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9. 生活中我们经常用到密码，如到银行取款. 有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式$x^{4}-y^{4}$分解因式的结果是$(x - y)(x + y)(x^{2}+y^{2})$，当取$x = 9,y = 9$时，各个因式的值是：$x - y = 0,x + y = 18,x^{2}+y^{2}=162$，于是就可以把“018162”作为一个六位数字的密码. 类似地，对于多项式$4x^{3}-xy^{2}$，当取$x = 10,y = 10$时，用上述方法可以产生一组六位数字密码，则这个密码可以是（
A.102030
B.101030
C.103020
D.102010
B
）A.102030
B.101030
C.103020
D.102010
答案
9.B
解析
【分析】
要得到符合要求的密码，需按照题目给出的规则逐步推导：首先对多项式$4x^3 - xy^2$进行因式分解，再将$x=10、y=10$代入每个因式计算数值，最后将各个因式的计算结果按顺序拼接，与选项对比即可得到答案。因式分解时先提取公因式，再利用平方差公式完成分解即可。
【解析】
第一步：对多项式$4x^3 - xy^2$因式分解
先提取公因式$x$，得：
$4x^3 - xy^2 = x(4x^2 - y^2)$
再利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$分解$4x^2 - y^2$，得：
$x(4x^2 - y^2) = x(2x - y)(2x + y)$
第二步：代入$x=10，y=10$计算各因式的值
$x=10$
$2x - y = 2×10 - 10 = 10$
$2x + y = 2×10 + 10 = 30$
第三步：将各因式的结果按顺序拼接，得到密码为101030，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解、提公因式法、平方差公式
【点评】
本题是因式分解的创新应用类题目，结合生活中的密码设置场景，既考查了因式分解的基础运算能力，也考查了对新规则的理解和应用能力，解题核心是掌握因式分解的基本步骤。
【难度系数】
0.8
要得到符合要求的密码，需按照题目给出的规则逐步推导：首先对多项式$4x^3 - xy^2$进行因式分解，再将$x=10、y=10$代入每个因式计算数值，最后将各个因式的计算结果按顺序拼接，与选项对比即可得到答案。因式分解时先提取公因式，再利用平方差公式完成分解即可。
【解析】
第一步：对多项式$4x^3 - xy^2$因式分解
先提取公因式$x$，得：
$4x^3 - xy^2 = x(4x^2 - y^2)$
再利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$分解$4x^2 - y^2$，得：
$x(4x^2 - y^2) = x(2x - y)(2x + y)$
第二步：代入$x=10，y=10$计算各因式的值
$x=10$
$2x - y = 2×10 - 10 = 10$
$2x + y = 2×10 + 10 = 30$
第三步：将各因式的结果按顺序拼接，得到密码为101030，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解、提公因式法、平方差公式
【点评】
本题是因式分解的创新应用类题目，结合生活中的密码设置场景，既考查了因式分解的基础运算能力，也考查了对新规则的理解和应用能力，解题核心是掌握因式分解的基本步骤。
【难度系数】
0.8
10.若非零实数$a,b$满足$4a^2 + b^2 = 4ab$，则$\dfrac{b}{a}=$______.
