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题组 多变量方案选择问题
答案
解：（以该课时典型题为例）
（1）总人数为$234+6=240$人，
∵每辆汽车上至少要有1名教师，共有6名教师，
∴租车数量最多为6辆。
若租5辆车，最大载客量为$45×5=225＜240$，无法承载全部人员，
∴共需租6辆汽车。
（2）设租用甲种客车$x$辆，则租用乙种客车$(6-x)$辆，租车总费用为$y$元。
根据题意，列不等式组：
$\begin{cases}45x + 30(6-x) ≥ 240 \\ 400x + 280(6-x) ≤ 2300\end{cases}$
解第一个不等式：
$45x + 180 - 30x ≥ 240$
$15x ≥ 60$
$x ≥ 4$
解第二个不等式：
$400x + 1680 - 280x ≤ 2300$
$120x ≤ 620$
$x ≤ \frac{31}{6} \approx 5.17$
∵$x$为正整数，∴$x=4$或$5$。
总费用$y = 400x + 280(6-x) = 120x + 1680$
∵$120＞0$，∴$y$随$x$的增大而增大，
∴当$x=4$时，$y$取得最小值，$y_{最小}=120×4 + 1680=2160$，
此时租用乙种客车$6-4=2$辆。
答：（1）共需租6辆汽车；（2）最节省费用的租车方案是租用甲种客车4辆，乙种客车2辆。
（1）总人数为$234+6=240$人，
∵每辆汽车上至少要有1名教师，共有6名教师，
∴租车数量最多为6辆。
若租5辆车，最大载客量为$45×5=225＜240$，无法承载全部人员，
∴共需租6辆汽车。
（2）设租用甲种客车$x$辆，则租用乙种客车$(6-x)$辆，租车总费用为$y$元。
根据题意，列不等式组：
$\begin{cases}45x + 30(6-x) ≥ 240 \\ 400x + 280(6-x) ≤ 2300\end{cases}$
解第一个不等式：
$45x + 180 - 30x ≥ 240$
$15x ≥ 60$
$x ≥ 4$
解第二个不等式：
$400x + 1680 - 280x ≤ 2300$
$120x ≤ 620$
$x ≤ \frac{31}{6} \approx 5.17$
∵$x$为正整数，∴$x=4$或$5$。
总费用$y = 400x + 280(6-x) = 120x + 1680$
∵$120＞0$，∴$y$随$x$的增大而增大，
∴当$x=4$时，$y$取得最小值，$y_{最小}=120×4 + 1680=2160$，
此时租用乙种客车$6-4=2$辆。
答：（1）共需租6辆汽车；（2）最节省费用的租车方案是租用甲种客车4辆，乙种客车2辆。
1. 某超市需每天从外地调运鸡蛋1200kg超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800kg，乙养殖场每天最多可调出900kg，从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如下表：
(1) 若某天调运鸡蛋的总运费为2670元，则从甲、乙两养殖场各调运了多少千克鸡蛋？
(2) 设从甲养殖场调运 x kg鸡蛋，总运费为 W 元，试写出 W与 x的函数解析式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？
(1) 若某天调运鸡蛋的总运费为2670元，则从甲、乙两养殖场各调运了多少千克鸡蛋？
(2) 设从甲养殖场调运 x kg鸡蛋，总运费为 W 元，试写出 W与 x的函数解析式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？
答案
1. 解（1）设从甲养殖场调运鸡蛋$x\ \mathrm{kg}$，
从乙养殖场调运鸡蛋$y\ \mathrm{kg}$.根据题
意，得
$\begin{cases} 200×0.012x+140×0.015y=2\ 670,\\ x+y=1\ 200,\\ \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=500,\\ y=700.\\ \end{cases}$
因为$500＜800$，$700＜900$，
所以符合条件.
答：从甲、乙两养殖场分别调运了
$500\ \mathrm{kg}$鸡蛋和$700\ \mathrm{kg}$鸡蛋.
（2）从甲养殖场调运$x\ \mathrm{kg}$鸡蛋，则从乙
养殖场调运$(1\ 200-x)\ \mathrm{kg}$鸡蛋，根据
题意，得$\begin{cases} x≤800,\\ 1\ 200-x≤900,\\ \end{cases}$解得$300≤$
$x≤800$.
总运费$W=200×0.012x+140×$
$0.015×(1\ 200-x)=0.3x+2\ 520$
$(300≤ x≤800)$.
因为$0.3＞0$，
所以$W$随$x$的增大而增大，
所以当$x=300$时，$W_{\mathrm{最小}}=2\ 610$.
