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1. 按要求写出两个数，使它们的最大公因数是1。
(1) 两个数都是奇数：(
(2) 两个数都是合数：(
(3) 一个质数，一个合数：(
(4) 一个偶数，一个质数：(
(1) 两个数都是奇数：(
1
)和(3
)。(2) 两个数都是合数：(
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)和(9
)。(3) 一个质数，一个合数：(
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)和(9
)。(4) 一个偶数，一个质数：(
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)和(3
)。答案
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8
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解析
【分析】
首先明确：最大公因数是1的两个数为互质数，即两数的公因数只有1。接下来根据各小题的限定条件，结合奇数、偶数、质数、合数的定义来找符合要求的互质数：
1. 两个都是奇数：选择两个奇数，它们除了1没有其他共同因数，比如1和3，1的因数只有1，3的因数是1和3，最大公因数为1；
2. 两个都是合数：挑选两个合数，它们的公因数仅为1，比如8和9，8的因数有1、2、4、8，9的因数有1、3、9，无其他公因数；
3. 一个质数一个合数：选一个质数与一个合数，二者只有公因数1，比如质数2和合数9，2的因数是1、2，9的因数是1、3、9，最大公因数是1；
4. 一个偶数一个质数：偶数中只有2是质数，可选择2和另一个质数，比如2和3，它们的公因数只有1。
【解析】
(1) 1和3均为奇数，因数分别为{1}、{1,3}，公因数只有1，最大公因数是1，符合要求；
(2) 8和9均为合数，8的因数：1、2、4、8，9的因数：1、3、9，公因数只有1，最大公因数是1，符合要求；
(3) 2是质数，9是合数，2的因数：1、2，9的因数：1、3、9，公因数只有1，最大公因数是1，符合要求；
(4) 2是偶数，3是质数，2的因数：1、2，3的因数：1、3，公因数只有1，最大公因数是1，符合要求。
【答案】
(1) 1；3
(2) 8；9
(3) 2；9
(4) 2；3
【知识点】
互质数概念、质数与合数、奇数与偶数
【点评】
本题核心考查互质数的定义，需要结合奇数、偶数、质数、合数的概念来筛选符合条件的数，解题时要准确把握各类数的特征，明确互质数的判定标准：两数公因数只有1。
【难度系数】
0.7
首先明确：最大公因数是1的两个数为互质数，即两数的公因数只有1。接下来根据各小题的限定条件，结合奇数、偶数、质数、合数的定义来找符合要求的互质数：
1. 两个都是奇数：选择两个奇数，它们除了1没有其他共同因数，比如1和3，1的因数只有1，3的因数是1和3，最大公因数为1；
2. 两个都是合数：挑选两个合数，它们的公因数仅为1，比如8和9，8的因数有1、2、4、8，9的因数有1、3、9，无其他公因数；
3. 一个质数一个合数：选一个质数与一个合数，二者只有公因数1，比如质数2和合数9，2的因数是1、2，9的因数是1、3、9，最大公因数是1；
4. 一个偶数一个质数：偶数中只有2是质数，可选择2和另一个质数，比如2和3，它们的公因数只有1。
【解析】
(1) 1和3均为奇数，因数分别为{1}、{1,3}，公因数只有1，最大公因数是1，符合要求；
(2) 8和9均为合数，8的因数：1、2、4、8，9的因数：1、3、9，公因数只有1，最大公因数是1，符合要求；
(3) 2是质数，9是合数，2的因数：1、2，9的因数：1、3、9，公因数只有1，最大公因数是1，符合要求；
(4) 2是偶数，3是质数，2的因数：1、2，3的因数：1、3，公因数只有1，最大公因数是1，符合要求。
【答案】
(1) 1；3
(2) 8；9
(3) 2；9
(4) 2；3
【知识点】
