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14. 如果$x_1$与$x_2$的平均数是4，那么$x_1+1$与$x_2+5$的平均数是.
答案
$\boldsymbol{7}$
解析
【分析】
首先回忆算术平均数的计算规则：一组数据的平均数等于所有数据的总和除以数据的个数。解题时先根据$x_1$与$x_2$的平均数求出$x_1+x_2$的和，再将待求的两个新数的平均数用含$x_1+x_2$的式子表示，整体代入计算就能得到结果。
【解析】
解：已知$x_1$与$x_2$的平均数是4，根据平均数的定义可得：
$\frac{x_1+x_2}{2}=4$
解得$x_1+x_2=8$
要求$x_1+1$与$x_2+5$的平均数，列式计算如下：
$\frac{(x_1+1)+(x_2+5)}{2}$
$=\frac{x_1+x_2+6}{2}$
将$x_1+x_2=8$代入上式，得：
$\frac{8+6}{2}=\frac{14}{2}=7$
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
1. 算术平均数的计算
2. 整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平均数的基本计算方法，解题的关键是熟练掌握平均数公式，运用整体代入的思想简化计算过程，掌握方法即可快速求解。
【难度系数】
0.85
首先回忆算术平均数的计算规则：一组数据的平均数等于所有数据的总和除以数据的个数。解题时先根据$x_1$与$x_2$的平均数求出$x_1+x_2$的和，再将待求的两个新数的平均数用含$x_1+x_2$的式子表示，整体代入计算就能得到结果。
【解析】
解：已知$x_1$与$x_2$的平均数是4，根据平均数的定义可得：
$\frac{x_1+x_2}{2}=4$
解得$x_1+x_2=8$
要求$x_1+1$与$x_2+5$的平均数，列式计算如下：
$\frac{(x_1+1)+(x_2+5)}{2}$
$=\frac{x_1+x_2+6}{2}$
将$x_1+x_2=8$代入上式，得：
$\frac{8+6}{2}=\frac{14}{2}=7$
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
1. 算术平均数的计算
2. 整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平均数的基本计算方法，解题的关键是熟练掌握平均数公式，运用整体代入的思想简化计算过程，掌握方法即可快速求解。
【难度系数】
0.85
15. 一个样本为1,3,2,2,a,b,c,已知这个样本的众数为3,平均数为2,那么这个样本的方差为.
答案
$\boldsymbol{\frac{8}{7}}$
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，回忆众数定义：众数是一组数据中出现次数最多的数，现有数据里2已经出现2次，要让3成为众数，3的出现次数要多于2次，因此未知的a、b、c中至少有2个是3；第二步，回忆平均数定义，数据总和=平均数×数据个数，先算出7个数据的总求和，减去已知数据的和就能得到a+b+c的数值，结合前面推出的至少2个3，就能确定第三个未知数据的值；第三步，所有数据确定后，代入方差公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 样本的众数为3，众数是一组数据中出现次数最多的数
已知现有数据中2出现2次，1、3各出现1次
∴ 3的出现次数至少为3次，即a、b、c中至少有2个等于3
∵ 样本平均数为2，样本共7个数据
∴ 7个数据的总和为 $7 × 2 = 14$
已知数据的和为 $1+3+2+2 = 8$
∴ $a+b+c = 14 - 8 = 6$
结合a、b、c中至少2个为3，可得两个3的和为 $3+3=6$，因此第三个数为 $6-6=0$，即a、b、c为3、3、0
根据方差公式 $S^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2]$，其中$\overline{x}=2$，$n=7$
代入数据得：
$S^2 = \frac{1}{7}[(1-2)^2 + (3-2)^2 + (2-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2 + (3-2)^2 + (0-2)^2]$
$= \frac{1}{7}[1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 4]$
