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1. 如图所示的电路中,电源电压$U$不变,$r$、$R_1$和$R_2$均为定值电阻,其中$r=1\ \Omega$,$R_1=14\ \Omega$,$\mathrm{S}_1$为单刀单掷开关,$\mathrm{S}_2$为单刀双掷开关.闭合$\mathrm{S}_1$,将$\mathrm{S}_2$掷于1端,电压表$\mathrm{V}$的示数$U_1=2.8\ \mathrm{V}$;将$\mathrm{S}_2$切换到2端,电压表$\mathrm{V}$的示数$U_2=2.7\ \mathrm{V}$.求:
(1)电源电压$U$的大小.
(2)电阻$R_2$的阻值.
(1)电源电压$U$的大小.
(2)电阻$R_2$的阻值.
答案
(1)3 V (2)$9\ \Omega$
解析:(1)闭合$S_{1}$,将$S_{2}$掷于1端,$r$、$R_{1}$串联接入电路,电压表测$R_{1}$两端的电压,由欧姆定律可得此时通过电路的电流:$I_{1}=\frac{U_{1}}{R_{1}}=\frac{2.8\ \mathrm{V}}{14\ \Omega}=0.2\ \mathrm{A}$,串联电路总电阻等于各部分电阻之和,则电路总电阻:$R=r+R_{1}=1\ \Omega+14\ \Omega=15\ \Omega$,电源电压:$U=I_{1}R=0.2\ \mathrm{A}×15\ \Omega=3\ \mathrm{V}$.
(2)闭合$S_{1}$,将$S_{2}$切换到2端,$r$、$R_{2}$串联接入电路,电压表测$R_{2}$两端的电压,串联电路总电压等于各部分电压之和,所以$r$两端的电压:$U_{r}=U-U_{2}=3\ \mathrm{V}-2.7\ \mathrm{V}=0.3\ \mathrm{V}$,此时通过电路的电流:$I_{2}=\frac{U_{r}}{r}=\frac{0.3\ \mathrm{V}}{1\ \Omega}=0.3\ \mathrm{A}$,串联电路各处电流相等,由欧姆定律可得电阻$R_{2}$的阻值:$R_{2}=\frac{U_{2}}{I_{2}}=\frac{2.7\ \mathrm{V}}{0.3\ \mathrm{A}}=9\ \Omega$.
解析:(1)闭合$S_{1}$,将$S_{2}$掷于1端,$r$、$R_{1}$串联接入电路,电压表测$R_{1}$两端的电压,由欧姆定律可得此时通过电路的电流:$I_{1}=\frac{U_{1}}{R_{1}}=\frac{2.8\ \mathrm{V}}{14\ \Omega}=0.2\ \mathrm{A}$,串联电路总电阻等于各部分电阻之和,则电路总电阻:$R=r+R_{1}=1\ \Omega+14\ \Omega=15\ \Omega$,电源电压:$U=I_{1}R=0.2\ \mathrm{A}×15\ \Omega=3\ \mathrm{V}$.
(2)闭合$S_{1}$,将$S_{2}$切换到2端,$r$、$R_{2}$串联接入电路,电压表测$R_{2}$两端的电压,串联电路总电压等于各部分电压之和,所以$r$两端的电压:$U_{r}=U-U_{2}=3\ \mathrm{V}-2.7\ \mathrm{V}=0.3\ \mathrm{V}$,此时通过电路的电流:$I_{2}=\frac{U_{r}}{r}=\frac{0.3\ \mathrm{V}}{1\ \Omega}=0.3\ \mathrm{A}$,串联电路各处电流相等,由欧姆定律可得电阻$R_{2}$的阻值:$R_{2}=\frac{U_{2}}{I_{2}}=\frac{2.7\ \mathrm{V}}{0.3\ \mathrm{A}}=9\ \Omega$.
