20.（新情境·传统文化）“文房四宝”是中国特有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚.某校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元.
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少；
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？

【解析】(1)甲型号单价80元,乙型号单价50元.
(2)设购进甲型号$m$套,则购进乙型号$(100-m)$套,总费用为$W$元.
$\begin{cases}80m+50(100-m)≤5\ 870,① \\ 100-m＜3m. \ \ ② \end{cases}$
解不等式①:$80m+5\ 000-50m≤5\ 870,30m≤870$,得$m≤29$,
解不等式②:$100＜4m$,得$m＞25$.
结合$m$为正整数,因此$m$的取值为26,27,28,29,共4种购买方案.
即①甲型号26台,乙型号74台;
②甲型号27台,乙型号73台;
③甲型号28台,乙型号72台;
④甲型号29台,乙型号71台.
总费用:$W=80m+50(100-m)=30m+5\ 000$,
由于$30＞0$,因此$W$随$m$的增大而增大,当$m$取最小值26时,总费用最低.
$W_{\mathrm{最低}}=30×26+5000=5\ 780$元.

方程组及不等式的实际应用
在“方程组及不等式的实际应用”专题课上，老师在黑板上写了一道题目，如图，其中“……”部分条件被老师挡住了，请仔细阅读，并解决相应的问题。

【情境引入】
小凯发言：“设1条甲生产线一周能生产$x$件芯片，根据题意可列方程为$3x +7(800 -x)=3600$，……”老师表示小凯的发言是正确的。
（1）根据小凯的发言，题中被老师挡住的条件是。
①1条甲生产线比1条乙生产线一周多生产800件芯片；②1条甲生产线和1条乙生产线一周共能生产800件芯片。
【迁移类比】
（2）小兰认为这道题用二元一次方程组求解也非常方便，请你帮小兰列出方程组并求1条甲生产线和1条乙生产线一周各能生产多少件芯片。
【拓展探究】
（3）老师给同学们增设了一个问题：“该制造商对两条生产线进行了技术升级，升级后甲生产线的生产效率提高了40%，每条乙生产线一周比之前多生产150件芯片，随着产业规模的快速扩大，该制造商考虑在原有生产线的基础上，增加投入甲、乙两种生产线共8条，现一周的总产量至少是之前一周的2.6倍，且新投入的甲生产线数量不超过5条，请问有哪几种投入方案？”请解答这个问题。

(1) ②
(2) 1条甲生产线一周生产500件芯片,1条乙生产线一周生产300件芯片.
(3) 升级后产能:甲生产线:$500×(1+40\%)=700$(件/周),
乙生产线:$300+150=450$(件/周).
原有总产量3 600件,目标总产量$≥3\ 600×2.6=9\ 360$件.
设增加$a$条甲生产线,则增加$(8-a)$条乙生产线,依题意有
$700(a+3)+450(7+8-a)≥9\ 360$,解得$a≥\dfrac{51}{25}$,$a$取正整数,且新投入的甲生产线数量不超过5条,$a$可取3,4,5,共有3种投入方案,方案①:新投入3条甲生产线和5条乙生产线;方案②:新投入4条甲生产线和4条乙生产线;方案③:新投入5条甲生产线和3条乙生产线.