19. 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，$OM ⊥ AB$.
（1）若$∠ 1 = ∠ 2$，求证$ON ⊥ CD$.
（2）若$∠ 1 = \frac{1}{2}∠ BOD$，求$∠ BOC$的度数.

（1）证明：
∵ $OM⊥AB$，
∴ $∠ AOM = 90°$，即 $∠ 1 + ∠ AOC = 90°$。
又∵ $∠ 1 = ∠ 2$，
∴ $∠ 2 + ∠ AOC = ∠ CON = 90°$，
∴ $ON⊥CD$。
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（2）解：
∵ $OM⊥AB$，
∴ $∠ MOB = 90°$，
∴ $∠ 1 + ∠ BOD = 90°$。
∵ $∠ 1 = \frac{1}{2}∠ BOD$，
∴ $\frac{1}{2}∠ BOD + ∠ BOD = 90°$，
解得 $∠ BOD = 60°$。
又∵ 直线$CD$为平角，$∠ BOC + ∠ BOD = 180°$，
∴ $∠ BOC = 180° - 60° = 120°$。
答：$∠ BOC$的度数为$120°$。

20. 如图，在四边形ABCD中，$AD// BC$，$∠ B=80°$.
（1）求$∠ BAD$的度数.
（2）若AE平分$∠ BAD$，交BC于点E，$∠ BCD=50°$，求证$AE// DC$.

解：(1)
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ BAD + ∠ B = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∵ $∠ B=80°$，
∴ $∠ BAD = 180° - 80° = 100°$。
证明：(2)
∵ $AE$平分$∠ BAD$，$∠ BAD=100°$，
∴ $∠ DAE = \frac{1}{2}∠ BAD = 50°$，
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ DAE = ∠ AEB$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ AEB = 50°$，
又∵ $∠ BCD=50°$，
∴ $∠ AEB = ∠ BCD$，
∴ $AE// DC$（同位角相等，两直线平行）。