面积为5，边长就是5的算术平方根，该边长同时是所作圆的半径；第二步结合圆的性质，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，再根据数轴上点的位置规律，数轴右侧的点对应的数比圆心对应的数大，因此点A表示的数等于圆心对应的数（-1）加上半径长度，最后化简即可得到结果。
【解析】
解：
∵正方形的面积为5，
∴正方形的边长为$\sqrt{5}$，即所作圆的半径为$\sqrt{5}$。
∵圆的圆心为数轴上表示-1的点，且点A在圆心的右侧，
∴点A表示的数为$-1+\sqrt{5}=\sqrt{5}-1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
算术平方根的应用，数轴与实数，圆的基本性质
【点评】
本题是几何与代数结合的基础综合题，考查学生对基础知识点的融合运用能力，解题的核心是先求出圆的半径，再结合数轴上点的位置特征计算对应数值。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件逐步推导：第一步利用正方形面积公式求边长，正方形面积等于边长的平方，已知面积为5，边长就是5的算术平方根，该边长同时是所作圆的半径；第二步结合圆的性质，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，再根据数轴上点的位置规律，数轴右侧的点对应的数比圆心对应的数大，因此点A表示的数等于圆心对应的数（-1）加上半径长度，最后化简即可得到结果。
【解析】
解：
∵正方形的面积为5，
∴正方形的边长为$\sqrt{5}$，即所作圆的半径为$\sqrt{5}$。
∵圆的圆心为数轴上表示-1的点，且点A在圆心的右侧，
∴点A表示的数为$-1+\sqrt{5}=\sqrt{5}-1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
算术平方根的应用，数轴与实数，圆的基本性质
【点评】
本题是几何与代数结合的基础综合题，考查学生对基础知识点的融合运用能力，解题的核心是先求出圆的半径，再结合数轴上点的位置特征计算对应数值。
【难度系数】
0.7
14. 如图,一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬了 3 个单位长度到达点 B,点 A 表示$-\sqrt{2}$,设点 B 所表示的数为 m.
(1)实数 m 的值是
(2)若数轴上的 C、D 两点分别表示实数 c 和 d,且$|2c+4|$与$\sqrt{d-4}$互为相反数,求$3d-2c$的平方根.
(3)已知数轴上的点 E 表示实数 x,且$1＜x＜m$,化简:$|x-1|+\sqrt{(x-2)^2}$.
(1)实数 m 的值是
$-\sqrt{2}+3$
.(2)若数轴上的 C、D 两点分别表示实数 c 和 d,且$|2c+4|$与$\sqrt{d-4}$互为相反数,求$3d-2c$的平方根.
(3)已知数轴上的点 E 表示实数 x,且$1＜x＜m$,化简:$|x-1|+\sqrt{(x-2)^2}$.
答案
14. (1)$-\sqrt{2}+3$
(2)
∵$|2c+4|$与$\sqrt{d-4}$互为相反数,
∴$|2c+4|+\sqrt{d-4}=0$,
∴$c=-2,d=4$,
∴$3d-2c=3×4-2×(-2)=16$,
∴$3d-2c$的平方根为$\pm\sqrt{16}=\pm4$.
(3)
∵$1＜x＜m,m=-\sqrt{2}+3$,
∴$x-1＞0,x-2＜0$,
∴$|x-1|+\sqrt{(x-2)^2}=|x-1|+|x-2|=x-1+2-x=1$.
(2)
∵$|2c+4|$与$\sqrt{d-4}$互为相反数,
∴$|2c+4|+\sqrt{d-4}=0$,
∴$c=-2,d=4$,
∴$3d-2c=3×4-2×(-2)=16$,
∴$3d-2c$的平方根为$\pm\sqrt{16}=\pm4$.
(3)
∵$1＜x＜m,m=-\sqrt{2}+3$,
∴$x-1＞0,x-2＜0$,
∴$|x-1|+\sqrt{(x-2)^2}=|x-1|+|x-2|=x-1+2-x=1$.
