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7. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”. 如图是由八个全等的直角三角形拼接而成. 记图中正方形$ABCD$，正方形$EFGH$，正方形$MNKT$的面积分别为$S_1,S_2,S_3$，若$S_1+S_2+S_3=21$，则$S_2$的值是（
A.9.5
B.9
C.7.5
D.7
D
）A.9.5
B.9
C.7.5
D.7
答案
7.D
8. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式,后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的长方形由两个这样的图形拼成,若$a=3,b=4$,则该长方形的面积为
24
.答案
8.24
9. 勾股定理美妙,证法多样,其中“面积法”是常用方法,当两个全等的直角三角形如图所示摆放时, $∠ DAB=90°$. 请用“面积法”证明勾股定理.
答案
9. 证明:如答图,连接DB,过点D作$DF⊥ BC$交BC的延长线于点F,则$DF=CE=b-a$.
$\because S_{四边形ADCB}=S_{△ ADC}+S_{△ ABC}=\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab$,
$S_{四边形ADCB}=S_{△ ADB}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b-a)$,
$\therefore \frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b-a)$,化简,得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
10. (2024·鼓楼区期中)用两个边长分别为$a,b,c$的直角三角形和一个两条直角边长都是$c$的直角三角形拼成如图的直角梯形.
(1)用两种方法计算该梯形的面积,说明$a^{2}+b^{2}=c^{2}$;
(2)是否存在一个直角三角形,在直角边长$a$不变的基础上,它的斜边长$c$与另一条直角边长$b$都增加相同的长度,所得三角形仍是一个直角三角形?请判断并说明理由.
(1)用两种方法计算该梯形的面积,说明$a^{2}+b^{2}=c^{2}$;
(2)是否存在一个直角三角形,在直角边长$a$不变的基础上,它的斜边长$c$与另一条直角边长$b$都增加相同的长度,所得三角形仍是一个直角三角形?请判断并说明理由.
答案
10. 解:(1)梯形的面积可表示为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$,还可表示为$\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^{2}$,$\therefore \frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^{2}$,即$(a+b)(a+b)=2ab+c^{2}$,$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
(2)不存在.理由:假设存在,且它的斜边长c与另一条直角边长b都增加$x(x≠0)$,则$a^{2}+(b+x)^{2}=(c+x)^{2}$,即$a^{2}+b^{2}+2bx+x^{2}=c^{2}+2cx+x^{2}$.$\because a^{2}+b^{2}=c^{2}$,$\therefore 2bx=2cx$.$\because x≠0$,$\therefore b=c$,这与斜边长大于直角边长矛盾,$\therefore$不存在.
(2)不存在.理由:假设存在,且它的斜边长c与另一条直角边长b都增加$x(x≠0)$,则$a^{2}+(b+x)^{2}=(c+x)^{2}$,即$a^{2}+b^{2}+2bx+x^{2}=c^{2}+2cx+x^{2}$.$\because a^{2}+b^{2}=c^{2}$,$\therefore 2bx=2cx$.$\because x≠0$,$\therefore b=c$,这与斜边长大于直角边长矛盾,$\therefore$不存在.