$= \frac{1}{7} × 8 = \frac{8}{7}$
【答案】
$\frac{8}{7}$
【知识点】
众数；平均数；方差
【点评】
本题综合考查统计基础概念的应用，解题核心是先根据众数的特征确定未知数据中3的数量，再结合平均数求出全部未知数据，最后代入方差公式计算，需要熟练掌握三个统计量的定义和计算方法。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步思考：第一步，回忆众数定义：众数是一组数据中出现次数最多的数，现有数据里2已经出现2次，要让3成为众数，3的出现次数要多于2次，因此未知的a、b、c中至少有2个是3；第二步，回忆平均数定义，数据总和=平均数×数据个数，先算出7个数据的总求和，减去已知数据的和就能得到a+b+c的数值，结合前面推出的至少2个3，就能确定第三个未知数据的值；第三步，所有数据确定后，代入方差公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 样本的众数为3，众数是一组数据中出现次数最多的数
已知现有数据中2出现2次，1、3各出现1次
∴ 3的出现次数至少为3次，即a、b、c中至少有2个等于3
∵ 样本平均数为2，样本共7个数据
∴ 7个数据的总和为 $7 × 2 = 14$
已知数据的和为 $1+3+2+2 = 8$
∴ $a+b+c = 14 - 8 = 6$
结合a、b、c中至少2个为3，可得两个3的和为 $3+3=6$，因此第三个数为 $6-6=0$，即a、b、c为3、3、0
根据方差公式 $S^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2]$，其中$\overline{x}=2$，$n=7$
代入数据得：
$S^2 = \frac{1}{7}[(1-2)^2 + (3-2)^2 + (2-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2 + (3-2)^2 + (0-2)^2]$
$= \frac{1}{7}[1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 4]$
$= \frac{1}{7} × 8 = \frac{8}{7}$
【答案】
$\frac{8}{7}$
【知识点】
众数；平均数；方差
【点评】
本题综合考查统计基础概念的应用，解题核心是先根据众数的特征确定未知数据中3的数量，再结合平均数求出全部未知数据，最后代入方差公式计算，需要熟练掌握三个统计量的定义和计算方法。
【难度系数】
0.7
16. 一组数据2,x,y,12中,唯一的众数是12,平均数是10,则这组数据的中位数是.
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
【分析】
解题时先从已知的平均数入手，利用平均数公式先求出x与y的和；再结合“唯一众数是12”的条件，确定x、y的取值（众数是出现次数最多的数，要让12是唯一众数，12的出现次数需多于其他数，且不能有其他数和12出现次数相同）；最后将数据排序，按照中位数的计算规则求出结果即可。
【解析】
解：第一步，根据平均数的定义计算x+y的值：
已知4个数据的平均数是10，因此四个数的总和为 $10 × 4 = 40$
即 $2 + x + y + 12 = 40$，化简得 $x + y = 26$
第二步，结合唯一众数是12确定x、y的取值：
众数是一组数据中出现次数最多的数，现有数据中2和12各出现1次，要使12是唯一的众数，则12的出现次数最多，且不能有其他数的出现次数和12相同。
若x、y中其中一个数为2，则另一个数为$26-2=24$，此时2和12各出现2次，众数有两个，不符合题意，排除；
因此x、y中至少有一个数是12，若其中一个数为12，则另一个数为$26 - 12 = 14$，此时数据为2、12、12、14，12出现2次，其他数各出现1次，符合“唯一众数是12”的要求。
第三步，计算中位数：
将数据从小到大排序为：2，12，12，14
共4个数据，中位数是中间两个数的平均数，即 $\frac{12 + 12}{2} = 12$
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
平均数的计算；众数的定义；中位数的计算
【点评】
本题综合考查了数据统计中三个核心概念的应用，解题的关键是先通过平均数求出未知两数的和，再结合众数的唯一性限制确定两个未知数的取值，最后按规则计算中位数，解题时需注意“唯一众数”的限制条件，避免忽略该条件导致取值错误。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的平均数入手，利用平均数公式先求出x与y的和；再结合“唯一众数是12”的条件，确定x、y的取值（众数是出现次数最多的数，要让12是唯一众数，12的出现次数需多于其他数，且不能有其他数和12出现次数相同）；最后将数据排序，按照中位数的计算规则求出结果即可。
