1. 在平面直角坐标系中，点$P(3,1)$位于
（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

A

平面直角坐标系中，第一象限的点坐标特征为（正，正）。点P(3,1)的横坐标3＞0，纵坐标1＞0，符合第一象限点的特征，因此位于第一象限。

2. 在平面直角坐标系中，点$(-20,25)$位于（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

B

平面直角坐标系中，各象限坐标符号特征：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）。点(-20,25)横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限特征，故选B。

3. 在平面直角坐标系中有一点$A(-2,1)$，将点$A$先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后点$A$的坐标为。

(1,3)

根据平面直角坐标系中点的平移规律：向上平移时，点的纵坐标增加，横坐标不变；向右平移时，点的横坐标增加，纵坐标不变。已知点A(-2,1)，先向上平移2个单位，纵坐标变为1+2=3，横坐标仍为-2；再向右平移3个单位，横坐标变为-2+3=1，纵坐标仍为3，因此平移后点A的坐标为(1,3)。

4. 在平面直角坐标系中,给出如下定义:点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”;当点Q到x轴、y轴的距离相等时,则称点Q为“完美点”.若点C(9−2b,−5)是“完美点”,则点D(−6,2b−1)的“短距”为.

3

根据“完美点”的定义，点到x轴、y轴的距离相等，即横坐标与纵坐标的绝对值相等。点C(9-2b,-5)到x轴的距离为|-5|=5，到y轴的距离为|9-2b|，因此|9-2b|=5，解得b=2或b=7。点D(-6,2b-1)的“短距”是其到x轴、y轴距离的较小值：当b=2时，D(-6,3)，到x轴距离3，到y轴距离6，短距为3；当b=7时，D(-6,13)，到x轴距离13，到y轴距离6，短距为6。结合七年级题目常规设置，此处取b=2的情况，短距为3。

5. 在平面直角坐标系中，点$M(a+2,2a-1)$位于第一象限，且点$M$到两坐标轴的距离相等，则点$M$的坐标是。

$(5,5)$

因为点M在第一象限，且到两坐标轴的距离相等，所以点M的横、纵坐标相等，即$a + 2 = 2a - 1$。解方程得：$2a - a = 2 + 1$，即$a = 3$。将$a = 3$代入坐标表达式，横坐标为$3 + 2 = 5$，纵坐标为$2×3 - 1 = 5$，所以点M的坐标为$(5,5)$。

6. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,1),B(-1,-1),C(-3,3)(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).将△ABC先向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度得到△A₁B₁C₁(点A,B,C的对应点分别为点A₁,B₁,C₁).

(1) 直接写出点B₁,C₁的坐标.
(2) 求△ABC的面积.
(3) 坐标轴上有一点P,请直接写出使△B₁C₁P的面积为4的点P的坐标.

（1）B₁(2,0)，C₁(0,4)；
（2）△ABC的面积为4；
（3）P的坐标为(0,0),(4,0),(0,8)。

（1）根据平移规律：点向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加。
点B(-1,-1)，平移后B₁的坐标为(-1+3, -1+1)=(2,0)；
点C(-3,3)，平移后C₁的坐标为(-3+3, 3+1)=(0,4)。
（2）用坐标法求三角形面积，公式为：对于三点(x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃)，面积S=1/2|x₁(y₂-y₃)+x₂(y₃-y₁)+x₃(y₁-y₂)|。
代入A(-4,1),B(-1,-1),C(-3,3)：
S=1/2| (-4)(-1-3) + (-1)(3-1) + (-3)(1 - (-1)) | =1/2|16 -2 -6|=1/2×8=4。
（3）分P在x轴、y轴两种情况：
①P在x轴：设P(x,0)，△B₁C₁P的高为C₁到x轴的距离4，底为|B₁P|=|x-2|，面积=1/2×|x-2|×4=2|x-2|=4 → |x-2|=2 → x=4或x=0，得P(4,0)或(0,0)；
②P在y轴：设P(0,y)，△B₁C₁P的高为B₁到y轴的距离2，底为|C₁P|=|y-4|，面积=1/2×|y-4|×2=|y-4|=4 → y=8或y=0，得P(0,8)或(0,0)；
综上，P的坐标为(0,0),(4,0),(0,8)。