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2. 下列哪些数是一元二次方程$x^2 -4x +3 =0$的根？
-1,0,1,3。
-1,0,1,3。
答案
2. 解: 当 x = - 1 时, 左边 = ( - 1 )² - 4 ×( -1) +3 =8,
∵ 左边≠右边,
∴ -1 不是方程x² -4x +3 =0的根; 当 x = 0 时, 左边 = 0 - 0 +3 =3,
∵ 左边≠右边,
∴ 0 不是方程 x² -4x +3 =0 的根;当x =1时,左边 =1² -4 ×1 +3 =0,
∵ 左边 = 右边,
∴ 1 是方程 x² -4x +3 =0 的根;当 x =3 时,左边 =3² -4 ×3 +3 =0,
∵ 左边 = 右边,
∴ 3 是方程 x² -4x +3 =0 的根。综上可知,1 和 3 是一元二次方程x² -4x +3 =0的根。
∵ 左边≠右边,
∴ -1 不是方程x² -4x +3 =0的根; 当 x = 0 时, 左边 = 0 - 0 +3 =3,
∵ 左边≠右边,
∴ 0 不是方程 x² -4x +3 =0 的根;当x =1时,左边 =1² -4 ×1 +3 =0,
∵ 左边 = 右边,
∴ 1 是方程 x² -4x +3 =0 的根;当 x =3 时,左边 =3² -4 ×3 +3 =0,
∵ 左边 = 右边,
∴ 3 是方程 x² -4x +3 =0 的根。综上可知,1 和 3 是一元二次方程x² -4x +3 =0的根。
解析
【分析】
判断一个数是不是方程的根，核心依据是方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。解题时只需把给出的4个数依次代入方程的左边计算结果，再和方程右边的0对比，相等则是方程的根，不相等就不是，逐个验证即可得到结果。
【解析】
当x = - 1 时, 左边 = ( - 1 )² - 4 ×( -1) +3 =8，
∵ 左边≠右边，
∴ -1 不是方程$x^2 -4x +3 =0$的根；
当x = 0 时, 左边 = 0 - 0 +3 =3，
∵ 左边≠右边，
∴ 0 不是方程$x^2 -4x +3 =0$的根；
当x =1时,左边 =$1^2 -4 ×1 +3 =0$，
∵ 左边 = 右边，
∴ 1 是方程$x^2 -4x +3 =0$的根；
当 x =3 时,左边 =$3^2 -4 ×3 +3 =0$，
∵ 左边 = 右边，
∴ 3 是方程$x^2 -4x +3 =0$的根。
综上可知，1 和 3 是一元二次方程$x^2 -4x +3 =0$的根。
【答案】
1和3是一元二次方程$x^2 -4x +3 =0$的根
【知识点】
1. 方程根的定义 2. 代入检验法
【点评】
本题是基础概念应用题，主要考查对根的定义的理解运用，熟练掌握代入检验的方法就能快速解题，计算过程中注意符号运算即可避免出错。
【难度系数】
0.9
判断一个数是不是方程的根，核心依据是方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。解题时只需把给出的4个数依次代入方程的左边计算结果，再和方程右边的0对比，相等则是方程的根，不相等就不是，逐个验证即可得到结果。
【解析】
当x = - 1 时, 左边 = ( - 1 )² - 4 ×( -1) +3 =8，
∵ 左边≠右边，
∴ -1 不是方程$x^2 -4x +3 =0$的根；
当x = 0 时, 左边 = 0 - 0 +3 =3，
∵ 左边≠右边，
∴ 0 不是方程$x^2 -4x +3 =0$的根；
当x =1时,左边 =$1^2 -4 ×1 +3 =0$，
∵ 左边 = 右边，
∴ 1 是方程$x^2 -4x +3 =0$的根；
当 x =3 时,左边 =$3^2 -4 ×3 +3 =0$，
∵ 左边 = 右边，
∴ 3 是方程$x^2 -4x +3 =0$的根。
综上可知，1 和 3 是一元二次方程$x^2 -4x +3 =0$的根。
【答案】
1和3是一元二次方程$x^2 -4x +3 =0$的根
【知识点】
1. 方程根的定义 2. 代入检验法
【点评】
本题是基础概念应用题，主要考查对根的定义的理解运用，熟练掌握代入检验的方法就能快速解题，计算过程中注意符号运算即可避免出错。
【难度系数】
0.9
3. 解下列方程:
(1)$3x^2 -15=0$;
(2)$(x-1)^2 -9=0$。
(1)$3x^2 -15=0$;
(2)$(x-1)^2 -9=0$。
答案
3. 解:(1)移项,得 3x² = 15。二次项系数化为 1,得x² =5。开平方,得 x = ±√5 ,即 x₁ =√5 ,x₂ = -√5。
(2)移项,得(x -1 )² =9。开平方,得x -1 = ±3,即x -1 =3 或x -1 = -3,所以 x₁ =4 ,x₂ = -2。
(2)移项,得(x -1 )² =9。开平方,得x -1 = ±3,即x -1 =3 或x -1 = -3,所以 x₁ =4 ,x₂ = -2。
解析
【分析】这两道一元二次方程均适合用直接开平方法求解。解题时先观察方程形式：(1)没有一次项，先将常数项移到等号右侧，再把二次项系数化为1，得到$x^2=a(a≥0)$的形式后开平方即可得解；(2)左侧是含$x$的整式的平方，右侧是常数，先移项得到$(mx+n)^2=c(c≥0)$的形式，将$(x-1)$看作整体开平方，转化为两个一元一次方程分别求解即可。
【解析】
(1) 移项，得 $3x^2 = 15$，
二次项系数化为1，得$x^2 =5$，
开平方，得 $x = \pm\sqrt{5}$，
即 $x_1 = \sqrt{5}$，$x_2 = -\sqrt{5}$。
(2) 移项，得$(x -1 )^2 =9$，
开平方，得$x -1 = \pm3$，
即$x -1 =3$ 或$x -1 = -3$，
解得 $x_1 =4$，$x_2 = -2$。
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$；(2)$x_1=4,x_2=-2$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题属于解一元二次方程的基础题型，核心考查直接开平方法的适用场景，解题时要注意正数开平方有两个互为相反数的结果，避免漏解，遇到整体平方的结构可以先把整体看作单独的量计算，再求解未知数。
