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7. 计算下列各式，结果用幂的形式表示：
$b^{2m} · b^m · b =$
$10^m × 10000 =$
$(x - y)(y - x)^2 =$
$b^{2m} · b^m · b =$
$b^{3m+1}$
$10^m × 10000 =$
$10^{m+4}$
$(x - y)(y - x)^2 =$
$(x-y)^3$
答案
7. $b^{3m+1}$；$10^{m+4}$；$(x-y)^3$
解析
【分析】
解题核心是运用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
1. 第一题三个因式的底数都是b，注意单独的b的指数是1，直接将所有指数相加即可；
2. 第二题先把10000转化为底数为10的幂，即$10^4$，再用同底数幂乘法法则计算；
3. 第三题利用偶次幂的性质：$(y-x)^2=(x-y)^2$，先统一底数为$(x-y)$，再用同底数幂乘法法则计算。
【解析】
1. 计算$b^{2m} · b^m · b$：
根据同底数幂乘法法则，单独的$b$的指数为1，因此指数相加得$2m+m+1=3m+1$，所以结果为$b^{3m+1}$；
2. 计算$10^m × 10000$：
先将10000改写为$10^4$，再运用同底数幂乘法法则，指数相加得$m+4$，所以结果为$10^{m+4}$；
3. 计算$(x - y)(y - x)^2$：
由偶次幂的性质可得$(y-x)^2=(x-y)^2$，统一底数后原式变为$(x-y)·(x-y)^2$，指数相加得$1+2=3$，所以结果为$(x-y)^3$。
【答案】
$b^{3m+1}$；$10^{m+4}$；$(x-y)^3$
【知识点】
同底数幂的乘法、偶次幂的性质、整式乘法运算
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考察同底数幂乘法法则的应用，解题时要注意：单独的字母指数为1，底数不同时可利用幂的性质先统一底数再计算，熟练掌握相关法则是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
解题核心是运用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
1. 第一题三个因式的底数都是b，注意单独的b的指数是1，直接将所有指数相加即可；
2. 第二题先把10000转化为底数为10的幂，即$10^4$，再用同底数幂乘法法则计算；
3. 第三题利用偶次幂的性质：$(y-x)^2=(x-y)^2$，先统一底数为$(x-y)$，再用同底数幂乘法法则计算。
【解析】
1. 计算$b^{2m} · b^m · b$：
根据同底数幂乘法法则，单独的$b$的指数为1，因此指数相加得$2m+m+1=3m+1$，所以结果为$b^{3m+1}$；
2. 计算$10^m × 10000$：
先将10000改写为$10^4$，再运用同底数幂乘法法则，指数相加得$m+4$，所以结果为$10^{m+4}$；
3. 计算$(x - y)(y - x)^2$：
由偶次幂的性质可得$(y-x)^2=(x-y)^2$，统一底数后原式变为$(x-y)·(x-y)^2$，指数相加得$1+2=3$，所以结果为$(x-y)^3$。
【答案】
$b^{3m+1}$；$10^{m+4}$；$(x-y)^3$
【知识点】
同底数幂的乘法、偶次幂的性质、整式乘法运算
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考察同底数幂乘法法则的应用，解题时要注意：单独的字母指数为1，底数不同时可利用幂的性质先统一底数再计算，熟练掌握相关法则是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 若$x+2y-4=0$，则$2^{2y}· 2^{x-2}$的值是
4
。答案
8. 4
解析
【分析】
解题时首先观察所求式子的特征：是两个底数均为2的幂相乘，因此首先想到运用同底数幂的乘法运算法则对式子进行化简，化简后可发现指数中包含x+2y的结构。再对已知等式x+2y-4=0进行变形，得到x+2y的数值，最后将x+2y的值整体代入化简后的式子计算即可得到结果，无需单独求解x、y的具体值。
【解析】
首先根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^{2y}· 2^{x-2}=2^{(2y + x - 2)}$
由已知条件$x+2y-4=0$，移项得：$x+2y=4$
将$x+2y=4$代入上式，得：
$2^{(x+2y -2)}=2^{4-2}=2^2=4$
【答案】
4
【知识点】
