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13. A,B两点在数轴上对应的数分别为-20,40，在A,B两点处各放一个挡板，M,N两个电子小球同时从原点出发，M以2个单位长度/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位长度/秒的速度向数轴正方向运动，设两个小球运动的时间为t，那么当$0＜t＜10$时，$2MB-NA$的值为
60
.答案
60 解析:根据题意可得M,N碰到挡板所需时间均为10 s,所以$0＜t＜10$时,M未碰到挡板,运动距离为$2t$,N未碰到挡板,运动距离为$4t$,因为M以2个单位长度/秒的速度向数轴负方向运动,N以4个单位长度/秒的速度向数轴正方向运动,所以M对应数轴上的数为$-2t$,N对应数轴上的数为$4t$,所以$2MB-NA=2×[40-(-2t)]-[4t-(-20)]=80+4t-4t-20=60$.
14. 新题型 新定义（2025·贵州期中）定义：若$a+b=n$，则称$a$与$b$是关于$n$的“平衡数”.比如：3与-4是关于-1的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”.现有$a=4x^2 -kx +10$与$b=-2(2x^2 -2x +k)$（$k$为常数）始终是关于常数$n$的“平衡数”，则它们是关于
2
的“平衡数”.答案
2 解析:由“平衡数”定义可知,$a+b=n$($n$为常数).因为$b=-2(2x^2-2x+k)=-4x^2+4x-2k$,所以$a+b=(4x^2-kx+10)+(-4x^2+4x-2k)=4x^2-kx+10-4x^2+4x-2k=(4x^2-4x^2)+(-kx+4x)+(10-2k)=(4-k)x+(10-2k)$,因为$a$与$b$始终是关于常数$n$的“平衡数”,所以含$x$的项系数必须为0(确保和为常数),即$4-k=0$,解得$k=4$.将$k=4$代入常数项:$10-2×4=2$,故$n=2$.
15. (2026·南通期末)已知$ c = ma^2 - 6ma $，$ d = b^2 - 3b $，其中$ ab ≠ 0 $。
(1)当$ m = \frac{1}{2} $，$ a = b $时，试说明$ c - d ＜ 0 $；
(2)当$ ad = bc $时，若$ \frac{b}{a} $是一个与$ a $无关的定值，求$ m $的值。
(1)当$ m = \frac{1}{2} $，$ a = b $时，试说明$ c - d ＜ 0 $；
(2)当$ ad = bc $时，若$ \frac{b}{a} $是一个与$ a $无关的定值，求$ m $的值。
答案
(1)因为$ m = \frac{1}{2} $,且$ a = b $,所以$ c = \frac{1}{2}a^2 - 3a $,$ d = a^2 - 3a $,所以$ c - d = \frac{1}{2}a^2 - 3a - (a^2 - 3a) = -\frac{1}{2}a^2 $.因为$ a ≠ 0 $,所以$ -\frac{1}{2}a^2 ＜ 0 $,所以$ c - d ＜ 0 $.
(2)因为$ ad = bc $,所以$ a(b^2 - 3b) = b(ma^2 - 6ma) $,整理,得$ ab^2 - 3ab = ma^2b - 6mab $,所以$ ab(b - 3) = ab(ma - 6m) $.因为$ ab ≠ 0 $,所以$ b - 3 = ma - 6m $,即$ b = ma - 6m + 3 $,所以$ \frac{b}{a} = \frac{ma - 6m + 3}{a} = m + \frac{3 - 6m}{a} $.因为$ \frac{b}{a} $是一个与$ a $无关的定值,所以$ 3 - 6m = 0 $,解得$ m = \frac{1}{2} $.
(2)因为$ ad = bc $,所以$ a(b^2 - 3b) = b(ma^2 - 6ma) $,整理,得$ ab^2 - 3ab = ma^2b - 6mab $,所以$ ab(b - 3) = ab(ma - 6m) $.因为$ ab ≠ 0 $,所以$ b - 3 = ma - 6m $,即$ b = ma - 6m + 3 $,所以$ \frac{b}{a} = \frac{ma - 6m + 3}{a} = m + \frac{3 - 6m}{a} $.因为$ \frac{b}{a} $是一个与$ a $无关的定值,所以$ 3 - 6m = 0 $,解得$ m = \frac{1}{2} $.