解析
【分析】
拿到这道题首先分两种开关状态梳理电路：第一步先分析S₂掷于1端的情况，此时r和R₁串联，电压表测量R₁两端的电压，已知R₁的阻值和它的分压，先通过欧姆定律算出此时电路的电流，再结合串联总电阻等于各电阻之和的规律，就能用U=IR求出电源总电压。第二步分析S₂切换到2端的情况，此时电路变为r和R₂串联，电压表测量R₂的电压，利用已经求出的电源总电压，减去R₂的分压就能得到r两端的电压，再通过欧姆定律算出此时电路的电流，最后依托R=U/I就能求出R₂的阻值，全程结合串联电路规律和欧姆定律即可完成求解。
【解析】
(1) 闭合S₁，S₂掷于1端时，r与R₁串联，电压表测R₁两端电压：
根据欧姆定律，此时电路中的电流：
$I_1 = \frac{U_1}{R_1} = \frac{2.8\ \mathrm{V}}{14\ \Omega} = 0.2\ \mathrm{A}$
串联电路总电阻等于各部分电阻之和，电路总电阻：
$R_{\mathrm{总1}} = r + R_1 = 1\ \Omega + 14\ \Omega = 15\ \Omega$
因此电源电压：
$U = I_1 R_{\mathrm{总1}} = 0.2\ \mathrm{A} × 15\ \Omega = 3\ \mathrm{V}$
(2) 闭合S₁，S₂切换到2端时，r与R₂串联，电压表测R₂两端电压：
根据串联电路总电压等于各部分电压之和，r两端的电压：
$U_r = U - U_2 = 3\ \mathrm{V} - 2.7\ \mathrm{V} = 0.3\ \mathrm{V}$
此时电路中的电流：
$I_2 = \frac{U_r}{r} = \frac{0.3\ \mathrm{V}}{1\ \Omega} = 0.3\ \mathrm{A}$
串联电路电流处处相等，由欧姆定律可得R₂的阻值：
$R_2 = \frac{U_2}{I_2} = \frac{2.7\ \mathrm{V}}{0.3\ \mathrm{A}} = 9\ \Omega$
【答案】
(1) 电源电压U为3 V；(2) 电阻R₂的阻值为$9\ \Omega$
【知识点】
串联电路规律，欧姆定律应用
【点评】
本题是电学基础串联电路计算题，核心是识别开关切换后的电路连接方式，明确电压表的测量对象，结合串联电路的电压、电流特点和欧姆定律分步计算即可，难度较低，适合巩固串联电路和欧姆定律的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先分两种开关状态梳理电路：第一步先分析S₂掷于1端的情况，此时r和R₁串联，电压表测量R₁两端的电压，已知R₁的阻值和它的分压，先通过欧姆定律算出此时电路的电流，再结合串联总电阻等于各电阻之和的规律，就能用U=IR求出电源总电压。第二步分析S₂切换到2端的情况，此时电路变为r和R₂串联，电压表测量R₂的电压，利用已经求出的电源总电压，减去R₂的分压就能得到r两端的电压，再通过欧姆定律算出此时电路的电流，最后依托R=U/I就能求出R₂的阻值，全程结合串联电路规律和欧姆定律即可完成求解。
【解析】
(1) 闭合S₁，S₂掷于1端时，r与R₁串联，电压表测R₁两端电压：
根据欧姆定律，此时电路中的电流：
$I_1 = \frac{U_1}{R_1} = \frac{2.8\ \mathrm{V}}{14\ \Omega} = 0.2\ \mathrm{A}$
串联电路总电阻等于各部分电阻之和，电路总电阻：
$R_{\mathrm{总1}} = r + R_1 = 1\ \Omega + 14\ \Omega = 15\ \Omega$
因此电源电压：
$U = I_1 R_{\mathrm{总1}} = 0.2\ \mathrm{A} × 15\ \Omega = 3\ \mathrm{V}$
(2) 闭合S₁，S₂切换到2端时，r与R₂串联，电压表测R₂两端电压：
根据串联电路总电压等于各部分电压之和，r两端的电压：
$U_r = U - U_2 = 3\ \mathrm{V} - 2.7\ \mathrm{V} = 0.3\ \mathrm{V}$
此时电路中的电流：
$I_2 = \frac{U_r}{r} = \frac{0.3\ \mathrm{V}}{1\ \Omega} = 0.3\ \mathrm{A}$
串联电路电流处处相等，由欧姆定律可得R₂的阻值：
$R_2 = \frac{U_2}{I_2} = \frac{2.7\ \mathrm{V}}{0.3\ \mathrm{A}} = 9\ \Omega$
【答案】
(1) 电源电压U为3 V；(2) 电阻R₂的阻值为$9\ \Omega$
【知识点】
串联电路规律，欧姆定律应用
【点评】
本题是电学基础串联电路计算题，核心是识别开关切换后的电路连接方式，明确电压表的测量对象，结合串联电路的电压、电流特点和欧姆定律分步计算即可，难度较低，适合巩固串联电路和欧姆定律的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
2. 如图所示,电源电压$U=6\ \mathrm{V}$恒定不变,变阻器$R_2$的变化范围是$0～20\ \Omega$,当电压表示数为$3.6\ \mathrm{V}$时,电流表示数为$0.3\ \mathrm{A}$,求:
(1)定值电阻$R_1$的阻值.
(2)若电压表量程为$0～3\ \mathrm{V}$,电流表量程为$0～0.6\ \mathrm{A}$,为保证两表安全,$R_2$阻值应在什么范围变化?
(1)定值电阻$R_1$的阻值.
(2)若电压表量程为$0～3\ \mathrm{V}$,电流表量程为$0～0.6\ \mathrm{A}$,为保证两表安全,$R_2$阻值应在什么范围变化?
答案
(1)$8\ \Omega$ (2)$2$~$8\ \Omega$
解析:(1)由电路图可知,$R_{1}$与滑动变阻器串联,电压表测滑动变阻器$R_{2}$两端的电压,电流表测电路中的电流,根据串联电路电压的规律知,电阻$R_{1}$两端的电压为$U_{1}=U-U_{2}=6\ \mathrm{V}-3.6\ \mathrm{V}=2.4\ \mathrm{V}$,
由欧姆定律可得$R_{1}$的阻值为$R_{1}=\frac{U_{1}}{I}=\frac{2.4\ \mathrm{V}}{0.3\ \mathrm{A}}=8\ \Omega$.
(2)因串联电路中各处的电流相等,且电流表的量程为0~0.6 A,所以,电路中的最大电流为$I'=0.6\ \mathrm{A}$,此时$R_{1}$两端的电压为$U_{1}'=I'R_{1}=0.6\ \mathrm{A}×8\ \Omega=4.8\ \mathrm{V}$,则此时变阻器接入电路中的电阻最小.因串联电路中总电压等于各分电压之和,所以,变阻器两端的电压为$U_{\mathrm{变}}=U-U_{1}'=6\ \mathrm{V}-4.8\ \mathrm{V}=1.2\ \mathrm{V}$,变阻器接入电路中的最小阻值为$R_{\mathrm{变小}}=\frac{U_{\mathrm{变}}}{I'}=\frac{1.2\ \mathrm{V}}{0.6\ \mathrm{A}}=2\ \Omega$.