【难度系数】
0.9
【解析】
(1) 移项，得 $3x^2 = 15$，
二次项系数化为1，得$x^2 =5$，
开平方，得 $x = \pm\sqrt{5}$，
即 $x_1 = \sqrt{5}$，$x_2 = -\sqrt{5}$。
(2) 移项，得$(x -1 )^2 =9$，
开平方，得$x -1 = \pm3$，
即$x -1 =3$ 或$x -1 = -3$，
解得 $x_1 =4$，$x_2 = -2$。
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$；(2)$x_1=4,x_2=-2$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题属于解一元二次方程的基础题型，核心考查直接开平方法的适用场景，解题时要注意正数开平方有两个互为相反数的结果，避免漏解，遇到整体平方的结构可以先把整体看作单独的量计算，再求解未知数。
【难度系数】
0.9
4. 用配方法解下列方程:
(1)$x^2 + x - \frac{3}{4} = 0$;
(2)$4x^2 - 6x - 1 = 0$。
(1)$x^2 + x - \frac{3}{4} = 0$;
(2)$4x^2 - 6x - 1 = 0$。
答案
4. 解:(1)移项,得 x² + x = $\frac{3}{4}$。配方,得 x² + x +$(\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + (\frac{1}{2})^2$,即$(x+\frac{1}{2})^2=1$。
∴ $x+\frac{1}{2}=±1$,
∴ $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$。
(2)移项,得 4x² - 6x = 1。二次项系数化为 1,得$x^2-\frac{3}{2}x=\frac{1}{4}$。配方,得$x^2-\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^2=\frac{1}{4}+(\frac{3}{4})^2$,即$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{13}{16}$。
∴ $x-\frac{3}{4}=±\frac{\sqrt{13}}{4}$,
∴ $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{4}$。
∴ $x+\frac{1}{2}=±1$,
∴ $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$。
(2)移项,得 4x² - 6x = 1。二次项系数化为 1,得$x^2-\frac{3}{2}x=\frac{1}{4}$。配方,得$x^2-\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^2=\frac{1}{4}+(\frac{3}{4})^2$,即$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{13}{16}$。
∴ $x-\frac{3}{4}=±\frac{\sqrt{13}}{4}$,
∴ $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{4}$。
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，再通过直接开平方求解。解题遵循固定步骤：①移项，把常数项移到方程右侧；②若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；③配方，方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方求解。第(1)题二次项系数已经是1，直接移项后配方即可；第(2)题二次项系数为4，需先将二次项系数化为1再进行配方操作。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 + x = \frac{3}{4}$。
配方，得 $x^2 + x + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + (\frac{1}{2})^2$，即 $(x+\frac{1}{2})^2=1$。
开平方，得 $x+\frac{1}{2}=±1$，
解得 $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$。
(2) 移项，得 $4x^2 - 6x = 1$。
二次项系数化为1，得 $x^2-\frac{3}{2}x=\frac{1}{4}$。
配方，得 $x^2-\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^2=\frac{1}{4}+(\frac{3}{4})^2$，即 $(x-\frac{3}{4})^2=\frac{13}{16}$。
开平方，得 $x-\frac{3}{4}=±\frac{\sqrt{13}}{4}$，
解得 $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{4}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$；(2) $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，平方根的性质
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，解题时要严格按照步骤操作，尤其注意配方时等式两边需同时加上一次项系数一半的平方，避免只在左侧加项导致等式不成立，二次项系数不为1时要先化系数为1再配方，可降低出错率。