【解析】
解：第一步，根据平均数的定义计算x+y的值：
已知4个数据的平均数是10，因此四个数的总和为 $10 × 4 = 40$
即 $2 + x + y + 12 = 40$，化简得 $x + y = 26$
第二步，结合唯一众数是12确定x、y的取值：
众数是一组数据中出现次数最多的数，现有数据中2和12各出现1次，要使12是唯一的众数，则12的出现次数最多，且不能有其他数的出现次数和12相同。
若x、y中其中一个数为2，则另一个数为$26-2=24$，此时2和12各出现2次，众数有两个，不符合题意，排除；
因此x、y中至少有一个数是12，若其中一个数为12，则另一个数为$26 - 12 = 14$，此时数据为2、12、12、14，12出现2次，其他数各出现1次，符合“唯一众数是12”的要求。
第三步，计算中位数：
将数据从小到大排序为：2，12，12，14
共4个数据，中位数是中间两个数的平均数，即 $\frac{12 + 12}{2} = 12$
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
平均数的计算；众数的定义；中位数的计算
【点评】
本题综合考查了数据统计中三个核心概念的应用，解题的关键是先通过平均数求出未知两数的和，再结合众数的唯一性限制确定两个未知数的取值，最后按规则计算中位数，解题时需注意“唯一众数”的限制条件，避免忽略该条件导致取值错误。
【难度系数】
0.7
17. 样本数据3,a,4,b,8的平均数是5,众数是3,则这组数据的中位数是.
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
解题时我们可以分三步思考：第一步，先利用平均数的计算公式求出五个数的总和，进而得到a与b的和；第二步，结合众数是3的条件，确定a、b的取值，众数是一组数据中出现次数最多的数，因此3的出现次数要多于其他数，所以a、b中至少有一个是3；第三步，将所有数据从小到大排序后，找到中间位置的数就是中位数。
【解析】
首先，根据平均数的定义，这组数据的平均数是5，那么五个数的总和为：$5×5=25$
已知其中三个数是3、4、8，因此$a + b = 25 - (3 + 4 + 8) = 10$
又因为这组数据的众数是3，说明3出现的次数最多，现有数据中3只出现1次，因此a、b中至少有一个数是3。
若其中一个数为3，则另一个数为$10 - 3 = 7$，此时这组数据为3、3、4、7、8。
将数据从小到大排序后，共5个数据，中位数是第3个数据，即为4。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
平均数的计算；众数的定义；中位数的计算
【点评】
本题考查统计中三个常见特征量的综合应用，解题关键是先结合众数的特征确定未知数据的取值，再计算中位数，注意求中位数时必须先将数据按大小顺序排列。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以分三步思考：第一步，先利用平均数的计算公式求出五个数的总和，进而得到a与b的和；第二步，结合众数是3的条件，确定a、b的取值，众数是一组数据中出现次数最多的数，因此3的出现次数要多于其他数，所以a、b中至少有一个是3；第三步，将所有数据从小到大排序后，找到中间位置的数就是中位数。
【解析】
首先，根据平均数的定义，这组数据的平均数是5，那么五个数的总和为：$5×5=25$
已知其中三个数是3、4、8，因此$a + b = 25 - (3 + 4 + 8) = 10$
又因为这组数据的众数是3，说明3出现的次数最多，现有数据中3只出现1次，因此a、b中至少有一个数是3。
若其中一个数为3，则另一个数为$10 - 3 = 7$，此时这组数据为3、3、4、7、8。
将数据从小到大排序后，共5个数据，中位数是第3个数据，即为4。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
平均数的计算；众数的定义；中位数的计算
【点评】
本题考查统计中三个常见特征量的综合应用，解题关键是先结合众数的特征确定未知数据的取值，再计算中位数，注意求中位数时必须先将数据按大小顺序排列。
【难度系数】
0.7
18.刚刚举行的九年级体育模拟测试中,甲、乙两位同学在进行投篮测试,测试共五组,每组投10次,进球的个数统计结果如下.
甲:9,9,9,6,7;乙:4,9,8,9,10.