同底数幂的乘法；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查同底数幂乘法法则的灵活应用，解题的核心是掌握整体代入的思想，利用已知条件直接求出指数整体的数值，避免分别求解未知数带来的不必要计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求式子的特征：是两个底数均为2的幂相乘，因此首先想到运用同底数幂的乘法运算法则对式子进行化简，化简后可发现指数中包含x+2y的结构。再对已知等式x+2y-4=0进行变形，得到x+2y的数值，最后将x+2y的值整体代入化简后的式子计算即可得到结果，无需单独求解x、y的具体值。
【解析】
首先根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^{2y}· 2^{x-2}=2^{(2y + x - 2)}$
由已知条件$x+2y-4=0$，移项得：$x+2y=4$
将$x+2y=4$代入上式，得：
$2^{(x+2y -2)}=2^{4-2}=2^2=4$
【答案】
4
【知识点】
同底数幂的乘法；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查同底数幂乘法法则的灵活应用，解题的核心是掌握整体代入的思想，利用已知条件直接求出指数整体的数值，避免分别求解未知数带来的不必要计算。
【难度系数】
0.8
9. 规定新运算“↑”“↓”：$a\uparrow b=a^b$，$a\downarrow b=b^a$，例如$10\downarrow m=m^{10}$，则$(x\uparrow 3)^2 · (2\downarrow x)=$
$x^8$
.答案
9. $x^8$
解析
【分析】
解题时首先要准确理解新运算“↑”“↓”的规则：“↑”运算中，符号前的数为底数，符号后的数为指数；“↓”运算中，符号后的数为底数，符号前的数为指数。先分别将括号内的新运算转化为我们熟悉的幂的形式，再依次运用幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算即可。
【解析】
第一步：根据新运算规则转化式子
由$a\uparrow b=a^b$可得：$x\uparrow 3=x^3$
由$a\downarrow b=b^a$可得：$2\downarrow x=x^2$
第二步：计算$(x\uparrow 3)^2$
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，得：
$(x\uparrow 3)^2=(x^3)^2=x^{3×2}=x^6$
第三步：计算最终乘积
根据同底数幂的乘法法则：$a^m· a^n=a^{m+n}$，得：
$(x\uparrow 3)^2 · (2\downarrow x)=x^6 · x^2=x^{6+2}=x^8$
【答案】
$x^8$
【知识点】
新定义运算、幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题核心是考查对新运算规则的理解和幂的运算法则的应用，解题关键是把新定义运算转化为常规的幂的运算，再按照已学的运算法则逐步计算，只要读懂新运算规则就不易出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要准确理解新运算“↑”“↓”的规则：“↑”运算中，符号前的数为底数，符号后的数为指数；“↓”运算中，符号后的数为底数，符号前的数为指数。先分别将括号内的新运算转化为我们熟悉的幂的形式，再依次运用幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算即可。
【解析】
第一步：根据新运算规则转化式子
由$a\uparrow b=a^b$可得：$x\uparrow 3=x^3$
由$a\downarrow b=b^a$可得：$2\downarrow x=x^2$
第二步：计算$(x\uparrow 3)^2$
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，得：
$(x\uparrow 3)^2=(x^3)^2=x^{3×2}=x^6$
第三步：计算最终乘积
根据同底数幂的乘法法则：$a^m· a^n=a^{m+n}$，得：
$(x\uparrow 3)^2 · (2\downarrow x)=x^6 · x^2=x^{6+2}=x^8$
【答案】
$x^8$
【知识点】
新定义运算、幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题核心是考查对新运算规则的理解和幂的运算法则的应用，解题关键是把新定义运算转化为常规的幂的运算，再按照已学的运算法则逐步计算，只要读懂新运算规则就不易出错。
【难度系数】
0.8
