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20. 某单位组织职工开展植树活动,植树量与人数之间的关系如图所示,下列说法不正确的是()
A.参加本次植树活动的共有30人
B.每人植树量的众数是4棵
C.每人植树量的中位数是5棵
D.每人植树量的平均数是5棵
A.参加本次植树活动的共有30人
B.每人植树量的众数是4棵
C.每人植树量的中位数是5棵
D.每人植树量的平均数是5棵
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需从条形统计图中提取不同植树量对应的人数：植树3棵的有4人，植树4棵的有10人，植树5棵的有8人，植树6棵的有6人，植树7棵的有2人。再分别计算总人数、众数、中位数、平均数四个统计量，逐一验证选项正误，即可找出不正确的说法。
【解析】
首先从统计图中提取数据：植树3棵共4人，植树4棵共10人，植树5棵共8人，植树6棵共6人，植树7棵共2人。
1. 验证A选项：总人数=4+10+8+6+2=30人，A说法正确，不符合题意。
2. 验证B选项：众数是一组数据中出现次数最多的数值，植树4棵的人数最多，因此每人植树量的众数是4棵，B说法正确，不符合题意。
3. 验证C选项：将所有植树量从小到大排列，总共有30个数据，中位数为第15、16个数据的平均数。累计人数可知，第1~4个数据为3，第5~14个数据为4，第15~22个数据为5，因此第15、16个数据均为5，中位数为(5+5)÷2=5棵，C说法正确，不符合题意。
4. 验证D选项：平均数=总植树棵数÷总人数，总植树棵数=3×4+4×10+5×8+6×6+7×2=142棵，平均数=142÷30≈4.73棵≠5棵，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
条形统计图识别，众数，中位数与平均数计算
【点评】
本题结合条形统计图考查常用统计量的计算，解题核心是准确从统计图中提取有效数据，牢记各统计量的定义和计算规则，计算平均数时注意不要遗漏数据，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需从条形统计图中提取不同植树量对应的人数：植树3棵的有4人，植树4棵的有10人，植树5棵的有8人，植树6棵的有6人，植树7棵的有2人。再分别计算总人数、众数、中位数、平均数四个统计量，逐一验证选项正误，即可找出不正确的说法。
【解析】
首先从统计图中提取数据：植树3棵共4人，植树4棵共10人，植树5棵共8人，植树6棵共6人，植树7棵共2人。
1. 验证A选项：总人数=4+10+8+6+2=30人，A说法正确，不符合题意。
2. 验证B选项：众数是一组数据中出现次数最多的数值，植树4棵的人数最多，因此每人植树量的众数是4棵，B说法正确，不符合题意。
3. 验证C选项：将所有植树量从小到大排列，总共有30个数据，中位数为第15、16个数据的平均数。累计人数可知，第1~4个数据为3，第5~14个数据为4，第15~22个数据为5，因此第15、16个数据均为5，中位数为(5+5)÷2=5棵，C说法正确，不符合题意。
4. 验证D选项：平均数=总植树棵数÷总人数，总植树棵数=3×4+4×10+5×8+6×6+7×2=142棵，平均数=142÷30≈4.73棵≠5棵，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
条形统计图识别，众数，中位数与平均数计算
【点评】
本题结合条形统计图考查常用统计量的计算，解题核心是准确从统计图中提取有效数据，牢记各统计量的定义和计算规则，计算平均数时注意不要遗漏数据，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
21. 若一组数据1,2,x,4,6的众数是2,则这组数据的方差为()
A.3.2
B.3.5
C.4.8
D.5
A.3.2
B.3.5
C.4.8
D.5
答案
A
解析
【分析】
解题时先利用众数的定义确定未知数x的值：众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中除x外其余数据都只出现1次，已知众数是2，因此x只能是2；再按照方差的计算步骤，先求这组数据的平均数，再代入方差公式计算结果，最后匹配选项即可。
【解析】
步骤1：确定x的值
∵ 数据1,2,x,4,6的众数是2，即2是这组数据中出现次数最多的数
∴ x=2，此时该组数据为1,2,2,4,6
步骤2：计算这组数据的平均数$\overline{x}$
$\overline{x}=(1+2+2+4+6)÷5=15÷5=3$
步骤3：根据方差公式计算方差
方差公式为$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中n为数据个数，代入数据得：
$S^2=\frac{1}{5}×[(1-3)^2+(2-3)^2+(2-3)^2+(4-3)^2+(6-3)^2]$
$=\frac{1}{5}×(4+1+1+1+9)$
$=\frac{1}{5}×16=3.2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