答案
10.2
解析
【分析】
首先观察已知等式的结构，等式左边包含两个平方项，右边是两数乘积的形式，符合完全平方公式的特征。由于a是非零实数，我们可以先将等式移项整理，用完全平方公式因式分解得到a和b的数量关系，进而求出$\dfrac{b}{a}$的值。
【解析】
1. 对已知等式移项，将所有项移到等号左侧：
$4a^2 - 4ab + b^2 = 0$
2. 对照完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，此处$m=2a$，$n=b$，可将上式因式分解为：
$(2a - b)^2 = 0$
3. 因为平方数非负，若平方结果为0，则底数为0，可得：
$2a - b = 0$，即$b=2a$
4. 已知a是非零实数，等式两边同时除以a，得：
$\dfrac{b}{a} = 2$
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式，因式分解，等式的性质
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，解题核心是识别出已知等式符合完全平方公式的结构特征，通过移项、因式分解得到a、b的数量关系后即可求出比值，熟练掌握乘法公式的结构是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先观察已知等式的结构，等式左边包含两个平方项，右边是两数乘积的形式，符合完全平方公式的特征。由于a是非零实数，我们可以先将等式移项整理，用完全平方公式因式分解得到a和b的数量关系，进而求出$\dfrac{b}{a}$的值。
【解析】
1. 对已知等式移项，将所有项移到等号左侧：
$4a^2 - 4ab + b^2 = 0$
2. 对照完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，此处$m=2a$，$n=b$，可将上式因式分解为：
$(2a - b)^2 = 0$
3. 因为平方数非负，若平方结果为0，则底数为0，可得：
$2a - b = 0$，即$b=2a$
4. 已知a是非零实数，等式两边同时除以a，得：
$\dfrac{b}{a} = 2$
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式，因式分解，等式的性质
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，解题核心是识别出已知等式符合完全平方公式的结构特征，通过移项、因式分解得到a、b的数量关系后即可求出比值，熟练掌握乘法公式的结构是解题的关键。
【难度系数】
0.8
11. 定义:如果一个正整数能表示为两个正整数$ m,n $的平方差,且$ m-n=2 $,则称这个正整数为“智慧优数”.例如,当$ m=3,n=1 $时,$ m-n=2 $,且$ 8=3^2 - 1^2 $,所以8是一个智慧优数.若将智慧优数从小到大排列,则第2024个智慧优数是
8100
.答案
11.8100
解析
【分析】
拿到题目先明确“智慧优数”的两个核心条件：①是两个正整数m、n的平方差；②满足m-n=2。解题时先利用平方差公式对$m^2-n^2$因式分解，代入$m-n=2$的条件，就能把智慧优数用含n（或m）的代数式表示，再根据正整数的要求找到智慧优数的排列规律，最后代入序号求出第2024个智慧优数即可。
【解析】
根据平方差公式可得：
$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$
已知$m - n = 2$，代入上式得智慧优数为：
$2 × (m + n)$
由$m - n = 2$移项得$m = n + 2$，因为m、n都是正整数，所以$n ≥ 1$。
将$m = n + 2$代入$2 × (m + n)$得：
智慧优数$=2 × (n + 2 + n) = 2 × (2n + 2) = 4(n + 1)$
当n=1时，第1个智慧优数是$4 × (1+1) = 8$，和题中例子一致；
当n=2时，第2个智慧优数是$4 × (2+1) =12$；
以此类推，第k个智慧优数对应n=k，表达式为$4(k+1)$。
当k=2024时，第2024个智慧优数为$4 × (2024 + 1) =4 × 2025 = 8100$。
【答案】
8100
【知识点】
平方差公式，代数式找规律，因式分解
【点评】
本题属于新定义类题型，解题关键是将新定义的规则转化为熟悉的代数运算，通过平方差公式化简得到智慧优数的通项规律，考察了对因式分解公式的灵活运用和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
拿到题目先明确“智慧优数”的两个核心条件：①是两个正整数m、n的平方差；②满足m-n=2。解题时先利用平方差公式对$m^2-n^2$因式分解，代入$m-n=2$的条件，就能把智慧优数用含n（或m）的代数式表示，再根据正整数的要求找到智慧优数的排列规律，最后代入序号求出第2024个智慧优数即可。
【解析】
根据平方差公式可得：
$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$
已知$m - n = 2$，代入上式得智慧优数为：
$2 × (m + n)$
由$m - n = 2$移项得$m = n + 2$，因为m、n都是正整数，所以$n ≥ 1$。
将$m = n + 2$代入$2 × (m + n)$得：
智慧优数$=2 × (n + 2 + n) = 2 × (2n + 2) = 4(n + 1)$
当n=1时，第1个智慧优数是$4 × (1+1) = 8$，和题中例子一致；
当n=2时，第2个智慧优数是$4 × (2+1) =12$；
以此类推，第k个智慧优数对应n=k，表达式为$4(k+1)$。
当k=2024时，第2024个智慧优数为$4 × (2024 + 1) =4 × 2025 = 8100$。
【答案】
8100
【知识点】
平方差公式，代数式找规律，因式分解
【点评】
本题属于新定义类题型，解题关键是将新定义的规则转化为熟悉的代数运算，通过平方差公式化简得到智慧优数的通项规律，考察了对因式分解公式的灵活运用和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
12. 已知$a$，$b$，$c$是三角形$ABC$的三边长，且$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0$，试判断三角形$ABC$的形状，并说明理由。
答案
12.解:三角形$ABC$是等边三角形.理由:因为$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$,所以$2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0$,所以$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$,所以$(a^2+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(a^2+c^2-2ac)=0$,所以$(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0$,所以$a-b=0$,$b-c=0$,$a-c=0$,所以$a=b=c$,即三角形$ABC$是等边三角形.
