三、能力提升
21. 问题情境：如图，$AB// CD$，定点$E$，$F$分别在直线$AB$，$CD$上，在平行线$AB$，$CD$之间有一个动点$P$，满足$0°＜∠ EPF＜180°$.求$∠ AEP$，$∠ EPF$，$∠ PFC$满足的数量关系.
思路点拨：由于$P$是平行线$AB$，$CD$之间一动点，因此需对点$P$的位置进行分类讨论，过点$P$作$AB$的平行线，通过平行线的性质推出$∠ AEP$，$∠ EPF$，$∠ PFC$的数量关系.
（1）问题解答：如图1，当点$P$在点$E$，$F$的左侧时，写出$∠ AEP$，$∠ EPF$，$∠ PFC$满足的数量关系：$\underline{\hspace{5cm}}$；如图2，当点$P$在点$E$，$F$的右侧时，写出$∠ AEP$，$∠ EPF$，$∠ PFC$满足的数量关系：$\underline{\hspace{5cm}}$.
（2）问题迁移：如图3，若$QE$，$QF$分别平分$∠ PEB$和$∠ PFD$，且点$P$在点$E$，$F$的左侧.
① 若$∠ EPF=80°$，则$∠ EQF$的度数为$\underline{\hspace{2cm}}$.
② 猜想$∠ EPF$与$∠ EQF$的数量关系，并说明理由.
（3）问题拓展：在（2）条件下，如图4，若$∠ BEQ$与$∠ DFQ$的平分线相交于点$Q_1$，$∠ BEQ_1$与$∠ DFQ_1$的平分线相交于点$Q_2$，$∠ BEQ_2$与$∠ DFQ_2$的平分线相交于点$Q_3$，$···$，以此类推，直接写出$∠ EPF$与$∠ EQ_{2\,024}F$满足的数量关系.

解：
（1）
过点P作$PG// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore PG// CD$，
$\therefore ∠ AEP=∠ EPG$，$∠ PFC=∠ FPG$，
$\therefore ∠ EPF=∠ EPG+∠ FPG=∠ AEP+∠ PFC$；
当点P在点E，F的右侧时，过点P作$PG// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore PG// CD$，
$\therefore ∠ AEP+∠ EPG=180°$，$∠ PFC+∠ FPG=180°$，
$\therefore ∠ AEP+∠ EPF+∠ PFC=360°$。
故答案依次为：$\boldsymbol{∠ EPF=∠ AEP+∠ PFC}$；$\boldsymbol{∠ AEP+∠ EPF+∠ PFC=360°}$。
（2）①
$\because ∠ EPF=80°$，点P在E、F左侧，
$\therefore ∠ AEP+∠ PFC=80°$，
$\because ∠ AEP+∠ PEB=180°$，$∠ PFC+∠ PFD=180°$，
$\therefore ∠ PEB+∠ PFD=360°-(∠ AEP+∠ PFC)=280°$，
$\because QE$平分$∠ PEB$，$QF$平分$∠ PFD$，
$\therefore ∠ BEQ+∠ DFQ=\frac{1}{2}(∠ PEB+∠ PFD)=140°$，
过点Q作$QM// AB$，同理可得$∠ EQF=∠ BEQ+∠ DFQ=140°$。
故答案为：$\boldsymbol{140°}$。
② 猜想：$\boldsymbol{∠ EPF + 2∠ EQF=360°}$，理由如下：
$\because QE$平分$∠ PEB$，$QF$平分$∠ PFD$，
$\therefore ∠ PEB=2∠ BEQ$，$∠ PFD=2∠ DFQ$。
过点Q作$QM// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore QM// CD$，
$\therefore ∠ EQM=∠ BEQ$，$∠ FQM=∠ DFQ$，
$\therefore ∠ EQF=∠ EQM+∠ FQM=∠ BEQ+∠ DFQ$，
$\therefore 2∠ EQF=2∠ BEQ+2∠ DFQ=∠ PEB+∠ PFD$。
又$\because ∠ AEP+∠ PEB=180°$，$∠ PFC+∠ PFD=180°$，
$\therefore ∠ AEP+∠ PFC+∠ PEB+∠ PFD=360°$，
由（1）知$∠ EPF=∠ AEP+∠ PFC$，代入得：
$∠ EPF + 2∠ EQF=360°$。
（3）
由角平分线的递推规律可得：
$\boldsymbol{∠ EPF + 2^{2024}·∠ EQ_{2024}F=360°}$。