16. (1)如图①,两个圆的半径分别为5和3,两阴影部分的面积分别为$a,b(a＞b)$,则$a-b=$
(2)(乐山中考改编)如图②,A,B,C,D分别是正方形的四个顶点,我们将该正方形表示为正方形ABCD,此时该正方形的边长为3.以A为圆心,2为半径作圆弧,以D为圆心,3为半径作圆弧.若图中阴影部分的面积分别为$S_1,S_2$,则$S_1-S_2=$
16π
.(2)(乐山中考改编)如图②,A,B,C,D分别是正方形的四个顶点,我们将该正方形表示为正方形ABCD,此时该正方形的边长为3.以A为圆心,2为半径作圆弧,以D为圆心,3为半径作圆弧.若图中阴影部分的面积分别为$S_1,S_2$,则$S_1-S_2=$
$\frac{13π}{4}-9$
.答案
(1)$16π$ 解析:设重叠部分面积为$c$,所以$a-b=(a+c)-(b+c)=25π-9π=16π$.
(2)$\frac{13π}{4}-9$ 解析:设题图中左侧小空白区域的面积为$m$,由题图可知,$S_1+m$是半径为2的四分之一圆的面积,$S_2+m$是边长为3的正方形ABCD的面积与半径为3的四分之一圆的面积之差,所以$S_1-S_2=(S_1+m)-(S_2+m)=\frac{1}{4}×π×2^2 - (3×3 - \frac{1}{4}×π×3^2 )=π - (9 - \frac{9π}{4} )=\frac{13π}{4}-9$.
(2)$\frac{13π}{4}-9$ 解析:设题图中左侧小空白区域的面积为$m$,由题图可知,$S_1+m$是半径为2的四分之一圆的面积,$S_2+m$是边长为3的正方形ABCD的面积与半径为3的四分之一圆的面积之差,所以$S_1-S_2=(S_1+m)-(S_2+m)=\frac{1}{4}×π×2^2 - (3×3 - \frac{1}{4}×π×3^2 )=π - (9 - \frac{9π}{4} )=\frac{13π}{4}-9$.
17. 将图①中的长方形纸片剪成1号,2号,3号,4号正方形和5号长方形.
(1)设3号正方形的边长为x,4号正方形的边长为y,求1号,2号正方形的边长分别是多少;(用x,y的代数式表示)
(2)若图①中大长方形纸片的周长为48,试求3号正方形的边长;
(3)在(2)的情况下,若将这五个图形按图②的方式放入周长为100的长方形中,求阴影部分的周长.
(1)设3号正方形的边长为x,4号正方形的边长为y,求1号,2号正方形的边长分别是多少;(用x,y的代数式表示)
(2)若图①中大长方形纸片的周长为48,试求3号正方形的边长;
(3)在(2)的情况下,若将这五个图形按图②的方式放入周长为100的长方形中,求阴影部分的周长.
答案
(1)因为3号正方形的边长为$x$,4号正方形的边长为$y$,所以1号正方形的边长为$y-x$,2号正方形的边长为$x-(y-x)=2x-y$.
(2)由(1)得长方形的长为$x+y$,宽为$x+(2x-y)=3x-y$,因为长方形的周长为48,即$2[(x+y)+(3x-y)]=8x=48$,所以$x=6$.因为3号正方形的边长为$x$,所以3号正方形的边长为6.
(3)如图,由平移知识可得阴影部分的周长为长方形ABCD的周长,由(2)可知3号正方形的边长为6,4号正方形的边长为$y$,5号长方形的宽为2号正方形的边长减去1号正方形的边长的差,即$2x-y-(y-x)=3x-2y=3×6-2y=18-2y$,所以$AD=6+y+18-2y=24-y$,周长为100的长方形的长为$AB+6$,宽为$24-y$,所以$2[AB+6+(24-y)]=100$,所以$AB=20+y$,则长方形ABCD的周长为$[20+y+(24-y)]×2=88$,即阴影部分的周长为88.