众数的概念；平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题是统计类基础题，解题核心是先根据众数的定义确定未知数据，再熟练运用方差公式计算，需要准确记忆相关概念和公式，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时先利用众数的定义确定未知数x的值：众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中除x外其余数据都只出现1次，已知众数是2，因此x只能是2；再按照方差的计算步骤，先求这组数据的平均数，再代入方差公式计算结果，最后匹配选项即可。
【解析】
步骤1：确定x的值
∵ 数据1,2,x,4,6的众数是2，即2是这组数据中出现次数最多的数
∴ x=2，此时该组数据为1,2,2,4,6
步骤2：计算这组数据的平均数$\overline{x}$
$\overline{x}=(1+2+2+4+6)÷5=15÷5=3$
步骤3：根据方差公式计算方差
方差公式为$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中n为数据个数，代入数据得：
$S^2=\frac{1}{5}×[(1-3)^2+(2-3)^2+(2-3)^2+(4-3)^2+(6-3)^2]$
$=\frac{1}{5}×(4+1+1+1+9)$
$=\frac{1}{5}×16=3.2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
众数的概念；平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题是统计类基础题，解题核心是先根据众数的定义确定未知数据，再熟练运用方差公式计算，需要准确记忆相关概念和公式，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
22. (1)有一组数据如下:$92,93,a,94,95$,它们的平均数是93,则这组数据的方差是________;
(2)若一组数据$x_1,x_2,x_3,···,x_n$的方差为3,则数据$x_1+3,x_2+3,x_3+3,···,x_n+3$的方差为________;
(3)已知一组数据$x_1,x_2,x_3,···,x_n$的方差为2,则另一组数据$3x_1,3x_2,3x_3,···,3x_n$的方差为________.
(2)若一组数据$x_1,x_2,x_3,···,x_n$的方差为3,则数据$x_1+3,x_2+3,x_3+3,···,x_n+3$的方差为________;
(3)已知一组数据$x_1,x_2,x_3,···,x_n$的方差为2,则另一组数据$3x_1,3x_2,3x_3,···,3x_n$的方差为________.
答案
解：
(1) 由平均数计算公式得：
$\frac{92+93+a+94+95}{5}=93$
解得：$a=91$
根据方差公式：
$s^2=\frac{1}{5}[(92-93)^2+(93-93)^2+(91-93)^2+(94-93)^2+(95-93)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+0+4+1+4)$
$=2$
(2) 数据$x_1+3,x_2+3,\dots,x_n+3$的平均数为原数据平均数加3，每个数据与新平均数的差和原数据与原平均数的差完全相同，因此方差不变，结果为3。
(3) 设原数据的平均数为$\overline{x}$，则新数据$3x_1,3x_2,\dots,3x_n$的平均数为$3\overline{x}$，
新方差：
$s'^2=\frac{1}{n}[(3x_1-3\overline{x})^2+(3x_2-3\overline{x})^2+\dots+(3x_n-3\overline{x})^2]$
$=\frac{9}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
$=9×2=18$
答案依次为：$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{18}$。
(1) 由平均数计算公式得：
$\frac{92+93+a+94+95}{5}=93$
解得：$a=91$
根据方差公式：
$s^2=\frac{1}{5}[(92-93)^2+(93-93)^2+(91-93)^2+(94-93)^2+(95-93)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+0+4+1+4)$
$=2$
(2) 数据$x_1+3,x_2+3,\dots,x_n+3$的平均数为原数据平均数加3，每个数据与新平均数的差和原数据与原平均数的差完全相同，因此方差不变，结果为3。
(3) 设原数据的平均数为$\overline{x}$，则新数据$3x_1,3x_2,\dots,3x_n$的平均数为$3\overline{x}$，
新方差：
$s'^2=\frac{1}{n}[(3x_1-3\overline{x})^2+(3x_2-3\overline{x})^2+\dots+(3x_n-3\overline{x})^2]$
$=\frac{9}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
$=9×2=18$
答案依次为：$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{18}$。
解析
【分析】