列表进行数据分析:
(1)b = ,c = ;
(2)试计算乙的平均成绩a和甲的方差d;
(3)如果你是体育老师,请你从平均成绩和成绩的稳定性两个方面分析哪位同学的成绩更好,请说明理由.
甲:9,9,9,6,7;乙:4,9,8,9,10.
列表进行数据分析:
(1)b = ,c = ;
(2)试计算乙的平均成绩a和甲的方差d;
(3)如果你是体育老师,请你从平均成绩和成绩的稳定性两个方面分析哪位同学的成绩更好,请说明理由.
答案
解：
(1) 将甲的进球个数按从小到大排列为：6，7，9，9，9，第3个数据为9，因此中位数$b=9$；
乙的进球个数中9出现了2次，出现次数最多，因此众数$c=9$。
(2) 乙的平均成绩：
$a=\frac{4+9+8+9+10}{5}=8$
甲的方差：
$d=\frac{1}{5}×[(9-8)^2+(9-8)^2+(9-8)^2+(6-8)^2+(7-8)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+1+1+4+1)$
$=1.6$
(3) 甲同学的成绩更好。
理由：甲乙两人的平均成绩相等，均为8，而甲的方差1.6小于乙的方差4.4，说明甲的成绩波动更小，稳定性更强，因此甲同学的成绩更好。
(1) 将甲的进球个数按从小到大排列为：6，7，9，9，9，第3个数据为9，因此中位数$b=9$；
乙的进球个数中9出现了2次，出现次数最多，因此众数$c=9$。
(2) 乙的平均成绩：
$a=\frac{4+9+8+9+10}{5}=8$
甲的方差：
$d=\frac{1}{5}×[(9-8)^2+(9-8)^2+(9-8)^2+(6-8)^2+(7-8)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+1+1+4+1)$
$=1.6$
(3) 甲同学的成绩更好。
理由：甲乙两人的平均成绩相等，均为8，而甲的方差1.6小于乙的方差4.4，说明甲的成绩波动更小，稳定性更强，因此甲同学的成绩更好。
解析
【分析】
解题思路：(1)求中位数需先将数据从小到大排序，共5个数据时，中位数为排序后第3个数据；众数是一组数据中出现次数最多的数，根据该定义可求出b和c。(2)平均成绩为算术平均数，用所有数据之和除以数据总个数即可计算a；方差是每个数据与平均数的差的平方的平均数，代入甲的数据按方差公式计算即可得到d。(3)先对比两人的平均成绩，若平均成绩相同，方差越小说明成绩波动越小、稳定性越好，据此即可判断哪位同学成绩更优。
【解析】
(1) 将甲的进球个数按从小到大排列为：6，7，9，9，9，共5个数据，第3个数据为9，因此中位数$b=9$；
乙的进球个数分别为4、9、8、9、10，其中9出现了2次，出现次数最多，因此众数$c=9$。
(2) 计算乙的平均成绩：
$a=\frac{4+9+8+9+10}{5}=8$
已知甲的平均成绩为8，计算甲的方差：
$d=\frac{1}{5}×[(9-8)^2+(9-8)^2+(9-8)^2+(6-8)^2+(7-8)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+1+1+4+1)$
$=1.6$
(3) 甲同学的成绩更好。
理由：甲乙两人的平均成绩相等，均为8，而甲的方差1.6小于乙的方差4.4，说明甲的成绩波动更小，稳定性更强，因此甲同学的成绩更好。
【答案】
(1) $9$，$9$；
(2) $a=8$，$d=1.6$；
(3) 甲同学的成绩更好，理由：甲乙平均成绩相同，甲的方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
中位数与众数，平均数计算，方差的应用
【点评】
本题考查常见统计量的计算和实际应用，只要掌握各统计量的定义、计算方法，理解方差反映数据波动程度的性质，结合题意分析即可解题，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路：(1)求中位数需先将数据从小到大排序，共5个数据时，中位数为排序后第3个数据；众数是一组数据中出现次数最多的数，根据该定义可求出b和c。(2)平均成绩为算术平均数，用所有数据之和除以数据总个数即可计算a；方差是每个数据与平均数的差的平方的平均数，代入甲的数据按方差公式计算即可得到d。(3)先对比两人的平均成绩，若平均成绩相同，方差越小说明成绩波动越小、稳定性越好，据此即可判断哪位同学成绩更优。