电压表的量程为0~3 V,所以变阻器两端的最大电压为3 V.根据串联电路的电压特点知,定值电阻$R_{1}$两端的电压为$U_{1}''=U-U_{\mathrm{变大}}=6\ \mathrm{V}-3\ \mathrm{V}=3\ \mathrm{V}$,此时电路的电流为$I''=\frac{U_{1}''}{R_{1}}=\frac{3\ \mathrm{V}}{8\ \Omega}=0.375\ \mathrm{A}$,变阻器接入电路中的最大阻值为$R_{\mathrm{变大}}=\frac{U_{\mathrm{变大}}}{I''}=\frac{3\ \mathrm{V}}{0.375\ \mathrm{A}}=8\ \Omega$.
所以滑动变阻器的阻值变化范围为2~8 Ω.
解析:(1)由电路图可知,$R_{1}$与滑动变阻器串联,电压表测滑动变阻器$R_{2}$两端的电压,电流表测电路中的电流,根据串联电路电压的规律知,电阻$R_{1}$两端的电压为$U_{1}=U-U_{2}=6\ \mathrm{V}-3.6\ \mathrm{V}=2.4\ \mathrm{V}$,
由欧姆定律可得$R_{1}$的阻值为$R_{1}=\frac{U_{1}}{I}=\frac{2.4\ \mathrm{V}}{0.3\ \mathrm{A}}=8\ \Omega$.
(2)因串联电路中各处的电流相等,且电流表的量程为0~0.6 A,所以,电路中的最大电流为$I'=0.6\ \mathrm{A}$,此时$R_{1}$两端的电压为$U_{1}'=I'R_{1}=0.6\ \mathrm{A}×8\ \Omega=4.8\ \mathrm{V}$,则此时变阻器接入电路中的电阻最小.因串联电路中总电压等于各分电压之和,所以,变阻器两端的电压为$U_{\mathrm{变}}=U-U_{1}'=6\ \mathrm{V}-4.8\ \mathrm{V}=1.2\ \mathrm{V}$,变阻器接入电路中的最小阻值为$R_{\mathrm{变小}}=\frac{U_{\mathrm{变}}}{I'}=\frac{1.2\ \mathrm{V}}{0.6\ \mathrm{A}}=2\ \Omega$.
电压表的量程为0~3 V,所以变阻器两端的最大电压为3 V.根据串联电路的电压特点知,定值电阻$R_{1}$两端的电压为$U_{1}''=U-U_{\mathrm{变大}}=6\ \mathrm{V}-3\ \mathrm{V}=3\ \mathrm{V}$,此时电路的电流为$I''=\frac{U_{1}''}{R_{1}}=\frac{3\ \mathrm{V}}{8\ \Omega}=0.375\ \mathrm{A}$,变阻器接入电路中的最大阻值为$R_{\mathrm{变大}}=\frac{U_{\mathrm{变大}}}{I''}=\frac{3\ \mathrm{V}}{0.375\ \mathrm{A}}=8\ \Omega$.
所以滑动变阻器的阻值变化范围为2~8 Ω.
解析
【分析】
首先识别电路连接方式：定值电阻$R_1$和滑动变阻器$R_2$串联，电流表测量电路总电流，电压表测量滑动变阻器$R_2$两端的电压。
第(1)问求$R_1$阻值：根据串联电路总电压等于各部分电压之和，先算出$R_1$两端的电压，结合已知的电路电流，用欧姆定律$R=\frac{U}{I}$即可求出$R_1$的阻值。
第(2)问求$R_2$的取值范围：这类电路安全问题需要同时满足两个电表的量程限制：①先考虑电流表的量程上限0.6A，此时电路总电阻最小，对应滑动变阻器接入的阻值最小，结合欧姆定律和串联规律算出$R_2$的最小值；②再考虑电压表的量程上限3V，此时滑动变阻器两端电压最大，对应滑动变阻器接入的阻值最大，同理算出$R_2$的最大值，最终得到$R_2$的合理变化范围。
【解析】
解：
(1) 由串联电路电压规律，定值电阻$R_1$两端的电压为：
$U_1 = U - U_2 = 6\ \mathrm{V} - 3.6\ \mathrm{V} = 2.4\ \mathrm{V}$
根据欧姆定律$I=\frac{U}{R}$，可得$R_1$的阻值：
$R_1 = \frac{U_1}{I} = \frac{2.4\ \mathrm{V}}{0.3\ \mathrm{A}} = 8\ \Omega$
(2) ① 计算滑动变阻器接入的最小阻值：
电流表量程为$0∼0.6\ \mathrm{A}$，因此电路允许的最大电流$I_{\mathrm{max}}=0.6\ \mathrm{A}$，此时电路总电阻最小，$R_2$接入阻值最小。
电路总电阻$R_{\mathrm{总小}} = \frac{U}{I_{\mathrm{max}}} = \frac{6\ \mathrm{V}}{0.6\ \mathrm{A}} = 10\ \Omega$
由串联电路电阻规律，$R_2$的最小阻值：
$R_{2\mathrm{小}} = R_{\mathrm{总小}} - R_1 = 10\ \Omega - 8\ \Omega = 2\ \Omega$
验证：此时$R_2$两端电压$U_{2\mathrm{小}}=I_{\mathrm{max}}R_{2\mathrm{小}}=0.6\ \mathrm{A} × 2\ \Omega=1.2\ \mathrm{V} ＜ 3\ \mathrm{V}$，电压表安全。