解析
【分析】
要判断三角形的形状，需推出三边长a、b、c的数量关系。首先观察已知等式的结构：含有a²、b²、c²三个平方项，以及-ab、-bc、-ac三个交叉乘积项，符合完全平方公式的变形特征，但现有系数无法直接凑出完全平方式，因此先将等式两边同时乘2，把交叉项的系数变为-2，再分组凑出三个完全平方式的和，最后利用“多个非负数相加和为0时，每个非负数均为0”的性质，即可推出三边相等的结论。
【解析】
三角形ABC是等边三角形，理由如下：
已知$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0$，
等式两边同时乘2，得：$2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) = 0$，
展开后整理得：$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0$，
将式子分组拆分：$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (a^2 - 2ac + c^2) = 0$，
根据完全平方公式因式分解得：$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 = 0$，
∵ 平方数具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，$(a-c)^2≥0$，
三个非负数的和为0，说明每个平方都为0，
∴ $a-b=0$，$b-c=0$，$a-c=0$，
解得$a=b=c$，
∴ 三角形ABC是等边三角形。
【答案】
三角形ABC是等边三角形。
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题是因式分解在几何判定中的典型应用，解题的核心是通过给等式乘2构造完全平方式，将代数等式转化为边长的等量关系，需要熟练掌握完全平方公式的变形技巧，以及非负数的相关性质。
【难度系数】
0.7
要判断三角形的形状，需推出三边长a、b、c的数量关系。首先观察已知等式的结构：含有a²、b²、c²三个平方项，以及-ab、-bc、-ac三个交叉乘积项，符合完全平方公式的变形特征，但现有系数无法直接凑出完全平方式，因此先将等式两边同时乘2，把交叉项的系数变为-2，再分组凑出三个完全平方式的和，最后利用“多个非负数相加和为0时，每个非负数均为0”的性质，即可推出三边相等的结论。
【解析】
三角形ABC是等边三角形，理由如下：
已知$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0$，
等式两边同时乘2，得：$2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) = 0$，
展开后整理得：$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0$，
将式子分组拆分：$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (a^2 - 2ac + c^2) = 0$，
根据完全平方公式因式分解得：$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 = 0$，
∵ 平方数具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，$(a-c)^2≥0$，
三个非负数的和为0，说明每个平方都为0，
∴ $a-b=0$，$b-c=0$，$a-c=0$，
解得$a=b=c$，
∴ 三角形ABC是等边三角形。
【答案】
三角形ABC是等边三角形。
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题是因式分解在几何判定中的典型应用，解题的核心是通过给等式乘2构造完全平方式，将代数等式转化为边长的等量关系，需要熟练掌握完全平方公式的变形技巧，以及非负数的相关性质。
【难度系数】
0.7
13.【学习材料】
例1 分解因式:$x^{4}+4y^{4}.$