所以每天从甲养殖场调运$300\ \mathrm{kg}$鸡蛋，
从乙养殖场调运$900\ \mathrm{kg}$鸡蛋，每天的总
运费最省.
从乙养殖场调运鸡蛋$y\ \mathrm{kg}$.根据题
意，得
$\begin{cases} 200×0.012x+140×0.015y=2\ 670,\\ x+y=1\ 200,\\ \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=500,\\ y=700.\\ \end{cases}$
因为$500＜800$，$700＜900$，
所以符合条件.
答：从甲、乙两养殖场分别调运了
$500\ \mathrm{kg}$鸡蛋和$700\ \mathrm{kg}$鸡蛋.
（2）从甲养殖场调运$x\ \mathrm{kg}$鸡蛋，则从乙
养殖场调运$(1\ 200-x)\ \mathrm{kg}$鸡蛋，根据
题意，得$\begin{cases} x≤800,\\ 1\ 200-x≤900,\\ \end{cases}$解得$300≤$
$x≤800$.
总运费$W=200×0.012x+140×$
$0.015×(1\ 200-x)=0.3x+2\ 520$
$(300≤ x≤800)$.
因为$0.3＞0$，
所以$W$随$x$的增大而增大，
所以当$x=300$时，$W_{\mathrm{最小}}=2\ 610$.
所以每天从甲养殖场调运$300\ \mathrm{kg}$鸡蛋，
从乙养殖场调运$900\ \mathrm{kg}$鸡蛋，每天的总
运费最省.
2. 为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知1台A型机器人每小时分拣垃圾0.4t，1台B型机器人每小时分拣垃圾0.2t.
(1) 某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20t.设购买A型机器人 a台( $ 1 0 ≤ a ≤ 4 5 $)，B型机器人 b台，请用含 a的代数式表示 b；
(2) 机器人公司的报价如下表：
在(1)的条件下，设购买总费用为 w万元，则如何购买使得总费用 w最少？请说明理由.
(1) 某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20t.设购买A型机器人 a台( $ 1 0 ≤ a ≤ 4 5 $)，B型机器人 b台，请用含 a的代数式表示 b；
(2) 机器人公司的报价如下表：
在(1)的条件下，设购买总费用为 w万元，则如何购买使得总费用 w最少？请说明理由.
答案
2. 解（1）由题意得$0.4a+0.2b=20$，解
得$b=100-2a\ (10≤ a≤45)$.
（2）①当$10≤ a＜30$时，$40＜ b≤80$.
$w=20a+0.8×12(100-2a)=$
$0.8a+960$.
因为$0.8＞0$，
所以$w$随$a$的增大而增大.
所以当$a=10$时，$w$有最小值.
$w_{\mathrm{最小}}=968$.
②当$30≤ a≤35$时，$30≤ b≤40$.$w=$
$20a×0.9+0.8×12(100-2a)=$
$-1.2a+960$.
因为$-1.2＜0$，
所以$w$随$a$的增大而减小.
所以当$a=35$时，$w$有最小值.
$w_{\mathrm{最小}}=918$.
③当$35＜ a≤45$时，$10≤ b＜30$.$w=$
$0.9×20a+12(100-2a)=-6a+1\ 200$.
因为$-6＜0$，
所以$w$随$a$的增大而减小.
所以当$a=45$时，$w$有最小值.
$w_{\mathrm{最小}}=930$.
因为$918＜930＜968$，
所以购买A型机器人35台，B型机器人
30台时，总费用$w$最少.
得$b=100-2a\ (10≤ a≤45)$.
（2）①当$10≤ a＜30$时，$40＜ b≤80$.
$w=20a+0.8×12(100-2a)=$
$0.8a+960$.
因为$0.8＞0$，
所以$w$随$a$的增大而增大.
所以当$a=10$时，$w$有最小值.
$w_{\mathrm{最小}}=968$.
②当$30≤ a≤35$时，$30≤ b≤40$.$w=$
$20a×0.9+0.8×12(100-2a)=$
$-1.2a+960$.
因为$-1.2＜0$，
所以$w$随$a$的增大而减小.
所以当$a=35$时，$w$有最小值.
$w_{\mathrm{最小}}=918$.
③当$35＜ a≤45$时，$10≤ b＜30$.$w=$
$0.9×20a+12(100-2a)=-6a+1\ 200$.
因为$-6＜0$，
所以$w$随$a$的增大而减小.
所以当$a=45$时，$w$有最小值.
$w_{\mathrm{最小}}=930$.
因为$918＜930＜968$，
所以购买A型机器人35台，B型机器人
30台时，总费用$w$最少.