② 计算滑动变阻器接入的最大阻值：
电压表量程为$0∼3\ \mathrm{V}$，因此$R_2$两端允许的最大电压$U_{2\mathrm{max}}=3\ \mathrm{V}$，此时$R_2$接入阻值最大。
此时$R_1$两端的电压：$U_{1\mathrm{小}} = U - U_{2\mathrm{max}} = 6\ \mathrm{V} - 3\ \mathrm{V} = 3\ \mathrm{V}$
电路中的电流：$I_{\mathrm{min}} = \frac{U_{1\mathrm{小}}}{R_1} = \frac{3\ \mathrm{V}}{8\ \Omega} = 0.375\ \mathrm{A} ＜ 0.6\ \mathrm{A}$，电流表安全。
因此$R_2$的最大阻值：
$R_{2\mathrm{大}} = \frac{U_{2\mathrm{max}}}{I_{\mathrm{min}}} = \frac{3\ \mathrm{V}}{0.375\ \mathrm{A}} = 8\ \Omega$
综上，为保证两表安全，$R_2$的阻值变化范围是$2\ \Omega ∼ 8\ \Omega$。
【答案】
(1) 定值电阻$R_1$的阻值为$8\ \Omega$；(2) $R_2$阻值的变化范围为$2\ \Omega ∼ 8\ \Omega$
【知识点】
串联电路规律，欧姆定律，电路安全分析
【点评】
本题是串联电路欧姆定律应用的经典题型，第一问难度较低，考察基础的串联电压规律和欧姆定律计算；第二问的滑动变阻器取值范围是易错点，需要同时兼顾电流表、电压表的量程限制，分别推导最小、最大接入阻值，验证两个限制条件互不冲突后得到最终区间，避免出现只考虑单个电表量程导致的计算错误。
【难度系数】
0.6
首先识别电路连接方式：定值电阻$R_1$和滑动变阻器$R_2$串联，电流表测量电路总电流，电压表测量滑动变阻器$R_2$两端的电压。
第(1)问求$R_1$阻值：根据串联电路总电压等于各部分电压之和，先算出$R_1$两端的电压，结合已知的电路电流，用欧姆定律$R=\frac{U}{I}$即可求出$R_1$的阻值。
第(2)问求$R_2$的取值范围：这类电路安全问题需要同时满足两个电表的量程限制：①先考虑电流表的量程上限0.6A，此时电路总电阻最小，对应滑动变阻器接入的阻值最小，结合欧姆定律和串联规律算出$R_2$的最小值；②再考虑电压表的量程上限3V，此时滑动变阻器两端电压最大，对应滑动变阻器接入的阻值最大，同理算出$R_2$的最大值，最终得到$R_2$的合理变化范围。
【解析】
解：
(1) 由串联电路电压规律，定值电阻$R_1$两端的电压为：
$U_1 = U - U_2 = 6\ \mathrm{V} - 3.6\ \mathrm{V} = 2.4\ \mathrm{V}$
根据欧姆定律$I=\frac{U}{R}$，可得$R_1$的阻值：
$R_1 = \frac{U_1}{I} = \frac{2.4\ \mathrm{V}}{0.3\ \mathrm{A}} = 8\ \Omega$
(2) ① 计算滑动变阻器接入的最小阻值：
电流表量程为$0∼0.6\ \mathrm{A}$，因此电路允许的最大电流$I_{\mathrm{max}}=0.6\ \mathrm{A}$，此时电路总电阻最小，$R_2$接入阻值最小。
电路总电阻$R_{\mathrm{总小}} = \frac{U}{I_{\mathrm{max}}} = \frac{6\ \mathrm{V}}{0.6\ \mathrm{A}} = 10\ \Omega$
由串联电路电阻规律，$R_2$的最小阻值：
$R_{2\mathrm{小}} = R_{\mathrm{总小}} - R_1 = 10\ \Omega - 8\ \Omega = 2\ \Omega$
验证：此时$R_2$两端电压$U_{2\mathrm{小}}=I_{\mathrm{max}}R_{2\mathrm{小}}=0.6\ \mathrm{A} × 2\ \Omega=1.2\ \mathrm{V} ＜ 3\ \mathrm{V}$，电压表安全。
② 计算滑动变阻器接入的最大阻值：
电压表量程为$0∼3\ \mathrm{V}$，因此$R_2$两端允许的最大电压$U_{2\mathrm{max}}=3\ \mathrm{V}$，此时$R_2$接入阻值最大。
此时$R_1$两端的电压：$U_{1\mathrm{小}} = U - U_{2\mathrm{max}} = 6\ \mathrm{V} - 3\ \mathrm{V} = 3\ \mathrm{V}$
电路中的电流：$I_{\mathrm{min}} = \frac{U_{1\mathrm{小}}}{R_1} = \frac{3\ \mathrm{V}}{8\ \Omega} = 0.375\ \mathrm{A} ＜ 0.6\ \mathrm{A}$，电流表安全。
因此$R_2$的最大阻值：
$R_{2\mathrm{大}} = \frac{U_{2\mathrm{max}}}{I_{\mathrm{min}}} = \frac{3\ \mathrm{V}}{0.375\ \mathrm{A}} = 8\ \Omega$