互质数概念、质数与合数、奇数与偶数
【点评】
本题核心考查互质数的定义，需要结合奇数、偶数、质数、合数的概念来筛选符合条件的数，解题时要准确把握各类数的特征，明确互质数的判定标准：两数公因数只有1。
【难度系数】
0.7
2. 鲜花店在母亲节到来之际，用下面两种花搭配，扎成同样的花束(正好用完，没有剩余)。最多可以扎多少束？
答案
52的因数：1,2,4,13,26,52
36的因数：1,2,3,4,6,9,12,18,36
52和36的最大公因数是4
答：最多可以扎4束。
36的因数：1,2,3,4,6,9,12,18,36
52和36的最大公因数是4
答：最多可以扎4束。
解析
【分析】
要解决“最多可以扎多少束同样的花束且正好用完没有剩余”的问题，关键是理解扎的束数需要同时是52和36的因数，因为每束花中两种花的数量固定，束数要能整除两种花的总数，而“最多”对应的就是这两个数的最大公因数。我们可以先分别找出52和36的所有因数，再从中找到它们的最大公因数，这个最大公因数就是最多能扎的花束数。
【解析】
1. 找出52的所有因数：
52的因数有1、2、4、13、26、52；
2. 找出36的所有因数：
36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36；
3. 确定52和36的最大公因数：
对比两个数的因数，它们的公因数为1、2、4，其中最大的是4，即最多可以扎4束。
【答案】
最多可以扎4束。
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，需要学生理解“正好用完无剩余”对应两个数的公因数，“最多”对应最大公因数，同时要掌握找一个数因数的方法，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
要解决“最多可以扎多少束同样的花束且正好用完没有剩余”的问题，关键是理解扎的束数需要同时是52和36的因数，因为每束花中两种花的数量固定，束数要能整除两种花的总数，而“最多”对应的就是这两个数的最大公因数。我们可以先分别找出52和36的所有因数，再从中找到它们的最大公因数，这个最大公因数就是最多能扎的花束数。
【解析】
1. 找出52的所有因数：
52的因数有1、2、4、13、26、52；
2. 找出36的所有因数：
36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36；
3. 确定52和36的最大公因数：
对比两个数的因数，它们的公因数为1、2、4，其中最大的是4，即最多可以扎4束。
【答案】
最多可以扎4束。
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，需要学生理解“正好用完无剩余”对应两个数的公因数，“最多”对应最大公因数，同时要掌握找一个数因数的方法，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
3. 有三根木棒，分别长20 cm，44 cm，48 cm。要把它们都截成同样长的小棒而且没有剩余。
(1) 每根小棒最长是多少厘米？
(2) 最少截出多少根小棒？
(1) 每根小棒最长是多少厘米？
(2) 最少截出多少根小棒？
答案
20,44,48的最大公因数是4
答：每根小棒最长是4 cm。
20÷4+44÷4+48÷4=28(根)
答：最少截出28根小棒。
答：每根小棒最长是4 cm。
20÷4+44÷4+48÷4=28(根)
答：最少截出28根小棒。
解析
【分析】
(1) 要把三根木棒截成同样长且无剩余的小棒，每根小棒的最长长度就是这三个数的最大公因数，因为最大公因数是能同时整除这三个数的最大整数，刚好满足“最长”且“无剩余”的要求。
(2) 要得到最少的小棒根数，需要让每根小棒的长度尽可能长（也就是第一问求出的最大公因数），分别计算每根木棒能截出的小棒数量，再将结果相加就能得到总根数。
【解析】
(1) 求20、44、48的最大公因数：
分解质因数可得：
20 = 2×2×5
44 = 2×2×11
48 = 2×2×2×2×3