解:$原式=x^{4}+4x^{2}y^{2}+4y^{4}-4x^{2}y^{2}$
$\quad\quad=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}$
$\quad\quad=(x^{2}+2y^{2}+2xy)(x^{2}+2y^{2}-2xy).$
例1 分解因式:$x^{4}+4y^{4}.$
解:$原式=x^{4}+4x^{2}y^{2}+4y^{4}-4x^{2}y^{2}$
$\quad\quad=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}$
$\quad\quad=(x^{2}+2y^{2}+2xy)(x^{2}+2y^{2}-2xy).$
答案
解：原式$=x^{4}+4x^{2}y^{2}+4y^{4}-4x^{2}y^{2}$
$=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}$
$=(x^{2}+2y^{2}+2xy)(x^{2}+2y^{2}-2xy)$
$=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}$
$=(x^{2}+2y^{2}+2xy)(x^{2}+2y^{2}-2xy)$
解析
【分析】
观察待分解的式子$x^4+4y^4$，既没有公因式，也无法直接套用已学的乘法公式分解。我们发现$x^4=(x^2)^2$，$4y^4=(2y^2)^2$，刚好符合完全平方公式的首项、尾项特征，只是缺少中间的$4x^2y^2$项。因此我们可以先添加$4x^2y^2$将其凑成完全平方式，为了保证原式的值不变，需要再减去$4x^2y^2$，此时式子就转化为平方差的形式，再套用平方差公式就能完成因式分解。
【解析】
原式$=x^{4}+4x^{2}y^{2}+4y^{4}-4x^{2}y^{2}$
$=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}$
$=(x^{2}+2y^{2}+2xy)(x^{2}+2y^{2}-2xy)$
【答案】
$(x^2+2xy+2y^2)(x^2-2xy+2y^2)$
【知识点】
1.完全平方公式
2.平方差公式
3.添项法因式分解
【点评】
本题是因式分解中的典型技巧类题型，核心是灵活运用乘法公式，通过添项构造可因式分解的结构，要注意添项后必须减去相同的项以保证代数式的值不变，最终分解结果要保证无法再继续分解。
【难度系数】
0.4
观察待分解的式子$x^4+4y^4$，既没有公因式，也无法直接套用已学的乘法公式分解。我们发现$x^4=(x^2)^2$，$4y^4=(2y^2)^2$，刚好符合完全平方公式的首项、尾项特征，只是缺少中间的$4x^2y^2$项。因此我们可以先添加$4x^2y^2$将其凑成完全平方式，为了保证原式的值不变，需要再减去$4x^2y^2$，此时式子就转化为平方差的形式，再套用平方差公式就能完成因式分解。
【解析】
原式$=x^{4}+4x^{2}y^{2}+4y^{4}-4x^{2}y^{2}$
$=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}$
$=(x^{2}+2y^{2}+2xy)(x^{2}+2y^{2}-2xy)$
【答案】
$(x^2+2xy+2y^2)(x^2-2xy+2y^2)$
【知识点】
1.完全平方公式
2.平方差公式
3.添项法因式分解
【点评】
本题是因式分解中的典型技巧类题型，核心是灵活运用乘法公式，通过添项构造可因式分解的结构，要注意添项后必须减去相同的项以保证代数式的值不变，最终分解结果要保证无法再继续分解。
【难度系数】
0.4
例2 分解因式：$x^3 + 5x - 6$.
解：原式$= x^3 - x + 6x - 6$
$\quad\quad= x(x^2 - 1) + 6(x - 1)$
$\quad\quad= (x - 1)(x^2 + x + 6)$.
解：原式$= x^3 - x + 6x - 6$
$\quad\quad= x(x^2 - 1) + 6(x - 1)$
$\quad\quad= (x - 1)(x^2 + x + 6)$.