10. 已知 $5^a = 3$，$5^b = 8$，$5^c = 72$。则 $(5^a)^2 = \_\_\_\_\_\_$；$5^{a - b + c} = \_\_\_\_\_\_$；$a$，$b$，$c$之间的数量关系为 ______。
答案
10. 9；27；$2a+b=c$
解析
【分析】
解题时需紧扣幂的相关运算法则逐步推导：
1. 求$(5^a)^2$时，直接利用幂的乘方的计算规则，将已知$5^a=3$代入求值即可；
2. 求$5^{a-b+c}$时，根据同底数幂的乘除运算法则，将其拆分为$5^a$除以$5^b$再乘以$5^c$，代入已知数值计算即可；
3. 推导$a,b,c$的数量关系时，先将$5^c$对应的数值72拆分为与$5^a$、$5^b$相关的乘积形式，再利用同底数幂的乘法法则合并，最后根据底数相同的幂相等时指数相等得出关系。
【解析】
1. 计算$(5^a)^2$：
根据幂的乘方法则：$(x^m)^n = x^{mn}$，可得$(5^a)^2 = (5^a)×(5^a)$，代入$5^a=3$，得原式$=3×3=9$。
2. 计算$5^{a-b+c}$：
根据同底数幂的乘除法则：$x^m ÷x^n =x^{m-n}$，$x^m ×x^n =x^{m+n}$，可得$5^{a-b+c}=5^a ÷5^b ×5^c$。
代入$5^a=3$，$5^b=8$，$5^c=72$，得原式$=3÷8×72=3×(72÷8)=3×9=27$。
3. 推导$a,b,c$的数量关系：
已知$5^c=72$，而$72=9×8=3^2×8$，将3替换为$5^a$、8替换为$5^b$，可得：
$5^c=(5^a)^2 ×5^b=5^{2a}×5^b=5^{2a+b}$。
因为底数均为5且两个幂相等，所以指数相等，即$2a+b=c$。
【答案】
9；27；$2a+b=c$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘除运算；同底数幂的性质
【点评】
本题考查幂的运算法则的综合应用，重点要求学生掌握幂相关运算公式的正向和逆向使用，解题的关键是把待求式或已知数值转化为符合幂运算规则的形式，是整式乘法章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时需紧扣幂的相关运算法则逐步推导：
1. 求$(5^a)^2$时，直接利用幂的乘方的计算规则，将已知$5^a=3$代入求值即可；
2. 求$5^{a-b+c}$时，根据同底数幂的乘除运算法则，将其拆分为$5^a$除以$5^b$再乘以$5^c$，代入已知数值计算即可；
3. 推导$a,b,c$的数量关系时，先将$5^c$对应的数值72拆分为与$5^a$、$5^b$相关的乘积形式，再利用同底数幂的乘法法则合并，最后根据底数相同的幂相等时指数相等得出关系。
【解析】
1. 计算$(5^a)^2$：
根据幂的乘方法则：$(x^m)^n = x^{mn}$，可得$(5^a)^2 = (5^a)×(5^a)$，代入$5^a=3$，得原式$=3×3=9$。
2. 计算$5^{a-b+c}$：
根据同底数幂的乘除法则：$x^m ÷x^n =x^{m-n}$，$x^m ×x^n =x^{m+n}$，可得$5^{a-b+c}=5^a ÷5^b ×5^c$。
代入$5^a=3$，$5^b=8$，$5^c=72$，得原式$=3÷8×72=3×(72÷8)=3×9=27$。
3. 推导$a,b,c$的数量关系：
已知$5^c=72$，而$72=9×8=3^2×8$，将3替换为$5^a$、8替换为$5^b$，可得：
$5^c=(5^a)^2 ×5^b=5^{2a}×5^b=5^{2a+b}$。
因为底数均为5且两个幂相等，所以指数相等，即$2a+b=c$。
【答案】
9；27；$2a+b=c$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘除运算；同底数幂的性质
【点评】
本题考查幂的运算法则的综合应用，重点要求学生掌握幂相关运算公式的正向和逆向使用，解题的关键是把待求式或已知数值转化为符合幂运算规则的形式，是整式乘法章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
如果$x^n=y$，那么我们规定$(x, y)=n$.例如：因为$3^2=9$，所以$(3, 9)=2$.
（1）根据上述规定填空：$(2, 8)=$
（2）记$(4, 12)=a$，$(4, 5)=b$，$(4, 60)=c$.试说明：$a+b=c$.
（3）若$(m, 16)+(m, 5)=(m, t)$，求$t$的值.
（1）根据上述规定填空：$(2, 8)=$
3
，$(2, \frac{1}{4})=$-2
.（2）记$(4, 12)=a$，$(4, 5)=b$，$(4, 60)=c$.试说明：$a+b=c$.
（3）若$(m, 16)+(m, 5)=(m, t)$，求$t$的值.