(1) 解题时先利用平均数的计算公式列方程求出未知数据a，再将所有数据代入方差公式计算即可；(2) 方差是反映数据波动大小的统计量，当一组数据每个数都加上同一个常数时，各数据与平均数的差值不变，波动情况不变，因此方差不变；(3) 当一组数据每个数都乘同一个常数k时，新数据的方差是原方差的k²倍，也可以通过设原平均数代入方差公式推导验证结论。
【解析】
(1) 由平均数计算公式得：
$\frac{92+93+a+94+95}{5}=93$
解得：$a=91$
根据方差公式：
$s^2=\frac{1}{5}[(92-93)^2+(93-93)^2+(91-93)^2+(94-93)^2+(95-93)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+0+4+1+4)$
$=2$
(2) 设原数据的平均数为$\overline{x}$，则新数据$x_1+3,x_2+3,\dots,x_n+3$的平均数为$\overline{x}+3$，新方差为：
$s'^2=\frac{1}{n}[(x_1+3-(\overline{x}+3))^2+(x_2+3-(\overline{x}+3))^2+\dots+(x_n+3-(\overline{x}+3))^2]$
$=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=3$
即方差不变，结果为3。
(3) 设原数据的平均数为$\overline{x}$，则新数据$3x_1,3x_2,\dots,3x_n$的平均数为$3\overline{x}$，新方差：
$s'^2=\frac{1}{n}[(3x_1-3\overline{x})^2+(3x_2-3\overline{x})^2+\dots+(3x_n-3\overline{x})^2]$
$=\frac{9}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
$=9×2=18$
【答案】
2；3；18
【知识点】
平均数计算，方差计算，方差的性质
【点评】
本题既考查了平均数、方差的基础公式运用，也考查了对方差变化规律的理解，熟练掌握方差的变化规律可以简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先利用平均数的计算公式列方程求出未知数据a，再将所有数据代入方差公式计算即可；(2) 方差是反映数据波动大小的统计量，当一组数据每个数都加上同一个常数时，各数据与平均数的差值不变，波动情况不变，因此方差不变；(3) 当一组数据每个数都乘同一个常数k时，新数据的方差是原方差的k²倍，也可以通过设原平均数代入方差公式推导验证结论。
【解析】
(1) 由平均数计算公式得：
$\frac{92+93+a+94+95}{5}=93$
解得：$a=91$
根据方差公式：
$s^2=\frac{1}{5}[(92-93)^2+(93-93)^2+(91-93)^2+(94-93)^2+(95-93)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+0+4+1+4)$
$=2$
(2) 设原数据的平均数为$\overline{x}$，则新数据$x_1+3,x_2+3,\dots,x_n+3$的平均数为$\overline{x}+3$，新方差为：
$s'^2=\frac{1}{n}[(x_1+3-(\overline{x}+3))^2+(x_2+3-(\overline{x}+3))^2+\dots+(x_n+3-(\overline{x}+3))^2]$
$=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=3$
即方差不变，结果为3。
(3) 设原数据的平均数为$\overline{x}$，则新数据$3x_1,3x_2,\dots,3x_n$的平均数为$3\overline{x}$，新方差：
$s'^2=\frac{1}{n}[(3x_1-3\overline{x})^2+(3x_2-3\overline{x})^2+\dots+(3x_n-3\overline{x})^2]$
$=\frac{9}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
$=9×2=18$
【答案】
2；3；18
【知识点】
平均数计算，方差计算，方差的性质
【点评】
本题既考查了平均数、方差的基础公式运用，也考查了对方差变化规律的理解，熟练掌握方差的变化规律可以简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
23. 在某市开展的“好书伴我成长”读书活动中，学校为了解八年级300名学生的读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如表所示.
(1)求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；
(2)根据样本数据，估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数.
(1)求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；
(2)根据样本数据，估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数.