答案
解：原式$= x^3 - x + 6x - 6$
$\quad\quad= x(x^2 - 1) + 6(x - 1)$
$\quad\quad= (x - 1)(x^2 + x + 6)$
$\quad\quad= x(x^2 - 1) + 6(x - 1)$
$\quad\quad= (x - 1)(x^2 + x + 6)$
解析
【分析】
这是一个三次三项式的因式分解问题，直接用提公因式法或公式法无法分解，我们可以先尝试找使多项式值为0的x的取值：当x=1时，代入原式得$1^3+5×1-6=0$，说明原式含有因式$(x-1)$，因此我们考虑将$5x$拆分为$-x+6x$，把原式分组为$(x^3 -x)$和$(6x-6)$，两组分别分解后都能得到公因式$(x-1)$，再整体提取公因式即可完成分解。
【解析】
解：原式$= x^3 - x + 6x - 6$
$\quad\quad= x(x^2 - 1) + 6(x - 1)$
$\quad\quad= (x - 1)(x^2 + x + 6)$
【答案】
$(x-1)(x^2 + x + 6)$
【知识点】
拆项法因式分解，提公因式法，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的灵活应用，解题的关键是根据多项式的特点合理拆项分组，再结合提公因式法和公式法逐步分解，注意拆项时不能改变原式的大小，且要便于后续提取公因式。
【难度系数】
0.6
这是一个三次三项式的因式分解问题，直接用提公因式法或公式法无法分解，我们可以先尝试找使多项式值为0的x的取值：当x=1时，代入原式得$1^3+5×1-6=0$，说明原式含有因式$(x-1)$，因此我们考虑将$5x$拆分为$-x+6x$，把原式分组为$(x^3 -x)$和$(6x-6)$，两组分别分解后都能得到公因式$(x-1)$，再整体提取公因式即可完成分解。
【解析】
解：原式$= x^3 - x + 6x - 6$
$\quad\quad= x(x^2 - 1) + 6(x - 1)$
$\quad\quad= (x - 1)(x^2 + x + 6)$
【答案】
$(x-1)(x^2 + x + 6)$
【知识点】
拆项法因式分解，提公因式法，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的灵活应用，解题的关键是根据多项式的特点合理拆项分组，再结合提公因式法和公式法逐步分解，注意拆项时不能改变原式的大小，且要便于后续提取公因式。
【难度系数】
0.6
例3 把多项式$a^2+b^2+4a-6b+13$写成$A^2+B^2$的形式.
解:原式$=a^2+4a+4+b^2-6b+9$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;=(a+2)^2+(b-3)^2$.
请根据以上材料解决下列问题:
(1)分解因式:$x^2+2x-8=$______;
(2)分解因式:$x^2-6x-7=$______;
(3)分解因式:$x^3-2x-1=$______;
(4)分解因式:$x^3-9x+8$;
(5)分解因式:$x^3-2x^2-5x+6$;
解:原式$=a^2+4a+4+b^2-6b+9$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;=(a+2)^2+(b-3)^2$.
请根据以上材料解决下列问题:
(1)分解因式:$x^2+2x-8=$______;
(2)分解因式:$x^2-6x-7=$______;
(3)分解因式:$x^3-2x-1=$______;
(4)分解因式:$x^3-9x+8$;
(5)分解因式:$x^3-2x^2-5x+6$;
答案
13.(1)$(x+4)(x-2)$
(2)$(x+1)(x-7)$
(3)$(x+1)(x^2-x-1)$
(4)原式$=x^3-x-8x+8=x(x^2-1)-8(x-1)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x^2+x-8)$.
(5)原式$=x^3-2x^2+x-6x+6=x(x^2-2x+1)-6(x-1)=x(x-1)^2-6(x-1)=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2)$.
(2)$(x+1)(x-7)$
(3)$(x+1)(x^2-x-1)$
(4)原式$=x^3-x-8x+8=x(x^2-1)-8(x-1)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x^2+x-8)$.
(5)原式$=x^3-2x^2+x-6x+6=x(x^2-2x+1)-6(x-1)=x(x-1)^2-6(x-1)=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2)$.