综上，为保证两表安全，$R_2$的阻值变化范围是$2\ \Omega ∼ 8\ \Omega$。
【答案】
(1) 定值电阻$R_1$的阻值为$8\ \Omega$；(2) $R_2$阻值的变化范围为$2\ \Omega ∼ 8\ \Omega$
【知识点】
串联电路规律，欧姆定律，电路安全分析
【点评】
本题是串联电路欧姆定律应用的经典题型，第一问难度较低，考察基础的串联电压规律和欧姆定律计算；第二问的滑动变阻器取值范围是易错点，需要同时兼顾电流表、电压表的量程限制，分别推导最小、最大接入阻值，验证两个限制条件互不冲突后得到最终区间，避免出现只考虑单个电表量程导致的计算错误。
【难度系数】
0.6
3. 如图,理想电源电压为8 V恒定,定值电阻$R_0=16\ \Omega$,灯泡能够允许通过最大的电流为0.5 A,灯丝阻值不变,电流表的量程为0~0.6 A,电压表的量程为0~5 V.滑动变阻器连入电路的电阻与其接入长度成正比,A是滑动变阻器下端点,B与O分别是滑动变阻器上某点,且OA间电阻为滑动变阻器总电阻的$\frac{2}{3}$.当只闭合开关S和$S_1$,滑动变阻器滑片P在B点时,电流表的示数为0.5 A,电压表的示数为2 V;当只闭合开关S和$S_2$,滑片P分别在O点和B点时,电压表的示数之比$U_{AO}:U_{AB}=2:1$.求:
(1)灯泡的电阻.
(2)滑动变阻器AB间电阻与滑动变阻器最大阻值的比值.
(3)当只闭合S和$S_1$时,在保证电路安全的前提下,滑动变阻器的可调范围.
(1)灯泡的电阻.
(2)滑动变阻器AB间电阻与滑动变阻器最大阻值的比值.
(3)当只闭合S和$S_1$时,在保证电路安全的前提下,滑动变阻器的可调范围.
答案
(1)$12\ \Omega$ (2)0.25 (3)$4$~$16\ \Omega$
解析:(1)当只闭合开关S和$S_{1}$时,灯泡和滑动变阻器串联,电压表测量滑动变阻器两端电压为2 V,根据串联电路电压规律可得,灯泡两端的电压$U_{\mathrm{L}}=U-U_{B}=8\ \mathrm{V}-2\ \mathrm{V}=6\ \mathrm{V}$,则灯泡的电阻$R_{\mathrm{L}}=\frac{U_{\mathrm{L}}}{I}=\frac{6\ \mathrm{V}}{0.5\ \mathrm{A}}=12\ \Omega$.
(2)滑动变阻器AB间电阻$R_{AB}=\frac{U_{AB}'}{I}=\frac{2\ \mathrm{V}}{0.5\ \mathrm{A}}=4\ \Omega$,当只闭合开关S和$S_{2}$,滑片P位于B点时,定值电阻$R_{0}$与滑动变阻器串联,根据串联分压原理可得$\frac{U_{AB}}{U-U_{AB}}=\frac{R_{AB}}{R_{0}}$,即$\frac{U_{AB}}{8\ \mathrm{V}-U_{AB}}=\frac{4\ \Omega}{16\ \Omega}$,解得:$U_{AB}=1.6\ \mathrm{V}$,已知$U_{AO}:U_{AB}=2:1$,则$U_{AO}=2U_{AB}=2×1.6\ \mathrm{V}=3.2\ \mathrm{V}$,当只闭合开关S和$S_{2}$,滑片P位于O点时,定值电阻$R_{0}$与滑动变阻器串联,根据串联分压原理可得$\frac{U_{AO}}{U-U_{AO}}=\frac{R_{AO}}{R_{0}}$,即$\frac{3.2\ \mathrm{V}}{8\ \mathrm{V}-3.2\ \mathrm{V}}=\frac{R_{AO}}{16\ \Omega}$,解得:$R_{AO}=\frac{32}{3}\ \Omega$,因为OA间电阻为滑动变阻器总电阻的$\frac{2}{3}$,故$R_{1}=\frac{3}{2}R_{AO}=\frac{3}{2}×\frac{32}{3}\ \Omega=16\ \Omega$,则滑动变阻器AB间电阻与滑动变阻器最大阻值的比值$\frac{R_{AB}}{R_{1}}=\frac{4\ \Omega}{16\ \Omega}=\frac{1}{4}=0.25$.
(3)当只闭合S和$S_{1}$时,电压表的量程为0~5 V,根据串联分压的原理可知,当电压表最大为5 V时,滑动变阻器接入电路阻值最大.根据串联电路电压规律可知,此时灯泡两端的电压$U_{\mathrm{L}}'=U-U_{\mathrm{V}}=8\ \mathrm{V}-5\ \mathrm{V}=3\ \mathrm{V}$,则此时通过的电流$I=\frac{U_{\mathrm{L}}'}{R_{\mathrm{L}}}=\frac{3\ \mathrm{V}}{12\ \Omega}=0.25\ \mathrm{A}$,此时滑动变阻器接入电路的电阻$R_{1}'=\frac{U_{\mathrm{V}}}{I}=\frac{5\ \mathrm{V}}{0.25\ \mathrm{A}}=20\ \Omega＞16\ \Omega$,灯泡正常发光时滑动变阻器接入电路的电阻最小,所以滑动变阻器的可调范围为4~16 Ω.