三个数共有的质因数为2和2，因此最大公因数是2×2=4。
答：每根小棒最长是4 cm。
(2) 计算每根木棒截出的小棒数量：
20÷4 = 5（根）
44÷4 = 11（根）
48÷4 = 12（根）
总根数为：5+11+12 = 28（根）
答：最少截出28根小棒。
【答案】
(1) 4厘米；(2) 28根
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际问题中的运用，核心是理解“截成同样长且无剩余的最长小棒”对应求三个数的最大公因数，“最少截出根数”需结合最大公因数计算，锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 要把三根木棒截成同样长且无剩余的小棒，每根小棒的最长长度就是这三个数的最大公因数，因为最大公因数是能同时整除这三个数的最大整数，刚好满足“最长”且“无剩余”的要求。
(2) 要得到最少的小棒根数，需要让每根小棒的长度尽可能长（也就是第一问求出的最大公因数），分别计算每根木棒能截出的小棒数量，再将结果相加就能得到总根数。
【解析】
(1) 求20、44、48的最大公因数：
分解质因数可得：
20 = 2×2×5
44 = 2×2×11
48 = 2×2×2×2×3
三个数共有的质因数为2和2，因此最大公因数是2×2=4。
答：每根小棒最长是4 cm。
(2) 计算每根木棒截出的小棒数量：
20÷4 = 5（根）
44÷4 = 11（根）
48÷4 = 12（根）
总根数为：5+11+12 = 28（根）
答：最少截出28根小棒。
【答案】
(1) 4厘米；(2) 28根
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际问题中的运用，核心是理解“截成同样长且无剩余的最长小棒”对应求三个数的最大公因数，“最少截出根数”需结合最大公因数计算，锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
4. 大菜村有一块长600 m，宽500 m的长方形土地，现在要把它刚好分割成若干块面积最大且相等的正方形菜地。
(1) 每块正方形菜地的边长最大是多少米？
(2) 分割成多少块正方形菜地？
(1) 每块正方形菜地的边长最大是多少米？
(2) 分割成多少块正方形菜地？
答案
600和500的最大公因数是100
答：每块正方形菜地的边长最大是100 m。
(600÷100)×(500÷100)=30(块)
答：分割成30块正方形菜地。
答：每块正方形菜地的边长最大是100 m。
(600÷100)×(500÷100)=30(块)
答：分割成30块正方形菜地。
解析
【分析】
要解决这两个问题，关键是理解“刚好分割成若干块面积最大且相等的正方形”的含义：
1. 第(1)问中，正方形的边长必须同时能整除长方形的长和宽，这样才能保证刚好分割无剩余，因此边长的最大值就是长方形长和宽的最大公因数，需要先求出600和500的最大公因数。
2. 第(2)问中，先分别计算长方形的长、宽里各包含多少个正方形的边长，得到长、宽方向的分割块数，再将两个方向的块数相乘，即可得到总块数。
【解析】
(1) 求600和500的最大公因数：
通过分解质因数可得：
$600 = 2×2×2×3×5×5$
$500 = 2×2×5×5×5$
两者公有的质因数为$2、2、5、5$，因此最大公因数为$2×2×5×5 = 100$。
即每块正方形菜地的边长最大是100米。
(2) 计算分割的总块数：
长方向可分割的块数：$600÷100 = 6$（块）
宽方向可分割的块数：$500÷100 = 5$（块）
总块数：$6×5 = 30$（块）
【答案】
(1) 每块正方形菜地的边长最大是100米；
(2) 分割成30块正方形菜地。
【知识点】
最大公因数的应用，图形分割问题
【点评】
本题考查最大公因数在实际图形分割中的应用，核心是理解“面积最大且刚好分割”的正方形边长就是长方形长与宽的最大公因数，需要掌握最大公因数的求法，并能结合图形分割逻辑计算总块数，属于基础应用题型，有助于提升学生将数学知识与实际问题结合的能力。
【难度系数】