解析
【分析】
本题考查因式分解的常见方法：(1)(2)为二次三项式，采用十字相乘法：将常数项拆分为两个数的乘积，且两数之和等于一次项系数，即可分解为两个一次因式的乘积；(3)(4)(5)为三次多项式，采用拆项分组法：将多项式拆分为若干组，每组先分解因式，再提取公因式逐步化简，直到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
(1) 对$x^2+2x-8$，常数项-8拆为4和-2，满足$4+(-2)=2$（一次项系数），因此：
$x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$
(2) 对$x^2-6x-7$，常数项-7拆为1和-7，满足$1+(-7)=-6$（一次项系数），因此：
$x^2-6x-7=(x+1)(x-7)$
(3) 对$x^3-2x-1$，将$-2x$拆为$-x-x$，分组得：
原式$=x^3-x-x-1=x(x^2-1)-(x+1)=x(x+1)(x-1)-(x+1)$
提取公因式$(x+1)$得：$(x+1)[x(x-1)-1]=(x+1)(x^2-x-1)$
(4) 对$x^3-9x+8$，将$-9x$拆为$-x-8x$，分组得：
原式$=x^3-x-8x+8=x(x^2-1)-8(x-1)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)$
提取公因式$(x-1)$得：$(x-1)[x(x+1)-8]=(x-1)(x^2+x-8)$
(5) 对$x^3-2x^2-5x+6$，将$-5x$拆为$x-6x$，分组得：
原式$=x^3-2x^2+x-6x+6=x(x^2-2x+1)-6(x-1)=x(x-1)^2-6(x-1)$
提取公因式$(x-1)$得：$(x-1)[x(x-1)-6]=(x-1)(x^2-x-6)$
再对$x^2-x-6$用十字相乘法分解：$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$，因此最终结果为$(x-1)(x-3)(x+2)$
【答案】
(1)$(x+4)(x-2)$
(2)$(x+1)(x-7)$
(3)$(x+1)(x^2-x-1)$
(4)$(x-1)(x^2+x-8)$
(5)$(x-1)(x-3)(x+2)$
【知识点】
十字相乘法、分组分解法、因式分解
【点评】
本题重点考查因式分解的灵活应用，二次三项式优先尝试十字相乘法，高次多项式可通过合理拆项分组，结合提公因式法逐步分解，注意分解因式要彻底，直到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
本题考查因式分解的常见方法：(1)(2)为二次三项式，采用十字相乘法：将常数项拆分为两个数的乘积，且两数之和等于一次项系数，即可分解为两个一次因式的乘积；(3)(4)(5)为三次多项式，采用拆项分组法：将多项式拆分为若干组，每组先分解因式，再提取公因式逐步化简，直到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
(1) 对$x^2+2x-8$，常数项-8拆为4和-2，满足$4+(-2)=2$（一次项系数），因此：
$x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$
(2) 对$x^2-6x-7$，常数项-7拆为1和-7，满足$1+(-7)=-6$（一次项系数），因此：
$x^2-6x-7=(x+1)(x-7)$
(3) 对$x^3-2x-1$，将$-2x$拆为$-x-x$，分组得：
原式$=x^3-x-x-1=x(x^2-1)-(x+1)=x(x+1)(x-1)-(x+1)$
提取公因式$(x+1)$得：$(x+1)[x(x-1)-1]=(x+1)(x^2-x-1)$
(4) 对$x^3-9x+8$，将$-9x$拆为$-x-8x$，分组得：
原式$=x^3-x-8x+8=x(x^2-1)-8(x-1)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)$
提取公因式$(x-1)$得：$(x-1)[x(x+1)-8]=(x-1)(x^2+x-8)$
(5) 对$x^3-2x^2-5x+6$，将$-5x$拆为$x-6x$，分组得：
原式$=x^3-2x^2+x-6x+6=x(x^2-2x+1)-6(x-1)=x(x-1)^2-6(x-1)$
提取公因式$(x-1)$得：$(x-1)[x(x-1)-6]=(x-1)(x^2-x-6)$
再对$x^2-x-6$用十字相乘法分解：$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$，因此最终结果为$(x-1)(x-3)(x+2)$
【答案】
(1)$(x+4)(x-2)$
(2)$(x+1)(x-7)$
(3)$(x+1)(x^2-x-1)$
(4)$(x-1)(x^2+x-8)$
(5)$(x-1)(x-3)(x+2)$
【知识点】
十字相乘法、分组分解法、因式分解
【点评】
本题重点考查因式分解的灵活应用，二次三项式优先尝试十字相乘法，高次多项式可通过合理拆项分组，结合提公因式法逐步分解，注意分解因式要彻底，直到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