答案
解：
(1) 计算平均数：
$\overline{x} = \frac{0×3 + 1×13 + 2×16 + 3×17 + 4×1}{50} = \frac{100}{50} = 2$
这组样本数据中，读书册数为3的人数最多，共17人，因此众数为3。
将50个数据按从小到大的顺序排列，第25、26个数据均为2，因此中位数为$\frac{2+2}{2}=2$。
(2) 样本中读书多于2册的学生人数为$17+1=18$，
估计该校八年级300名学生中读书多于2册的人数为：
$300×\frac{18}{50}=108$
答：这50个样本数据的平均数为2，众数为3，中位数为2；估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数为108人。
(1) 计算平均数：
$\overline{x} = \frac{0×3 + 1×13 + 2×16 + 3×17 + 4×1}{50} = \frac{100}{50} = 2$
这组样本数据中，读书册数为3的人数最多，共17人，因此众数为3。
将50个数据按从小到大的顺序排列，第25、26个数据均为2，因此中位数为$\frac{2+2}{2}=2$。
(2) 样本中读书多于2册的学生人数为$17+1=18$，
估计该校八年级300名学生中读书多于2册的人数为：
$300×\frac{18}{50}=108$
答：这50个样本数据的平均数为2，众数为3，中位数为2；估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数为108人。
解析
【分析】
(1) 求解平均数时，按照加权平均数的计算规则，先将各册数乘对应人数求和，再除以样本总数量即可；众数是一组数据中出现次数最多的数值，直接查找人数最多对应的册数即可；中位数需要先把数据从小到大排序，由于样本总数是50（偶数），取排序后第25、第26个数据的平均数就是中位数。
(2) 要估计全年级读书多于2册的人数，先计算样本中读书多于2册的人数占样本总数的比例，再用年级总人数乘这个比例，就能得到估计的人数。
【解析】
(1) 计算平均数：
$\overline{x} = \frac{0×3 + 1×13 + 2×16 + 3×17 + 4×1}{50} = \frac{100}{50} = 2$
这组样本数据中，读书册数为3的人数最多，共17人，因此众数为3。
将50个数据按从小到大的顺序排列，第25、26个数据均为2，因此中位数为$\frac{2+2}{2}=2$。
(2) 样本中读书多于2册的学生为册数是3和4的学生，总人数为$17+1=18$，
估计该校八年级300名学生中读书多于2册的人数为：
$300×\frac{18}{50}=108$
【答案】
(1) 平均数为2，众数为3，中位数为2；
(2) 估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数为108人。
【知识点】
加权平均数计算，众数与中位数，样本估计总体
【点评】
本题是统计类基础题，考查统计中常见特征量的计算方法，以及用样本估计总体的统计思想，解题时只要准确掌握相关概念，认真核对数据即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
(1) 求解平均数时，按照加权平均数的计算规则，先将各册数乘对应人数求和，再除以样本总数量即可；众数是一组数据中出现次数最多的数值，直接查找人数最多对应的册数即可；中位数需要先把数据从小到大排序，由于样本总数是50（偶数），取排序后第25、第26个数据的平均数就是中位数。
(2) 要估计全年级读书多于2册的人数，先计算样本中读书多于2册的人数占样本总数的比例，再用年级总人数乘这个比例，就能得到估计的人数。
【解析】
(1) 计算平均数：
$\overline{x} = \frac{0×3 + 1×13 + 2×16 + 3×17 + 4×1}{50} = \frac{100}{50} = 2$
这组样本数据中，读书册数为3的人数最多，共17人，因此众数为3。
将50个数据按从小到大的顺序排列，第25、26个数据均为2，因此中位数为$\frac{2+2}{2}=2$。
(2) 样本中读书多于2册的学生为册数是3和4的学生，总人数为$17+1=18$，
估计该校八年级300名学生中读书多于2册的人数为：
$300×\frac{18}{50}=108$
【答案】
(1) 平均数为2，众数为3，中位数为2；
(2) 估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数为108人。
【知识点】
加权平均数计算，众数与中位数，样本估计总体
【点评】
本题是统计类基础题，考查统计中常见特征量的计算方法，以及用样本估计总体的统计思想，解题时只要准确掌握相关概念，认真核对数据即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