答案
（1）3 $-2$
（2）证明：$\because (4, 12)=a, (4, 5)=b, (4, 60)=c,$
$\therefore 4^a=12, 4^b=5, 4^c=60, \therefore 4^a×4^b=60, \therefore 4^a×4^b=4^c, \therefore a+b=c;$
（3）设$(m, 16)=p, (m, 5)=q, (m, t)=r,$
$\therefore m^p=16, m^q=5, m^r=t, \because (m, 16)+(m, 5)=(m, t), \therefore p+q=r,$
$\therefore m^{p+q}=m^r, \therefore m^p · m^q=m^t, 即16×5=t, \therefore t=80.$
（2）证明：$\because (4, 12)=a, (4, 5)=b, (4, 60)=c,$
$\therefore 4^a=12, 4^b=5, 4^c=60, \therefore 4^a×4^b=60, \therefore 4^a×4^b=4^c, \therefore a+b=c;$
（3）设$(m, 16)=p, (m, 5)=q, (m, t)=r,$
$\therefore m^p=16, m^q=5, m^r=t, \because (m, 16)+(m, 5)=(m, t), \therefore p+q=r,$
$\therefore m^{p+q}=m^r, \therefore m^p · m^q=m^t, 即16×5=t, \therefore t=80.$
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先读懂题目给出的新规则：若$x^n=y$，则$(x,y)=n$，本质是将新定义符号转化为我们熟悉的乘方、幂的运算问题。①第(1)问直接根据定义，分别求2的几次方等于8、2的几次方等于$\frac{1}{4}$即可；②第(2)问先根据新定义把a、b、c转化为对应的乘方等式：$4^a=12$、$4^b=5$、$4^c=60$，再利用同底数幂相乘底数不变指数相加的性质，计算$4^a×4^b$的结果，和$4^c$对比即可证明等式；③第(3)问和第(2)问思路一致，先设三个新定义对应的指数，转化为乘方等式，再结合已知的指数和的关系，利用同底数幂乘法的性质即可求出t的值。
【解析】
（1）因为$2^3=8$，根据题目规定可得$(2,8)=3$；因为$2^{-2}=\frac{1}{4}$，所以$(2,\frac{1}{4})=-2$。
（2）证明：
∵$(4, 12)=a$，$(4, 5)=b$，$(4, 60)=c$，
∴根据规定得$4^a=12$，$4^b=5$，$4^c=60$，
∴$4^a×4^b=12×5=60$，
由同底数幂乘法法则得$4^a×4^b=4^{a+b}$，
∴$4^{a+b}=4^c$，
∴$a+b=c$。
（3）解：设$(m, 16)=p$，$(m, 5)=q$，$(m, t)=r$，
根据规定得：$m^p=16$，$m^q=5$，$m^r=t$，
∵$(m, 16)+(m, 5)=(m, t)$，
∴$p+q=r$，
∴$m^{p+q}=m^r$，
由同底数幂乘法法则得$m^p·m^q=m^r$，
代入对应值得：$16×5=t$，
∴$t=80$。
【答案】
（1）$3$，$-2$；（2）证明见解析；（3）$t=80$
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘法，乘方的意义
【点评】
本题以新定义运算为载体，考查对新规则的阅读理解能力和幂的运算性质的应用能力，解题的关键是准确将新定义符号转化为常规的幂的运算等式，熟练掌握同底数幂的乘法性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先读懂题目给出的新规则：若$x^n=y$，则$(x,y)=n$，本质是将新定义符号转化为我们熟悉的乘方、幂的运算问题。①第(1)问直接根据定义，分别求2的几次方等于8、2的几次方等于$\frac{1}{4}$即可；②第(2)问先根据新定义把a、b、c转化为对应的乘方等式：$4^a=12$、$4^b=5$、$4^c=60$，再利用同底数幂相乘底数不变指数相加的性质，计算$4^a×4^b$的结果，和$4^c$对比即可证明等式；③第(3)问和第(2)问思路一致，先设三个新定义对应的指数，转化为乘方等式，再结合已知的指数和的关系，利用同底数幂乘法的性质即可求出t的值。
【解析】
（1）因为$2^3=8$，根据题目规定可得$(2,8)=3$；因为$2^{-2}=\frac{1}{4}$，所以$(2,\frac{1}{4})=-2$。
（2）证明：
∵$(4, 12)=a$，$(4, 5)=b$，$(4, 60)=c$，
∴根据规定得$4^a=12$，$4^b=5$，$4^c=60$，
∴$4^a×4^b=12×5=60$，
由同底数幂乘法法则得$4^a×4^b=4^{a+b}$，
∴$4^{a+b}=4^c$，
∴$a+b=c$。
（3）解：设$(m, 16)=p$，$(m, 5)=q$，$(m, t)=r$，
根据规定得：$m^p=16$，$m^q=5$，$m^r=t$，
∵$(m, 16)+(m, 5)=(m, t)$，
∴$p+q=r$，
∴$m^{p+q}=m^r$，
由同底数幂乘法法则得$m^p·m^q=m^r$，
代入对应值得：$16×5=t$，
∴$t=80$。
【答案】
（1）$3$，$-2$；（2）证明见解析；（3）$t=80$
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘法，乘方的意义
【点评】
本题以新定义运算为载体，考查对新规则的阅读理解能力和幂的运算性质的应用能力，解题的关键是准确将新定义符号转化为常规的幂的运算等式，熟练掌握同底数幂的乘法性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