【解析】
(1) 将甲的进球个数按从小到大排列为：6，7，9，9，9，共5个数据，第3个数据为9，因此中位数$b=9$；
乙的进球个数分别为4、9、8、9、10，其中9出现了2次，出现次数最多，因此众数$c=9$。
(2) 计算乙的平均成绩：
$a=\frac{4+9+8+9+10}{5}=8$
已知甲的平均成绩为8，计算甲的方差：
$d=\frac{1}{5}×[(9-8)^2+(9-8)^2+(9-8)^2+(6-8)^2+(7-8)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+1+1+4+1)$
$=1.6$
(3) 甲同学的成绩更好。
理由：甲乙两人的平均成绩相等，均为8，而甲的方差1.6小于乙的方差4.4，说明甲的成绩波动更小，稳定性更强，因此甲同学的成绩更好。
【答案】
(1) $9$，$9$；
(2) $a=8$，$d=1.6$；
(3) 甲同学的成绩更好，理由：甲乙平均成绩相同，甲的方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
中位数与众数，平均数计算，方差的应用
【点评】
本题考查常见统计量的计算和实际应用，只要掌握各统计量的定义、计算方法，理解方差反映数据波动程度的性质，结合题意分析即可解题，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
19.已知一组正整数$a,1,b,b,3$有唯一众数8,中位数是5,则这一组数据的平均数为()
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
解析
【分析】解题时先明确众数、中位数、平均数的定义，按三步推导：第一步根据“唯一众数是8”确定b的值，现有数据中b出现2次，其余已知数各出现1次，要让8成为出现次数最多的唯一数，只能b=8；第二步根据5个数据的中位数是排序后第3个数，结合已知的1、3、8、8，推出a的值；最后代入数据计算平均数即可。
【解析】
1. 求b的值：众数是一组数据中出现次数最多的数，已知该组数据有唯一众数8。现有数据中b出现2次，1、3、a各出现1次，若8是唯一众数，则8的出现次数最多，因此可得$b=8$，此时8出现2次，其余数均只出现1次，满足唯一众数的要求。
2. 求a的值：中位数是将数据从小到大排序后位于中间位置的数，该组数据共5个，排序后第3个数为中位数，题目给出中位数是5。将已确定的数1、3、8、8排序为$1,3,8,8$，要使第3个数为5，则未知的$a=5$，此时完整数据排序为$1,3,5,8,8$，验证中位数为5，符合条件。
3. 计算平均数：平均数等于所有数据之和除以数据个数，代入数据得：
$\bar{x}=(1+3+5+8+8)÷5=25÷5=5$
【答案】C
【知识点】众数，中位数，平均数
【点评】本题考查统计特征量的定义应用，解题核心是先根据众数、中位数的限制条件确定未知参数，再计算平均数，属于基础的概念应用类题目。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 求b的值：众数是一组数据中出现次数最多的数，已知该组数据有唯一众数8。现有数据中b出现2次，1、3、a各出现1次，若8是唯一众数，则8的出现次数最多，因此可得$b=8$，此时8出现2次，其余数均只出现1次，满足唯一众数的要求。
2. 求a的值：中位数是将数据从小到大排序后位于中间位置的数，该组数据共5个，排序后第3个数为中位数，题目给出中位数是5。将已确定的数1、3、8、8排序为$1,3,8,8$，要使第3个数为5，则未知的$a=5$，此时完整数据排序为$1,3,5,8,8$，验证中位数为5，符合条件。
3. 计算平均数：平均数等于所有数据之和除以数据个数，代入数据得：
$\bar{x}=(1+3+5+8+8)÷5=25÷5=5$
【答案】C
【知识点】众数，中位数，平均数
【点评】本题考查统计特征量的定义应用，解题核心是先根据众数、中位数的限制条件确定未知参数，再计算平均数，属于基础的概念应用类题目。
【难度系数】0.7