0.8
要解决这两个问题，关键是理解“刚好分割成若干块面积最大且相等的正方形”的含义：
1. 第(1)问中，正方形的边长必须同时能整除长方形的长和宽，这样才能保证刚好分割无剩余，因此边长的最大值就是长方形长和宽的最大公因数，需要先求出600和500的最大公因数。
2. 第(2)问中，先分别计算长方形的长、宽里各包含多少个正方形的边长，得到长、宽方向的分割块数，再将两个方向的块数相乘，即可得到总块数。
【解析】
(1) 求600和500的最大公因数：
通过分解质因数可得：
$600 = 2×2×2×3×5×5$
$500 = 2×2×5×5×5$
两者公有的质因数为$2、2、5、5$，因此最大公因数为$2×2×5×5 = 100$。
即每块正方形菜地的边长最大是100米。
(2) 计算分割的总块数：
长方向可分割的块数：$600÷100 = 6$（块）
宽方向可分割的块数：$500÷100 = 5$（块）
总块数：$6×5 = 30$（块）
【答案】
(1) 每块正方形菜地的边长最大是100米；
(2) 分割成30块正方形菜地。
【知识点】
最大公因数的应用，图形分割问题
【点评】
本题考查最大公因数在实际图形分割中的应用，核心是理解“面积最大且刚好分割”的正方形边长就是长方形长与宽的最大公因数，需要掌握最大公因数的求法，并能结合图形分割逻辑计算总块数，属于基础应用题型，有助于提升学生将数学知识与实际问题结合的能力。
【难度系数】
0.8
5. 【提优挑战】李老师买回60支圆珠笔和30本笔记本，准备将它们作为奖品平均奖给班里的三好学生，结果发现多了6支圆珠笔，但少了6本笔记本。班里最多有多少名三好学生？
答案
60-6=54(支)
30+6=36(本)
54与36的最大公因数是18
答：班里最多有18名三好学生。
30+6=36(本)
54与36的最大公因数是18
答：班里最多有18名三好学生。
解析
【分析】
首先要理清题目中的数量关系：把60支圆珠笔分给三好学生多了6支，说明实际能正好分完的圆珠笔数量是总数量减去多出来的部分；30本笔记本分给三好学生少了6本，说明实际能正好分完的笔记本数量是总数量加上缺少的部分。而三好学生的人数必须同时能整除这两个“正好分完”的数量，要求最多的人数，就是求这两个数的最大公因数。
【解析】
1. 计算可正好分配的圆珠笔数量：
$60 - 6 = 54$（支）
2. 计算可正好分配的笔记本数量：
$30 + 6 = 36$（本）
3. 求54和36的最大公因数：
对54和36分解质因数，$54=2×3×3×3$，$36=2×2×3×3$，二者公有的质因数乘积为$2×3×3=18$，即54和36的最大公因数是18。
答：班里最多有18名三好学生。
【答案】
18名
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际分配问题中的应用，解题核心是将“多了”“少了”的条件转化为正好平均分的数量，再通过求最大公因数得到结果，培养学生分析和转化实际问题的能力。
【难度系数】
0.4
首先要理清题目中的数量关系：把60支圆珠笔分给三好学生多了6支，说明实际能正好分完的圆珠笔数量是总数量减去多出来的部分；30本笔记本分给三好学生少了6本，说明实际能正好分完的笔记本数量是总数量加上缺少的部分。而三好学生的人数必须同时能整除这两个“正好分完”的数量，要求最多的人数，就是求这两个数的最大公因数。
【解析】
1. 计算可正好分配的圆珠笔数量：
$60 - 6 = 54$（支）
2. 计算可正好分配的笔记本数量：
$30 + 6 = 36$（本）
3. 求54和36的最大公因数：
对54和36分解质因数，$54=2×3×3×3$，$36=2×2×3×3$，二者公有的质因数乘积为$2×3×3=18$，即54和36的最大公因数是18。
答：班里最多有18名三好学生。
【答案】
18名
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际分配问题中的应用，解题核心是将“多了”“少了”的条件转化为正好平均分的数量，再通过求最大公因数得到结果，培养学生分析和转化实际问题的能力。
【难度系数】
0.4