解析
【分析】
(1) 数轴上点向右平移时，对应的数等于原数加上平移的单位长度，已知点A表示的数和向右平移的长度，直接相加即可求出m的值。
(2) 互为相反数的两个数和为0，结合绝对值和算术平方根的非负性：两个非负数相加得0时，这两个非负数均为0，据此列方程求出c、d的值，再代入计算3d-2c，最后求其平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
(3) 先估算$m=3-\sqrt{2}$的大小，可得$1＜m＜2$，结合已知$1＜x＜m$，可判断$x-1$和$x-2$的正负性，再根据绝对值的化简规则、$\sqrt{a^2}=|a|$的性质去掉绝对值和根号，合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
(1) 蚂蚁从点A向右爬3个单位长度到达点B，点A表示$-\sqrt{2}$，因此$m = -\sqrt{2} + 3$。
(2) 解：
∵$|2c+4|$与$\sqrt{d-4}$互为相反数，
∴$|2c+4|+\sqrt{d-4}=0$，
又
∵$|2c+4|≥0$，$\sqrt{d-4}≥0$，
∴$2c+4=0$，$d-4=0$，
解得$c=-2$，$d=4$，
代入得$3d-2c=3×4 - 2×(-2)=12+4=16$，
∴$3d-2c$的平方根为$\pm\sqrt{16}=\pm4$。
(3) 解：
∵$m=3-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}\approx1.414$，
∴$1＜m＜2$，
又
∵$1＜x＜m$，
∴$x-1＞0$，$x-2＜0$，
∴$|x-1|+\sqrt{(x-2)^2}$
$=|x-1|+|x-2|$
$=(x-1)+(2-x)$
$=1$。
【答案】
(1) $3-\sqrt{2}$
(2) $\pm4$
(3) $1$
【知识点】
数轴上点的平移，非负数的性质，二次根式与绝对值化简
【点评】
本题是实数相关的基础综合题，考查了数轴、非负性、平方根、二次根式和绝对值化简等核心知识点，解题时要注意正数的平方根有两个，化简绝对值时要先判断代数式的正负性，整体难度不大，有助于巩固实数的基础应用。
【难度系数】
0.7
(1) 数轴上点向右平移时，对应的数等于原数加上平移的单位长度，已知点A表示的数和向右平移的长度，直接相加即可求出m的值。
(2) 互为相反数的两个数和为0，结合绝对值和算术平方根的非负性：两个非负数相加得0时，这两个非负数均为0，据此列方程求出c、d的值，再代入计算3d-2c，最后求其平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
(3) 先估算$m=3-\sqrt{2}$的大小，可得$1＜m＜2$，结合已知$1＜x＜m$，可判断$x-1$和$x-2$的正负性，再根据绝对值的化简规则、$\sqrt{a^2}=|a|$的性质去掉绝对值和根号，合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
(1) 蚂蚁从点A向右爬3个单位长度到达点B，点A表示$-\sqrt{2}$，因此$m = -\sqrt{2} + 3$。
(2) 解：
∵$|2c+4|$与$\sqrt{d-4}$互为相反数，
∴$|2c+4|+\sqrt{d-4}=0$，
又
∵$|2c+4|≥0$，$\sqrt{d-4}≥0$，
∴$2c+4=0$，$d-4=0$，
解得$c=-2$，$d=4$，
代入得$3d-2c=3×4 - 2×(-2)=12+4=16$，
∴$3d-2c$的平方根为$\pm\sqrt{16}=\pm4$。
(3) 解：
∵$m=3-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}\approx1.414$，
∴$1＜m＜2$，
又
∵$1＜x＜m$，
∴$x-1＞0$，$x-2＜0$，
∴$|x-1|+\sqrt{(x-2)^2}$
$=|x-1|+|x-2|$
$=(x-1)+(2-x)$
$=1$。
【答案】
(1) $3-\sqrt{2}$
(2) $\pm4$
(3) $1$
【知识点】
数轴上点的平移，非负数的性质，二次根式与绝对值化简
【点评】
本题是实数相关的基础综合题，考查了数轴、非负性、平方根、二次根式和绝对值化简等核心知识点，解题时要注意正数的平方根有两个，化简绝对值时要先判断代数式的正负性，整体难度不大，有助于巩固实数的基础应用。
【难度系数】
0.7