解析:(1)当只闭合开关S和$S_{1}$时,灯泡和滑动变阻器串联,电压表测量滑动变阻器两端电压为2 V,根据串联电路电压规律可得,灯泡两端的电压$U_{\mathrm{L}}=U-U_{B}=8\ \mathrm{V}-2\ \mathrm{V}=6\ \mathrm{V}$,则灯泡的电阻$R_{\mathrm{L}}=\frac{U_{\mathrm{L}}}{I}=\frac{6\ \mathrm{V}}{0.5\ \mathrm{A}}=12\ \Omega$.
(2)滑动变阻器AB间电阻$R_{AB}=\frac{U_{AB}'}{I}=\frac{2\ \mathrm{V}}{0.5\ \mathrm{A}}=4\ \Omega$,当只闭合开关S和$S_{2}$,滑片P位于B点时,定值电阻$R_{0}$与滑动变阻器串联,根据串联分压原理可得$\frac{U_{AB}}{U-U_{AB}}=\frac{R_{AB}}{R_{0}}$,即$\frac{U_{AB}}{8\ \mathrm{V}-U_{AB}}=\frac{4\ \Omega}{16\ \Omega}$,解得:$U_{AB}=1.6\ \mathrm{V}$,已知$U_{AO}:U_{AB}=2:1$,则$U_{AO}=2U_{AB}=2×1.6\ \mathrm{V}=3.2\ \mathrm{V}$,当只闭合开关S和$S_{2}$,滑片P位于O点时,定值电阻$R_{0}$与滑动变阻器串联,根据串联分压原理可得$\frac{U_{AO}}{U-U_{AO}}=\frac{R_{AO}}{R_{0}}$,即$\frac{3.2\ \mathrm{V}}{8\ \mathrm{V}-3.2\ \mathrm{V}}=\frac{R_{AO}}{16\ \Omega}$,解得:$R_{AO}=\frac{32}{3}\ \Omega$,因为OA间电阻为滑动变阻器总电阻的$\frac{2}{3}$,故$R_{1}=\frac{3}{2}R_{AO}=\frac{3}{2}×\frac{32}{3}\ \Omega=16\ \Omega$,则滑动变阻器AB间电阻与滑动变阻器最大阻值的比值$\frac{R_{AB}}{R_{1}}=\frac{4\ \Omega}{16\ \Omega}=\frac{1}{4}=0.25$.
(3)当只闭合S和$S_{1}$时,电压表的量程为0~5 V,根据串联分压的原理可知,当电压表最大为5 V时,滑动变阻器接入电路阻值最大.根据串联电路电压规律可知,此时灯泡两端的电压$U_{\mathrm{L}}'=U-U_{\mathrm{V}}=8\ \mathrm{V}-5\ \mathrm{V}=3\ \mathrm{V}$,则此时通过的电流$I=\frac{U_{\mathrm{L}}'}{R_{\mathrm{L}}}=\frac{3\ \mathrm{V}}{12\ \Omega}=0.25\ \mathrm{A}$,此时滑动变阻器接入电路的电阻$R_{1}'=\frac{U_{\mathrm{V}}}{I}=\frac{5\ \mathrm{V}}{0.25\ \mathrm{A}}=20\ \Omega＞16\ \Omega$,灯泡正常发光时滑动变阻器接入电路的电阻最小,所以滑动变阻器的可调范围为4~16 Ω.
解析
【分析】
解题时我们需要分三步逐步推导：
1. 先分析第一问的电路状态：只闭合S和S₁时，滑动变阻器接入电路的部分与灯泡L串联，电压表测滑动变阻器两端电压，已知电源总电压、滑动变阻器的电压和电路电流，利用串联电路电压规律求出灯泡两端电压，再用欧姆定律直接计算灯泡电阻。
2. 第二问先利用第一问的已知条件算出AB段的电阻，再分析只闭合S和S₂的电路状态：此时滑动变阻器接入部分与定值电阻R₀串联，结合串联分压规律先算出滑片在B点时滑动变阻器的电压，再根据题目给出的电压比得到滑片在O点时滑动变阻器的电压，再次用串联分压算出AO段的电阻，结合OA电阻是总滑动变阻器阻值的2/3的条件，求出滑动变阻器最大总阻值，最终得到AB段电阻和最大阻值的比值。
3. 第三问分析电路安全的限制条件：要同时满足灯泡最大电流、电流表量程、电压表量程三个要求，先算出允许的最大电流对应的滑动变阻器最小阻值，再算出电压表满偏时对应的滑动变阻器阻值，对比滑动变阻器自身的最大总阻值，发现电压表满偏需要的阻值超过了滑动变阻器的最大量程，因此滑动变阻器的最大可取阻值就是它自身的总最大值，最终得到可调范围。
【解析】
(1) 当只闭合开关S和S₁时，滑动变阻器接入部分与灯泡L串联，电压表测滑动变阻器两端电压$U_B=2\ \mathrm{V}$，电路电流$I=0.5\ \mathrm{A}$。
根据串联电路电压规律，灯泡两端电压：
$U_L = U_{\mathrm{总}} - U_B = 8\ \mathrm{V} - 2\ \mathrm{V} = 6\ \mathrm{V}$
由欧姆定律$I=\frac{U}{R}$得灯泡的电阻：
$R_L = \frac{U_L}{I} = \frac{6\ \mathrm{V}}{0.5\ \mathrm{A}} = 12\ \Omega$
(2) 滑片在B点时，AB段为滑动变阻器接入部分，由欧姆定律得AB段电阻：