【难度系数】
0.8
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，再通过直接开平方求解。解题遵循固定步骤：①移项，把常数项移到方程右侧；②若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；③配方，方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方求解。第(1)题二次项系数已经是1，直接移项后配方即可；第(2)题二次项系数为4，需先将二次项系数化为1再进行配方操作。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 + x = \frac{3}{4}$。
配方，得 $x^2 + x + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + (\frac{1}{2})^2$，即 $(x+\frac{1}{2})^2=1$。
开平方，得 $x+\frac{1}{2}=±1$，
解得 $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$。
(2) 移项，得 $4x^2 - 6x = 1$。
二次项系数化为1，得 $x^2-\frac{3}{2}x=\frac{1}{4}$。
配方，得 $x^2-\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^2=\frac{1}{4}+(\frac{3}{4})^2$，即 $(x-\frac{3}{4})^2=\frac{13}{16}$。
开平方，得 $x-\frac{3}{4}=±\frac{\sqrt{13}}{4}$，
解得 $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{4}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$；(2) $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，平方根的性质
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，解题时要严格按照步骤操作，尤其注意配方时等式两边需同时加上一次项系数一半的平方，避免只在左侧加项导致等式不成立，二次项系数不为1时要先化系数为1再配方，可降低出错率。
【难度系数】
0.8
5.若关于x的一元二次方程$x^2 - (2a + 1)x + a^2 = 0$有两个不相等的实数根，求a的取值范围。
答案
5. 解: 由题可知, Δ = ( 2a + 1 )² - 4a² = 4a² +4a +1 -4a² =4a +1。
∵ 原方程有两个不相等的实数根,
∴ 4a +1 ＞0,
∴ $a＞-\frac{1}{4}$。
∵ 原方程有两个不相等的实数根,
∴ 4a +1 ＞0,
∴ $a＞-\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的个数与判别式的对应关系：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，当$\Delta=B^2-4AC＞0$时，方程有两个不相等的实数根。本题已经明确是一元二次方程，二次项系数为1不为0，因此只需要先计算出该方程的判别式，再令判别式大于0，解对应的不等式就能得到a的取值范围。
【解析】
首先确定方程$x^2 - (2a + 1)x + a^2 = 0$的各项系数：二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-(2a+1)$，常数项$C=a^2$。
计算判别式：
$\Delta = B^2-4AC = [-(2a+1)]^2 - 4×1× a^2$
$= (2a+1)^2 - 4a^2$
$=4a^2+4a+1-4a^2$
$=4a+1$
因为原方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$，即：
$4a+1＞0$
解不等式：
$4a＞-1$
$a＞-\frac{1}{4}$
【答案】
$a＞-\frac{1}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的情况和判别式的对应应用，解题时需注意准确计算判别式，解不等式时不要弄错运算符号。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的个数与判别式的对应关系：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，当$\Delta=B^2-4AC＞0$时，方程有两个不相等的实数根。本题已经明确是一元二次方程，二次项系数为1不为0，因此只需要先计算出该方程的判别式，再令判别式大于0，解对应的不等式就能得到a的取值范围。
【解析】
首先确定方程$x^2 - (2a + 1)x + a^2 = 0$的各项系数：二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-(2a+1)$，常数项$C=a^2$。
计算判别式：
$\Delta = B^2-4AC = [-(2a+1)]^2 - 4×1× a^2$
$= (2a+1)^2 - 4a^2$
$=4a^2+4a+1-4a^2$
$=4a+1$
因为原方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$，即：
$4a+1＞0$
解不等式：
$4a＞-1$
$a＞-\frac{1}{4}$
【答案】
$a＞-\frac{1}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的情况和判别式的对应应用，解题时需注意准确计算判别式，解不等式时不要弄错运算符号。
【难度系数】
0.8