$R_{AB} = \frac{U_B}{I} = \frac{2\ \mathrm{V}}{0.5\ \mathrm{A}} = 4\ \Omega$
当只闭合开关S和S₂，滑片P在B点时，$R_0$与$R_{AB}$串联，根据串联分压规律：
$\frac{U_{AB}}{U_{\mathrm{总}} - U_{AB}} = \frac{R_{AB}}{R_0}$
代入数据：$\frac{U_{AB}}{8\ \mathrm{V} - U_{AB}} = \frac{4\ \Omega}{16\ \Omega}$
解得$U_{AB}=1.6\ \mathrm{V}$
已知$U_{AO}:U_{AB}=2:1$，因此$U_{AO}=2×1.6\ \mathrm{V}=3.2\ \mathrm{V}$
当滑片P在O点时，$R_0$与$R_{AO}$串联，同理根据串联分压规律：
$\frac{U_{AO}}{U_{\mathrm{总}} - U_{AO}} = \frac{R_{AO}}{R_0}$
代入数据：$\frac{3.2\ \mathrm{V}}{8\ \mathrm{V} - 3.2\ \mathrm{V}} = \frac{R_{AO}}{16\ \Omega}$
解得$R_{AO} = \frac{32}{3}\ \Omega$
由题意OA间电阻为滑动变阻器总电阻的$\frac{2}{3}$，因此滑动变阻器最大总阻值：
$R_1 = \frac{3}{2} R_{AO} = \frac{3}{2} × \frac{32}{3}\ \Omega = 16\ \Omega$
则滑动变阻器AB间电阻与最大阻值的比值：
$\frac{R_{AB}}{R_1} = \frac{4\ \Omega}{16\ \Omega} = \frac{1}{4} = 0.25$
(3) 当只闭合S和S₁时，电路安全限制分析：
① 电路允许的最大电流：灯泡允许最大电流为0.5 A，电流表量程0~0.6 A，因此电路最大电流$I_{\mathrm{max}}=0.5\ \mathrm{A}$，此时电路总电阻最小：
$R_{\mathrm{总min}} = \frac{U_{\mathrm{总}}}{I_{\mathrm{max}}} = \frac{8\ \mathrm{V}}{0.5\ \mathrm{A}} = 16\ \Omega$
滑动变阻器接入的最小阻值：$R_{\mathrm{滑min}} = R_{\mathrm{总min}} - R_L = 16\ \Omega - 12\ \Omega = 4\ \Omega$
② 电压表量程为0~5 V，当电压表示数最大为5 V时，灯泡两端电压$U_L' = 8\ \mathrm{V} -5\ \mathrm{V} =3\ \mathrm{V}$，此时电路电流$I' = \frac{U_L'}{R_L} = \frac{3\ \mathrm{V}}{12\ \Omega} =0.25\ \mathrm{A}$，对应滑动变阻器接入阻值$R_{\mathrm{滑}}' = \frac{5\ \mathrm{V}}{0.25\ \mathrm{A}} = 20\ \Omega$
但滑动变阻器自身最大总阻值仅为$16\ \Omega ＜ 20\ \Omega$，因此滑动变阻器接入的最大阻值取自身最大值$16\ \Omega$，此时滑动变阻器两端电压$U_{\mathrm{滑}}= \frac{16\ \Omega}{12\ \Omega+16\ \Omega}×8\ \mathrm{V} \approx4.57\ \mathrm{V} ＜5\ \mathrm{V}$，符合电压表量程要求。
因此滑动变阻器的可调范围是$4$~$16\ \Omega$。
【答案】
(1)$12\ \Omega$ (2)$0.25$ (3)$4$~$16\ \Omega$
【知识点】
串联电路规律，欧姆定律，电路安全分析
【点评】
本题是多开关状态的电学综合计算题，需要先准确识别不同开关组合下的串联电路结构，灵活运用串联分压和欧姆定律逐步推导未知电阻，第三问容易忽略滑动变阻器自身的最大阻值限制，误将20Ω作为滑动变阻器的最大取值，解题时要注意结合滑动变阻器的总阻值上限校验安全条件。
【难度系数】
0.4
解题时我们需要分三步逐步推导：
1. 先分析第一问的电路状态：只闭合S和S₁时，滑动变阻器接入电路的部分与灯泡L串联，电压表测滑动变阻器两端电压，已知电源总电压、滑动变阻器的电压和电路电流，利用串联电路电压规律求出灯泡两端电压，再用欧姆定律直接计算灯泡电阻。
2. 第二问先利用第一问的已知条件算出AB段的电阻，再分析只闭合S和S₂的电路状态：此时滑动变阻器接入部分与定值电阻R₀串联，结合串联分压规律先算出滑片在B点时滑动变阻器的电压，再根据题目给出的电压比得到滑片在O点时滑动变阻器的电压，再次用串联分压算出AO段的电阻，结合OA电阻是总滑动变阻器阻值的2/3的条件，求出滑动变阻器最大总阻值，最终得到AB段电阻和最大阻值的比值。
3. 第三问分析电路安全的限制条件：要同时满足灯泡最大电流、电流表量程、电压表量程三个要求，先算出允许的最大电流对应的滑动变阻器最小阻值，再算出电压表满偏时对应的滑动变阻器阻值，对比滑动变阻器自身的最大总阻值，发现电压表满偏需要的阻值超过了滑动变阻器的最大量程，因此滑动变阻器的最大可取阻值就是它自身的总最大值，最终得到可调范围。
【解析】
(1) 当只闭合开关S和S₁时，滑动变阻器接入部分与灯泡L串联，电压表测滑动变阻器两端电压$U_B=2\ \mathrm{V}$，电路电流$I=0.5\ \mathrm{A}$。
根据串联电路电压规律，灯泡两端电压：
$U_L = U_{\mathrm{总}} - U_B = 8\ \mathrm{V} - 2\ \mathrm{V} = 6\ \mathrm{V}$
由欧姆定律$I=\frac{U}{R}$得灯泡的电阻：
$R_L = \frac{U_L}{I} = \frac{6\ \mathrm{V}}{0.5\ \mathrm{A}} = 12\ \Omega$
(2) 滑片在B点时，AB段为滑动变阻器接入部分，由欧姆定律得AB段电阻：
$R_{AB} = \frac{U_B}{I} = \frac{2\ \mathrm{V}}{0.5\ \mathrm{A}} = 4\ \Omega$
当只闭合开关S和S₂，滑片P在B点时，$R_0$与$R_{AB}$串联，根据串联分压规律：
$\frac{U_{AB}}{U_{\mathrm{总}} - U_{AB}} = \frac{R_{AB}}{R_0}$
代入数据：$\frac{U_{AB}}{8\ \mathrm{V} - U_{AB}} = \frac{4\ \Omega}{16\ \Omega}$
解得$U_{AB}=1.6\ \mathrm{V}$
已知$U_{AO}:U_{AB}=2:1$，因此$U_{AO}=2×1.6\ \mathrm{V}=3.2\ \mathrm{V}$
当滑片P在O点时，$R_0$与$R_{AO}$串联，同理根据串联分压规律：
$\frac{U_{AO}}{U_{\mathrm{总}} - U_{AO}} = \frac{R_{AO}}{R_0}$
代入数据：$\frac{3.2\ \mathrm{V}}{8\ \mathrm{V} - 3.2\ \mathrm{V}} = \frac{R_{AO}}{16\ \Omega}$
解得$R_{AO} = \frac{32}{3}\ \Omega$
由题意OA间电阻为滑动变阻器总电阻的$\frac{2}{3}$，因此滑动变阻器最大总阻值：
$R_1 = \frac{3}{2} R_{AO} = \frac{3}{2} × \frac{32}{3}\ \Omega = 16\ \Omega$
则滑动变阻器AB间电阻与最大阻值的比值：
$\frac{R_{AB}}{R_1} = \frac{4\ \Omega}{16\ \Omega} = \frac{1}{4} = 0.25$
(3) 当只闭合S和S₁时，电路安全限制分析：
① 电路允许的最大电流：灯泡允许最大电流为0.5 A，电流表量程0~0.6 A，因此电路最大电流$I_{\mathrm{max}}=0.5\ \mathrm{A}$，此时电路总电阻最小：
$R_{\mathrm{总min}} = \frac{U_{\mathrm{总}}}{I_{\mathrm{max}}} = \frac{8\ \mathrm{V}}{0.5\ \mathrm{A}} = 16\ \Omega$
滑动变阻器接入的最小阻值：$R_{\mathrm{滑min}} = R_{\mathrm{总min}} - R_L = 16\ \Omega - 12\ \Omega = 4\ \Omega$
② 电压表量程为0~5 V，当电压表示数最大为5 V时，灯泡两端电压$U_L' = 8\ \mathrm{V} -5\ \mathrm{V} =3\ \mathrm{V}$，此时电路电流$I' = \frac{U_L'}{R_L} = \frac{3\ \mathrm{V}}{12\ \Omega} =0.25\ \mathrm{A}$，对应滑动变阻器接入阻值$R_{\mathrm{滑}}' = \frac{5\ \mathrm{V}}{0.25\ \mathrm{A}} = 20\ \Omega$
但滑动变阻器自身最大总阻值仅为$16\ \Omega ＜ 20\ \Omega$，因此滑动变阻器接入的最大阻值取自身最大值$16\ \Omega$，此时滑动变阻器两端电压$U_{\mathrm{滑}}= \frac{16\ \Omega}{12\ \Omega+16\ \Omega}×8\ \mathrm{V} \approx4.57\ \mathrm{V} ＜5\ \mathrm{V}$，符合电压表量程要求。
因此滑动变阻器的可调范围是$4$~$16\ \Omega$。
【答案】
(1)$12\ \Omega$ (2)$0.25$ (3)$4$~$16\ \Omega$
【知识点】
串联电路规律，欧姆定律，电路安全分析
【点评】
本题是多开关状态的电学综合计算题，需要先准确识别不同开关组合下的串联电路结构，灵活运用串联分压和欧姆定律逐步推导未知电阻，第三问容易忽略滑动变阻器自身的最大阻值限制，误将20Ω作为滑动变阻器的最大取值，解题时要注意结合滑动变阻器的总阻值上限校验安全条件。
【难度系数】
0.4
